C02 轴向拉伸和压缩 2

2.4材料拉伸或压缩时的力学性能分析构件的强度时,除计算应力外,还应了解材料的力学性能。2.4.1低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢是指含碳量在0.3%以下的碳素钢。这类钢材在工程中使用较广,在拉伸试验中表现出的力学性能也最为典型。材料的力学性能也称为机械性质,是指材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性。它要由实验来测定。2.4材料拉伸或压缩时的力学性能为了便于比较不同材料的试验结果,对试样的形状、加工精度、加载速度、试验环境等,国家标准都有统一规定。标准圆试样1.试样l＝5d

和l＝10d在试样上取长为l的一段作为试验段,l称为标距。对圆截面试样,标距l与直径d两种比例,即2.4材料拉伸或压缩时的力学性能标准矩形试样对矩形截面标准试样,则规定其标距l与横截面面积A的比例,也有两种和2.4材料拉伸或压缩时的力学性能在室温下,以缓慢平稳的加载方式进行试验,称为常温静载试验,是测定材料力学性能的基本试验。2.试验条件3.试验仪器液压式万能试验机液压式万能试验机底座活动试台活塞油管2.4材料拉伸或压缩时的力学性能4.试验过程试样装在试验机上,受到缓慢增加的拉力作用。对应着每一个拉力F,试样标距l有一个伸长量Δl。表示F和Δl的关系的曲线,称为拉伸图或F－Δl曲线。试验过程F－Δl曲线与试样的尺寸有关。把拉力F除以试样横截面的原始面积A,得出正应力s;同时,把伸长量Δl除以标距的原始长度l,得到应变e。以s为纵坐标,e为横坐标,作图表示s与e的关系称为应力－应变图或s－e曲线。s与e的关系为直线Oa,应力s与应变e成正比。这就是拉伸或压缩的胡克定律。1)弹性阶段––Oa段E为与材料有关的比例常数,称为弹性模量。E的量纲与s相同,常用单位为GPa(1GPa=109Pa)s/e是直线Oa的斜率。直线部分的最高点a所对应的应力sp称为比例极限。只有应力低于比例极限时,应力才与应变成正比,材料才服从胡克定律。这时,称材料是线弹性的。超过比例极限后,从a点到b点,s与e之间的关系不再是直线,但解除拉力后变形仍可完全消失,这种变形称为弹性变形。b点所对应的应力se是材料只出现弹性变形的极限值,称为弹性极限。a,b两点非常接近,工程上对弹性极限和比例极限并不严格区分,而统称为弹性极限。2)屈服阶段––bc段应力大于弹性极限,解除拉力,试样变形的一部分消失(弹性变形)。留下一部分不能消失的变形,称为塑性变形或残余变形。应力基本保持不变,而应变显著增加的现象称为屈服或流动。在屈服阶段内的最高应力和最低应力分别称为上屈服极限和下屈服极限。应力超过b点增加到某一数值,应变明显增加,应力先是下降,然后作微小的波动,在s-e曲线上出现接近水平线的小锯齿形线段。上屈服极限的数值与试样形状、加载速度等因素有关,一般是不稳定的。下屈服极限则有比较稳定的数值,能够反应材料的性能。通常把下屈服极限称为屈服极限或屈服点,用ss来表示。表面磨光的试样屈服时,表面将出现与轴线大致成45º倾角的条纹。这是由于材料内部相对滑移形成的,称为滑移线。因为拉伸时在与杆轴成45º倾角的斜截面上,切应力为最大值,可见屈服现象的出现与最大切应力有关。

