高中数学人教B版3第二章概率（全国一等奖）

章末综合测评(二)概率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列说法不正确的是()A.某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B.正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C.公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的均值D.从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布【解析】公式E(X)＝np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算.故选C.【答案】C2.若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,5)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,6),C\o\al(1,12)C\o\al(1,11))的是()(X＝0) (X≤2)(X＝1) (X＝2)【解析】由已知易知P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,5)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,6),C\o\al(1,12)C\o\al(1,11)).【答案】C3.若X的分布列为X01Peq\f(1,5)a则E(X)＝()\f(4,5) \f(1,2)\f(2,5) \f(1,5)【解析】由eq\f(1,5)＋a＝1，得a＝eq\f(4,5)，所以E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(4,5)＝eq\f(4,5).【答案】A4.甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是,,，则三人中至少有一人达标的概率是() 【解析】三人都不达标的概率是(1－×(1－×(1－＝，故三人中至少有一人达标的概率为1－＝.【答案】C5.如果随机变量X～N(4,1)，则P(X≤2)等于()(注：P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝4) 86 5【解析】P(X≤2)＝(1－P(2<X≤6))×eq\f(1,2)＝[1－P(4－2<X≤4＋2)]×eq\f(1,2)＝(1－4)×eq\f(1,2)＝8.【答案】B6.某同学通过计算机测试的概率为eq\f(1,3),他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为()\f(4,9) \f(2,9)\f(4,27) \f(2,27)【解析】连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2＝eq\f(4,9).【答案】A7.校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为eq\f(4,5)，那么成活棵数X的方差是()【导学号：62980062】\f(16,5) \f(64,25)\f(16,25) \f(64,5)【解析】由题意知成活棵数X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(4,5)))，所以成活棵数X的方差为4×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))＝eq\f(16,25).故选C.【答案】C8.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是()\f(3,5) \f(2,5)\f(1,10) \f(5,9)【解析】记“第一次摸到正品”为事件A，“第二次摸到正品”为事件B，则P(A)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,9),C\o\al(1,10)C\o\al(1,9))＝eq\f(3,5)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,5),C\o\al(1,10)C\o\al(1,9))＝eq\f(1,3).故P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(5,9).【答案】D9.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝eq\f(1,10\r(2π))e－，则下列命题中不正确的是()A.该市在这次考试的数学平均成绩为80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学成绩标准差为10【解析】利用正态密度函数的表达式知μ＝80，σ＝10.故A，D正确，利用正态曲线关于直线x＝80对称，知P(ξ>110)＝P(ξ<50)，即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C正确，故选B.【答案】B10.设随机变量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，又设随机变量η＝2ξ－1，则P(η<6)＝() 【解析】因为P(ξ＝k)＝eq\f(1,10)，k＝1,2，…，10，又由η＝2ξ－1<6，得ξ<eq\f(7,2)，即ξ＝1,2,3，所以P(η<6)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(3,10)＝.【答案】A11.甲、乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所示，则有结论()工人甲乙废品数01230123概率0A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些B.乙的产品质量比甲的产品质量好一些C.两人的产品质量一样好D.无法判断谁的产品质量好一些【解析】∵E(X甲)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1，E(X乙)＝0×＋1×＋2×＋3×0＝.∵E(X甲)>E(X乙)，∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些.【答案】B12.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位数中a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为eq\f(1,3)，出现1的概率为eq\f(2,3)，记ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望为()\f(8,27) \f(11,3)\f(16,81) \f(65,81)【解析】记a2，a3，a4，a5位上出现1的次数为随机变量η，则η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，E(η)＝4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).因为ξ＝1＋η，E(ξ)＝1＋E(η)＝eq\f(11,3).故选B.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.【解析】P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(4,4)＋C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(13,35).【答案】eq\f(13,35)14.一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为eq\f(2,3)，向左移动的概率为eq\f(1,3)，则3秒后，这只蚂蚁在x＝1处的概率为________.【导学号：62980063】【解析】由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x＝1处的概率为Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1＝eq\f(4,9).【答案】eq\f(4,9)15.一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中).设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝________.【解析】如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，所以n(A∩B)＝1，P(A|B)＝eq\f(nA∩B,nB)＝eq\f(1,4).【答案】eq\f(1,4)16.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是eq\f(3,5)；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为eq\f(4,3)；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为eq\f(2,5)；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为eq\f(26,27).其中所有正确结论的序号是________.【解析】①恰有一个白球的概率P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(2,3)))，其方差为6×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,3)，故②正确；③设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}.则P(A)＝eq\f(2,3)，P(A∩B)＝eq\f(4×3,6×5)＝eq\f(2,5)，∴P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(3,5)，故③错；④每次取到红球的概率P＝eq\f(2,3)，所以至少有一次取到红球的概率为1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＝eq\f(26,27)，故④正确.【答案】①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球.P(B)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3).P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝eq\f(1,3).(1)P(A|B)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9).(2)∵P(A|eq\x\to(B))＝eq\f(3,8＋1)＝eq\f(1,3)，∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩eq\x\to(B))＝P(A|B)P(B)＋P(A|eq\x\to(B))P(eq\x\to(B))＝eq\f(4,9)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(11,27).18.(本小题满分12分)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100).(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)的考生大约有多少人？【解】因为ξ～N(90,100)，所以μ＝90，σ＝eq\r(100)＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是6.一共有2000名学生，所以考试成绩在(80,100)的考生大约有2000×6≈1365(人).19.(本小题满分12分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表.试对这两名工人的技术水平进行比较.X012Peq\f(6,10)eq\f(1,10)eq\f(3,10)Y012Peq\f(5,10)eq\f(3,10)eq\f(2,10)【解】工人甲生产出次品数X的数学期望和方差分别为E(X)＝0×eq\f(6,10)＋1×eq\f(1,10)＋2×eq\f(3,10)＝，D(X)＝(0－2×eq\f(6,10)＋(1－2×eq\f(1,10)＋(2－2×eq\f(3,10)＝.工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为E(Y)＝0×eq\f(5,10)＋1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(2,10)＝，D(Y)＝(0－2×eq\f(5,10)＋(1－2×eq\f(3,10)＋(2－2×eq\f(2,10)＝.由E(X)＝E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)>D(Y)，可见乙的技术比较稳定.20.(本小题满分12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望.(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)【解】(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p＝eq\f(C\o\al(3,4)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,84).(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,5)＋C\o\al(3,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(17,42)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,3)C\o\al(1,6)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(43,84)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,7),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,12).故X的分布列为X123Peq\f(17,42)eq\f(43,84)eq\f(1,12)从而E(X)＝1×eq\f(17,42)＋2×eq\f(43,84)＋3×eq\f(1,12)＝eq\f(47,28).21.(本小题满分12分)某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,4)；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1).(1)如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的分布列及E(ξ)；(2)要使10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围.【解】(1)依题意，ξ可能的取值为1,0，－1.ξ的分布列为ξ10－1Peq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,4)E(ξ)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,4).(2)设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布列为η2－2PαβE(η)＝2α－2β＝4α－2.依题意得4α－2≥eq\f(1,4)，故eq\f(9,16)≤α≤1.22.(本小题满分12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为eq\f(1,2)，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比.分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【解】(1)X可能的取值为10,20,100，－200.根据题意，有P(X＝10)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)