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第6节中世纪中国的数学（2）

（宋元时期的数学）

主讲：康世刚天水师范学院数理与信息科学学院宋元时期的数学社会背景：宋元时代(960～1368)，手工业如冶炼、纺织、陶瓷等都已初具规模，土木工程和水利工程达到了较高的水平，商业和外贸比较兴旺，科学技术也很繁荣．古代四大发明中有三项——火药、指南针和活字印刷术诞生于这一时期．生产和经济的发展对数学提出了新的课题和更高的要求数学内部：从汉到唐，方程理论有了相当大的发展．二次方程解法早已被人们掌握，唐代又解决了三次方程问题．下面自然要考虑四次及更高次方程的解法．所以，增乘开方法乃至高次方程数值解法在宋代的出现是顺理成章的．但以前建立方程多用几何方法，而高于三次的方程是难于找到几何解释的．突破几何思维的束缚，寻找一般的建立方程的方法，就成为大势所趋了．天元术便是在这种情况下产生的，它是一种简便的、可以建立任意次方程的一般方法．这时，由于线性方程组古已有之，便产生了一种把两者结合起来，建立高次方程组的趋势，于是迅速产生了二元术、三元术和四元术．正如阮元(1764---1849)所说：“四元者，是又寓方程(指线性方程组)于天元一术焉者也．”北宋的数学教育据史料记载，北宋算学制度始于元丰七年(1084)，同时刊刻《算经十书》，以作教材．虽由于理学家李等人的反对，有过反复，但终于在崇宁三年(1104)“将元丰算学条制，修成敕令”，并于当年建起算学馆，“生员以二百一十人为额，许命官及庶人为之．”从此以后，这种官方数学教育一直延续到北宋朝廷南渡，对数学知识的普及发挥了重要作用，而这种普及正是提高的基础．同时，民间的数学教育也对培养人才发挥了一定作用。秦九韶生平及数学成就秦九韶(1202～1261)，字道古，自称鲁郡人，实际生于四川．青少年时代，因为父亲任南宋临安府(今杭州)的秘书少监，他随父同行，有机会去掌管天文历法的太史局去学习天文和数学知识，同时在数学上又得到“隐君子”的指点和教诲．后来，他曾在四川、湖北、安徽、建康(南京)等地为官．其间，他仍坚持潜心钻研数学．他总结了自己长期研究所积累的数学知识和创造性的成果，于1247年写成了传世名著《数书九章》时人称赞秦九韶“性极机巧，星象、音律、算术以及营造等事无不精究．”．数学成就《数书九章》共18卷约20万字．书中搜集了与当时社会生活密切相关的81个数学实际应用问题，按性质分为9类，每类9题．这9类是：大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅和市易价值：《数书九章》继承了《九章算术》的体例，采用应用题集的形式，但其中问题的复杂程度和解题水平均高于以往的著作，它代表了当时中国乃至世界中世纪数学的最高成就．美国哈佛大学科学史家萨顿(Sarton)曾作出极高的评价：“秦九韶是他那个民族、他那个时代、并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一．．大衍求一术

大衍术又称大衍法，实际是一套求解一次同余式组的完整程序．秦九韶很重视自己的这项发明，强调说：“独大衍法不载九章，未有能推之者．”，“求一”，就是求到余数为1的意思．设P1，P2，…，Pn互素，M＝P1·P2·…·Pn，则同余式组N≡ri(modPi)(i＝1，2，…，n)的解为3．求奇数Gi，“诸衍数，各满定母，去之．不满曰奇”．即用Pi

6．求率数N，秦九韶说：“满衍母去之，不满为所求率数．”即比较∑与M的大小，若∑＜M，取∑为N；若∑＞M，则从∑中依次减去M，直到所得正数不满M为止，即

N＝∑－AM．

当然，N也可看作∑除以M所得余数．如果同余式组的模数非两两互素，秦九韶便用他创立的方法化其为两两互素

影响在西方，直到18世纪，瑞士的欧拉和法国的拉格朗日才对同余式问题进行系统的研究．德国的高斯于1801年在《算术探究》一书中提出了解决这类问题的方法——剩余定理，并给出了严格的证明．1852年，英国传教士伟烈亚力把“物不知其数”问题及解法传到欧洲，并介绍了秦九韶的大衍求一术．1876年德国数学史家马蒂生(L．Matthiessen)指出孙子定理及大衍求一术与高斯的理论一致．当时德国的著名数学家M．康托尔(M．B．Cantor)高度评价了大衍求一术，并称秦九韶是“最幸运的天才”．此后，孙子定理就被西方人称为“中国剩余定理．”三斜求积公式

《数书九章》卷五第2题题意是：已知三角形地块的三边长分别为13步、14步、15步，求它的面积．把秦九韶的解法用现代的符号表示，就是：设三角形的三边长分别为a、b、c，则面积其它数学成就在高次方程的解法方面，秦九韶总结改进了北宋数学家刘益和贾宪的解法，创立了正负开方术，即求高次方程正根的一般方法，并且给出了求方程近似根的方法，这与英国数学家霍纳(W．Horner)1819年创立的霍纳法基本上一致．此外，秦九韶改进了《九章算术》中解方程组的“直除法”，提出了“互乘相消法”与“代入消元法”，这与现今解方程组的方法完全相同．秦九韶的这两项成就在世界上都处于领先地位．杨辉及数学成就杨辉，字谦光，南宋末(13世纪)钱塘(杭州)人，生平不详．杨辉一生著述甚丰，计有五种21卷，它们是：《详解九章算法》12卷(1261)、《日用算术》2卷(1262)、《乘除通变本末》3卷(1274)、《田亩比类乘除捷法》2卷(1275)、《续古摘奇算法》2卷(1275)．杨辉的著作有两个主要特点．其一是深入浅出，文笔流畅，图文并茂，便于教学和民间流传；其二是广泛征引了前代数学典籍精华，以致一些数学家的原著虽已失传，但其主要内容通过杨辉的书得以保存下来．杨辉最重要的著作是《详解九章算法》．为了使《九章算术》便于自学，杨辉对该书的246个问题中较难的80题作了详解，并增添了“图解、乘除算法和纂类”三卷．“详解”包括三个方面：一是“解题”，即解释题意、名词术语，校勘文字，并对题目作出评注；二是“细草”，即详细的解题过程及必要的图示；三是“比类”，即增选与原题算法相同或类似的例题进行对照分析．“纂类”是把《九章算术》中的全部问题按解题方法由浅入深的顺序重新整理分类．(a+b)0=1(a+b)1＝a＋b(a＋b)2=a2+2ab+b2(a＋b)3=a3+3a2b＋3ab2＋b3(a＋b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5=a5+5a4b＋10a3b2＋10a2b3+5ab4＋b5(a＋b)6=a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6杨辉三角纵横图是按一定规律排列的数表，也称幻方

数学教育在《乘除通变本末》中，杨辉总结了自己多年的教学经验．他首先给出一份相当完整的教学计划——“习算纲目”(卷上《算法通变本末》)，包括各部分数学知识的学习方法、时间及参考书．他主张循序渐进，精讲多练，特别强调要明算理，要“讨论用法之源”．例如，他讲减法时不只讲算法，而且指明：“加法乃生数也，减法乃去其数也，有加则有减．凡学减，必以加法题答考之，庶知其源．”针对教师和学生两种不同的对象，杨辉又提出“法将提问”和“随题用法”两条不同原则．教师讲授应“法