过屈服阶段后,材料又恢复了抵抗变形的能力,要使它继续变形必须增加拉力。这种现象称为材料的强化。强化阶段中的最高点e所对应的应力sb是材料所能承受的最大应力,称为强度极限或抗拉强度。3)强化阶段––ce段过e点后,在试样的某一局部范围内,横向尺寸突然急剧缩小,形成缩颈现象。4)局部变形阶段––ef段由于在缩颈部分横截面面积迅速减小,使试样继续伸长所需要的拉力也相应减少。在s-e图中,用横截面原始面积A算出的应力s＝F/A随之下降,降落到f点,试样被拉断。d＞5%--塑性材料d＜5%--脆性材料伸长率(延伸率)断面收缩率5)伸长率和断面收缩率如把试样拉到超过屈服极限的d点,然后逐渐卸除拉力,应力和应变关系将沿着斜直线dd'回到d'点。斜直线dd'近似地平行于Oa。6)卸载定律及冷作硬化在卸载过程中,应力和应变按直线规律变化。这就是卸载定律。拉力完全卸除后,应力—应变图中,d'g表示消失了的弹性变形,而Od'表示不再消失的塑性变形。卸载后,如在短期内再次加载,则应力和应变大致上沿卸载时的斜直线d'd变化。直到d点后,又沿曲线def变化。可见在再次加载时,直到d点以前材料的变形是弹性的,过d点后才开始出现塑性变形。

比较图中的Oabcdef和d'def两条曲线,可见在第二次加载时,其比例极限(亦即弹性阶段)得到了提高,但塑性变形和伸长率却有所降低。这种现象称为冷作硬化。冷作硬化现象经退火后又可消除。工程上经常利用冷作硬化来提高材料的弹性阶段。如起重用的钢索和建筑用的钢筋,常用冷拔工艺以提高强度。对某些零件进行喷丸处理,使其表面发生塑性变形,形成冷硬层,以提高零件表面层的强度。但另一方面,零件初加工后,由于冷作硬化使材料变脆变硬,给下一步加工造成困难,且容易产生裂纹,往往就需要在工序之间安排退火,以消除冷作硬化的影响。若试样拉伸至强化阶段后卸载,经过一段时间后再受拉,则其线弹性范围的最大荷载还有所提高,如图中虚线cb'所示。这种现象称为冷作时效。冷作时效不仅与卸载后至加载的时间间隔有关,而且与试样所处的温度有关。工程上常用的塑性材料,除低碳钢外,还有中碳钢、高碳钢和合金钢、铝合金、青铜、黄铜等。2.4.2其它金属材料在拉伸时的力学性能其中有些材料,如Q345钢,和低碳钢一样,有明显的弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和局部变形阶段。有些材料,如黄铜H62,没有屈服阶段,但其它三阶段却很明显。还有些材料,如高碳钢T10A,没有屈服阶段和局部变形阶段,只有弹性阶段和强化阶段。对没有明显屈服极限的塑性材料,可以将产生0.2%塑性应变时的应力作为屈服指标,并用s0.2来表示,称为名义屈服应力。各类碳素钢中,随含碳量的增加,屈服极限和强度极限相应提高,但伸长率降低。例如合金钢、工具钢等高强度钢材,屈服极限较高,但塑性性能却较差。名义屈服应力(规定非比例伸长应力、屈服强度)灰口铸铁拉伸时的应力—应变关系是一段微弯曲线,没有明显的直线部分。它在较小的拉应力下就被拉断,没有屈服和缩颈现象,拉断前的应变很小,伸长率也很小。灰口铸铁是典型的脆性材料。2.4.2其它金属材料在拉伸时的力学性能铸铁拉断时的最大应力即为其强度极限,没有屈服现象,强度极限sb是衡量强度的唯一指标。铸铁的s-e图没有明显的直线部分,弹性模量E的数值随应力的大小而变。脆性材料的抗拉强度很低,所以不宜作为抗拉零件。在工程中铸铁的拉应力不能很高,在较低的拉应力下,可近似地认为服从胡克定律。通常取总应变为0.1%时s-e曲线的割线的斜率作为弹性模量,称为割线弹性模量。铸铁经球化处理成为球墨铸铁后,力学性能有显著变化,不但有较高的强度,还有较好的塑性性能。国内不少工厂成功地用球墨铸铁代替钢材制造曲轴、齿轮等零件。2.4.3材料压缩时的力学性能压缩试样通常用圆截面或正方形截面的短柱体,其长度l与横截面直径d或边长b的比值一般规定为1到3,这样才能避免试样在试验过程中被压弯。2.4.3材料压缩时的力学性能由于压缩试样的高度与宽度之间的比值较小,因而试样两端的端部影响必将波及整个试样。此外,试样受压后,其横向尺寸将增大,而试样的两端面与试验机承压平台间的摩擦阻力则阻止其扩大。这些因素将使压缩试样中的应力情况变得较为复杂,从而使试验所测定的在压缩时材料的力学性能带有一定的条件性。2.4.3材料压缩时的力学性能低碳钢压缩时的弹性模量E和屈服极限ss都与拉伸时大致相同。屈服阶段以后,试样越压越扁,横截面面积不断增大,试样抗压能力也继续增高,因而得不到压缩时的强度极限。由于可从拉伸试验测定低碳钢压缩时的主要性能,所以不一定要进行压缩试验。2.4.3材料压缩时的力学性能类似情况在一般的塑性材料中也存在。但有些材料(例如铬钼硅合金钢)在拉伸和压缩时的屈服极限并不相同,因此,对这些材料需要做压缩试验,以确定其压缩屈服极限。2.4.3材料压缩时的力学性能脆性材料在压缩和拉伸时的力学性能有较大的区别。50º~55º图示为灰口铸铁在拉伸(虚线)和压缩(实线)时的s-e曲线,压缩试样的l:d＝5:1。比较拉伸和压缩两条曲线看出:(1)在压缩时无论是强度极限还是伸长率都比在拉伸时要大得多,因而这种材料宜用作受压构件;(2)无论在拉伸或压缩时,其s-e曲线中的直线部分都很短,因此,只能认为近似地符合胡克定律。

50º~55º比例极限p弹性模量E弹性极限e屈服极限s强度极限b伸长率d断面收缩率Y衡量材料力学性能的主要指标:温度和时间对材料力学性能的影响汽轮机的叶片长期在高温中运转;液态氢或液态氮的容器则在低温下工作。材料在高温和低温下的力学性能与常温下并不相同,且往往与作用时间的长短有关。短期静载下,温度对材料力学性能的影响确定金属材料在高温下的性能,可对处于一定温度下的试件进行短期静载拉伸试验,例如在15或20分钟内拉断的试验。温度和时间对材料力学性能的影响在高温短期静载下,低碳钢的ss和E随温度的增高而降低。在250℃～300℃之前,随温度的升高,d,ψ降低而sb增加;在250℃～300℃之后,随温度的升高,d,ψ增加而sb降低。温度和时间对材料力学性能的影响在低温情况下,碳钢的弹性极限和强度极限都有所提高,但伸长率则相应降低。在低温下,碳钢倾向于变脆。在高温下,长期作用载荷将影响材料的力学性能。试验结果表明,如低于一定温度(例如对碳钢来说,温度在300℃～350℃以下),虽长期作用载荷,材料的力学性能并无明显的变化。高温、长期静载下材料的力学性能但如高于一定温度,且应力超过某一限度,则材料在这一固定应力和不变温度下,随着时间的增长,变形将缓慢加大,这种现象称为蠕变。蠕变变形是塑性变形,卸载后不再消失。在高温下工作的零件往往因蠕变而引起事故。例如汽轮机的叶片可能因蠕变发生过大的塑性变形,以致与轮壳相碰而打碎。图示曲线是金属材料在不变温度和固定应力下,蠕变变形‘随时间’变化的典型曲线。图中A点所对应的应变是载荷作用时立刻就得到的应变。从A到B蠕变速度(即曲线的斜率)不断减小,是不稳定的蠕变阶段。从B到C蠕变速度最小,且接近于常量,是稳定的蠕变阶段。从C点开始蠕变速度又逐渐增加,是蠕变的加速阶段。过D点后,蠕变速度急剧加大以至断裂。温度和时间对材料力学性能的影响高温下工作的零件,在发生弹性变形后,如保持其变形总量不变,根据胡克定律,则零件内将保持一定的预紧力。随着时间的增长,因蠕变而逐渐发展的塑性变形将逐步地代替了原来的弹性变形,从而使零件内的预紧力逐渐降低、这种现象称为松弛。靠预紧力密封或连接的机器,往往因松弛而引起漏气或松脱。例如汽轮机转子与轴的紧密配合可能因松弛而松脱。对这类问题就需要了解材料有关蠕变的性质。2.5拉伸或压缩时的强度计算2.5.1失效由脆性材料制成的构件,在拉力作用下,当变形很小时就会突然断裂。塑性材料制成的构件,在拉断之前先已出现塑性变形,由于不能保持原有的形状和尺寸,它已不能正常工作。把断裂和出现塑性变形统称为失效。受压短杆的被压溃、压扁同样也是失效。若机床主轴变形过大,即使未出现塑性变形,但还是不能保证加工精度,这也是失效,它是刚度不足造成的。受压细长杆的被压弯,则是稳定性不足引起的失效。此外,不同的加载方式,如冲击、交变应力等,以及不同的环境条件,如高温、腐蚀介质等,都可以导致失效。上述这些失效现象都是强度不足造成的。2.5拉伸或压缩时的强度计算2.5拉伸或压缩时的强度计算2.5.2极限应力脆性材料断裂时的应力是强度极限sb,塑性材料达到屈服时的应力是屈服极限ss,这两者都是构件失效时的极限应力,用su表示。脆性材料塑性材料为保证构件有足够的强度,在载荷作用下构件的实际应力s(以后称为工作应力)应低于极限应力。强度计算中,以大于1的因数除极限应力,所得结果称为许用应力,用[s]来表示。对于塑性材料对于脆性材料式中大于1的因数ns、nb

或n称为安全因数。2.5.3许用应力把许用应力[s]作为构件工作应力的最高限度,即要求工作应力s不超过许用应力[s]。于是得构件轴向拉伸或压缩时的强度条件为2.5.4强度条件2.5.5强度计算的三类问题①强度校核②截面没计③确定许可载荷＊＊＊安全因数＊＊＊由于一般所指的塑性材料和脆性材料,其划分界线的依据不够确切,因此以材料的屈服极限与抗拉强度之比ss/sb为依据来选取极限应力和安全因数。比值ss/sb称为屈强比。对屈强比较低的材料,以屈服极限作为极限应力,其安全因数ns也较低一些,例如在静载荷作用下的一般零部件,轧件和锻件的安全因数取ns＝1.2～2.2,铸件取nb＝1.6～2.5。对屈强比较高的材料,例如高强度钢,由于其屈服点已接近于抗拉强度,则取作为极限应力,其安全因数nb也较高一些。例如一般情况下钢材取nb＝2.0～2.5;铸件取nb＝4。对脆性材料,取nb＝2.0～3.5。＊＊＊安全因数＊＊＊

安全因数的确定是一件复杂的工作,它受具体构件的工作条件影响很大,还有经济上的考虑。企图对一种材料规定统一的安全因数,从而得到统一的许用应力,并将它用于设计各种工作条件不同的构件,这是不科学的。在机械设计和建筑结构设计中,均倾向于根据构件的材料和具体工作条件,并结合过去制造同类型构件的实践经验和现实的技术水平,规定不同的安全因数。对于各种不同构件的安全因数和许用应力,有关设计部门在规范中有具体的规定。＊＊＊安全因数＊＊＊土建工程中的金属结构,基本上承受静载荷,常用Q235钢,取n＝1.5。相应的许用应力[s]＝160MPa。起重机金属结构,因承受动载荷,安全因数比土建工程用金属结构要大些,对Q235钢,取n＝1.7,其许用应力则为[s]＝140MPa。紧连接螺栓的许用应力还与其直径有关。对小直径的螺栓,由于拧紧时比大直径螺栓更易于超载,其许用应力要取得小些。例如,在静载荷下,对碳素钢螺栓,当名义直径d0＝6mm～16mm时,取[s]＝(0.20～0.25)ss;当d0＝16mm～30mm时,取[s]＝(0.25～0.4)ss;当d0＝30mm～60mm时,取[s]＝(0.4～0.6)ss。如受动载荷,则再将这些许用应力降低1/5～1/3。＊＊＊安全因数＊＊＊起重用钢丝绳,由于提升重物时有一加速过程,实际受力比重物大;同时考虑到部分钢丝的折断、磨损、锈蚀以及弯曲变形等因素,因此按静荷拉伸计算时其安全因数取得较大。对于人力驱动的起重钢丝绳,取n＝4.5;机器驱动时取n＝5～6;而对于载人用的钢丝绳则取n＝9。由上可见,对各种不同情况下工作的构件,它们的安全因数或许用应力的差别是比较大的,须根据构件的具体情况来确定。＊＊＊安全因数＊＊＊安全因数的选取,关系到构件的安全和经济,两者是矛盾的,应适当处理,将两者合理地统一起来。若片面地强调安全,采用过大的安全因数,就会造成构件的尺寸过大,这不仅浪费材料,而且会使设计出的机器或结构物粗笨。若不适当地强调经济,采用过小的安全因数,就会使构件尺寸过小,而不能保证构件的安全耐用,甚至造成事故。安全因数也不是固定不变的,随着工业技术的飞速发展,设计能力、工艺水平、材料产品质量的不断提高,以及人们对客观事物的进一步认识,安全因数将会取得较小。＊＊＊安全因数＊＊＊确定安全因数应考虑的因素,一般有以下几点:(1)材料的素质,包括材料的均匀程度,质地好坏,是塑性的还是脆性的等。(2)载荷情况,包括对载荷的估计是否准确,是静载荷还是动载荷等。(3)实际构件简化过程和计算方法的精确程度。(4)零件在设备中的重要性,工作条件,损坏后造成后果的严重程度,制造和修配的难易程度等。(5)对减轻设备自重和提高设备机动性的要求。＊＊＊安全因数＊＊＊例如材料的均匀程度较差,分析方法的精度不高,载荷估计粗糙等都是偏于不安全的因素,这时就要适当地增加安全因数的数值,以补偿这些不利因素的影响。又如某些工程结构对减轻自重的要求高,材料质地好,而且不要求长期使用。这就不妨适当地提高许用应力的数值。可见在确定安全因数时,要综合考虑多方面的因素,很难作统一的规定。不过,人类对客观事物的认识总是逐步地从不完善趋向于完善。随着原材料质量的日益提高,制造工艺和设计方法的不断改进,对客观世界认识的不断深化,安全因数的选择必将日益趋向于合理。例:图示三铰屋架的主要尺寸如图所示。它所承受的竖向均布载荷沿水平方向的集度为q＝4.2kN/m,屋架的钢拉杆直径d＝16mm,许用应力[s]＝170MPa,试校核拉杆的强度。q1.42m0.4m螺栓钢拉杆8.5m9.3m解:(1)作计算简图。由于两屋面板之间和拉杆与屋面板之间的接头不坚固,故把屋架的接头看作铰接,得屋架的计算简图如图所示。8.5mqABC9.3m(2)求轴力。qABCFAxFAyFBqACFAxFAyFNFCyFCx4.25m4.65m(3)求拉杆横截面上的应力(4)强度校核满足强度条件,故钢拉杆在强度方面是安全的。例:起重三铰架如图所示。木杆AB的许用应力[1]=12MPa,AC为钢杆,许用应力[2]=160MPa,求结构的最大荷载F。解:取节点A分析,受力如图钢杆设计:80∠20x4FBCA30º木杆设计:FAFNABFNAC选结构不合理，AC可能失稳例:刚性杆ACB由圆杆CD悬挂在C点,B端作用集中力F＝25kN,已知CD杆的直径d＝20mm,许用应力[]＝160MPa,试校核CD杆的强度,并求:（1）结构的许可荷载[F];（2）若F＝50kN,设计CD杆的直径。解:求CD杆受力CD杆满足强度条件。2aaFABDCFABCFNFAyFAx(1)结构的许可荷载[F];2aaFABDCFABCFNFAyFAx结构的许可荷载[F];d＝20mm,[]＝160MPa(2)若F＝50kN,设计CD杆的直径。取d＝25mm2aaFABDCFABCFNFAyFAx例:图示结构,AC

为刚性梁,BD为斜撑杆,载荷F可沿梁AC

水平移动。已知梁长为l,节点A和D间的距离为h。试问:为使斜撑杆的重量最轻,斜撑杆与梁之间的夹角应取何值,即确定夹角的最佳角。lhABCDFq解:设斜撑杆的轴力为FN,载荷F的位置用坐标x表示。FACBxqFNFAyFAx显然,当x＝l时,轴力FN最大:则由平衡方程MA(F)

=0,得:FACBxqFNFAyFAx根据强度要求,斜撑杆所需之最小横截面面积为:于是得夹角的最佳值为:可见,要使斜撑杆的重量最轻,应使其体积最小。由上式得由此得斜撑杆的体积为:例:某工地自制悬臂起重机如图所示。撑杆AB为空心钢管,外径105mm,内径95mm。钢索1和2互相平行,且设钢索可作为相当于直径d＝25mm的圆杆计算。材料的许用应力同为[s]＝60MPa。试确定起重机的许可吊重。解:分析滑轮A,假设撑杆AB受压,轴力为FN;钢索1受拉,拉力为F1。若不计摩擦力,则钢索2的拉力F2与吊重W相等,即F2=W。解得选取坐标轴x和y如图所示。列出平衡方程如下:撑杆AB允许的最大轴力为同理钢索1允许的最大拉力是代入(a)式得相应吊重代入(b)式得相应吊重比较可知,起重机的许可吊重应为17kN。2.6轴向拉伸或压缩时的变形直杆在轴向拉力作用下,将引起轴向尺寸的增大和横向尺寸的缩小。反之,在轴向压力作用下,将引起轴向的缩短和横向的增大。FFll1b1b杆件在轴线方向的伸长为杆件在横向的收缩为纵向应变横向应变FFll1b1b工程上使用的大多数材料,其应力与应变关系的初始阶段都是线弹性的。即,当应力不超过材料的比例极限时,应力与应变成正比,这就是胡克定律。可以写成式中的弹性模量E随材料而不同。当应力不超过比例极限时,杆件的伸长Δl与拉力F和杆件的原长度l成正比,与横截面面积A成反比。这是胡克定律的另一表达形式。对长度相同,受力相等的杆件,EA越大则变形Δl越小,所以EA称为杆件的抗拉(或抗压)刚度。以上结果同样可以用于轴向压缩的情况,只要把轴向拉力改为压力,把伸长Δl改为缩短就可以了。试验结果表明:当应力不超过比例极限时,纵向应变e与横向应变e'之比的绝对值是一个常数。m称为横向变形因数或泊松比,是一个量纲一的量。因为当杆件轴向伸长时横向缩小,而轴向缩短时横向增大,所以e'和e的符号是相反的。e'和e的关系可以写成例:图示为一变截面圆杆ABCD。已知F1=20kN,F2=35kN,F3=35kN。l1=l3=300mm,l2=400mm。d1=12mm,d2=16mm,d3=24mm。E＝210GPa。试求:(1)1-1,2-2,3-3截面的轴力,作轴力图(2)杆的最大正应力max(3)AD杆的变形F1F2F3112233l1l2l3ABCD解:求支座反力FRF1F2F3112233l1l2l3ABCDF1F2F3112233l1l2l3ABCDFR=-50kN(1)求1-1,2-2,3-3截面的轴力,作轴力图。FRF1F2F3112233l1l2l3ABCDF1FN11122F1FN2F2FR33FN3FN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）FRF1F2F3112233l1l2l3ABCD50kN15kN20kN轴力图(2)求杆的最大正应力maxAB段:d2=16mmd1=12mmd3=24mmDC段:BC段:max=176.8MPa发生在AB段。50kN15kN20kN轴力图d2=16mmd1=12mmd3=24mm(3)求AD杆的变形AB段:BC段:CD段:F1F2F3112233l1l2l3ABCDP1P2P3111111111111l1l2l3ABCD缩短例:图示杆系由两根钢杆1和2组成。已知杆端铰接,两杆与铅垂线均成＝30º的角度,长度均为l＝2m,直径均为d＝25mm,钢的弹性模量为E＝210GPa。设在A点处悬挂一重物F＝100kN,试求A点的位移A。AaaBC①②F解:列平衡方程,求杆的轴力AaaBC①②两杆的变形为是伸长变形。FAxyFN2FN1FAaaBC①②变形的几何相容条件是:变形后两杆仍应铰结在一起。以两杆伸长后的长度BA1和CA2为半径作圆弧相交于A",即为A点的新位置。AA"就是A点的位移。A①②A1Δl1A2Δl2A"A"aaAaaBC①②A①②A1Δl1A2Δl2A"A"aa因变形很小,故可过A1,A2分别做两杆的垂线,相交于A,可认为A'例:图示三角形架AB和AC杆的弹性模量E=200GPa,求当F=130kN时节点A的位移。A1=2172mm2,A2=2548mm2。ABCF30º2m①②FAFN1FN2xy30º解:取铰链A分析,由平衡方程求得两杆的轴力1杆受拉,2杆受压。刘鸿文教材习题解答ABCF30º2m①②A1Δl1A2Δl2根据胡克定律求出杆的变形30ºA3AA3

为所求A点的位移ABCF30º2m①②A1Δl1A2Δl2A'30ºAA1A2Δl1Δl2注意变形图中杆件的伸长(缩短)与轴力一定要对应。3m4mFBCD例:一简单托架如图所示,BC杆为圆钢,横截面直径d=20mm。BD杆为8号槽钢。若[s]＝160MPa,E=200GPa,试校核托架的强度,并求B点的位移。设F＝60kN。解:由三角形BCD求出BD杆的长度为5m。然后由节点B的平衡条件求得BC杆的轴力FN1和BD杆的轴力FN2分别为(拉力)(压力)FBFN2FN1BC杆的横截面面积为BD杆为8号槽钢,由型钢表中查出其横截面面积为求出BC和BD杆的应力分别为可见托架的两杆都满足强度要求。3m4mFBCDB1B3根据虎克定律求出BC和BD两杆的变形分别为B2这里Δl1为拉伸变形而Δl2为压缩变形。设想将托架从节点B拆开。BC杆伸长变形后变为B1C,BD杆压缩变形后变为B2D。分别以C点和D点为圆心,CB1和DB2为半径作弧相交于B3。B3点即为托架变形后B点的位置。因为变形很小,B1B3和B2B3是两段极其微小的短弧,因而可用分别垂直于BC和BD的直线段来代替,这两段直线的交点即为B3。3m4mFBCDB1B2B3B2BB1B4B3用图解法求B点的位移例:一等直杆受自重及集中力F作用。杆的长度为l,横截面面积为A,材料的容重为g,弹性模量为E,许用应力为[s]。试分析杆的自重对强度的影响,并求杆的伸长。lFmmFxmmAxFN(x)解:FN(x)=F+Ax+F+AlF强度条件为或可见,若杆的l与材料的[]相比很小,则杆的自重影响很小,可略去不计。lFmmFxmmAxFN(x)+F+AlFlFmmFxmmAxFN(x)

AdxFN(x)FN(x)+dFN(x)dxW=Al为杆的自重lPlFmmFxmmAxFN(x)

AdxFN(x)FN(x)+dFN(x)dx图示结构中,AB为水平放置的刚性杆,杆1,2,3材料相同,其弹性模量E＝210GPa,已知l＝1m,A1＝A2＝100mm2,A3＝150mm2,F＝20kN。试求C点的水平位移和铅垂位移。解：取刚性杆AB分析FFN2FN1AFN3BCFABC45ºDEFABC45ºDE1杆和2杆伸长相同，刚性杆AB作平动，C点位移与A点相同。A1A2长为b、内径d＝200mm、壁厚d＝5mm的薄壁圆环,承受p＝2MPa的内压力作用,如图所示。试求圆环径向截面上的拉应力。如果材料的E＝2GPa，试求其直径的改变量Δd。2.如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为薄壁圆环沿圆环切向的线应变e(周向应变)与径向截面上的正应力s

的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即解：1.前已求出圆环径向截面上的正应力此值小于钢的比例极限(低碳钢Q235的比例极限sp≈200MPa)。从而有圆环直径的改变量(增大)为3.圆环的周向应变e与圆环直径的相对改变量ed有如下关系：2.9轴向拉伸或压缩的应变能固体受外力作用而变形。在变形过程中,