CFD计算流体动方程力学控制

2023/2/41宋立明李志刚李军能源与动力工程学院叶轮机械研究所E-Mail:songlm@计算流体动力学第二章适用于CFD的控制方程2023/2/42适用于CFD的控制方程引言计算流体动力学的控制方程小结适合CFD使用的控制方程不同形式控制方程基础知识物理边界条件2023/2/43CFD是围绕流体动力学建立的，流体力学基本控制方程是CFD的基础和灵魂，计算是手段。全部CFD都是基于这些方程的；CFD建模、计算这些方程具有各种不同的形式，而在CFD领域，方程形式是至关重要的；对控制方程组内容进行启蒙或巩固。适用于CFD的控制方程2023/2/44适用于CFD的控制方程引言计算流体动力学的控制方程小结适合CFD使用的控制方程不同形式控制方程基础知识物理边界条件2023/2/45要得到流体流动的基本方程，要遵循下面的过程：本节内容写出一个基本的物理学原理将它应用于合适的流动模型得到表现这一物理原理的方程牛顿第二定律质量守恒能量守恒固定无穷小流体微团随流场流动有限控制体固定有限控制体随流场流动无穷小流体微团基础知识：流动模型2023/2/46空间位置固定的有限控制体，流体流过控制体随流体流动的有限控制体，同一批流体质点始终位于同一控制体内控制体V控制面SVS微团dVV空间位置固定的小微团，流体流过微团沿流线运动的无穷小流体微团，其速度等于流线上每一点的当地速度基础知识：流动模型2023/2/47设x,y,z轴的单位方向分别用i,j,k表示，则在笛卡尔坐标系下，速度向量场可表示为：这里的速度x,y,z方向分别由下式给出：此外，标量密度场表示为：基础知识：物质导数2023/2/48xzOy12在t1时刻，图中1点，运动流体微团的密度是：在t2时刻，图中2点，流体微团的密度是：基础知识：物质导数2023/2/49在1点做泰勒级数展开：除以t2-t1，并忽略高阶项，可得：平均密度变化率:代表流体微团通过1点时，流体微团密度变化的瞬时时间变化率。

:定义为密度的物质导数。基础知识：物质导数2023/2/410注意到：因此，当t2->t1时,对（2-1）取极限，得：基础知识：物质导数2023/2/411利用笛卡尔坐标系下向量算子的定义：式（2-3）可写为：如：其中：是物质导数，它在物理上是跟踪一个运动的流体微团的时间变化率；叫做当地导数，它在物理上是固定点处的时间变化率；叫做迁移导数，它在物理上表示由于流体微团从流场中的一点运动到另一点，流场空间不均匀性而导致的时间变化率。基础知识：物质导数2023/2/412如果：那么，由全微分给出：由：式（2-8）变为：基础知识：物质导数2023/2/413VS整个控制体的体积变化等于在控制体整个表面对上式求和：如图，dS在时间增量内的运动所导致的控制体体积的改变：基础知识：速度散度2023/2/414对（2-11）的右边应用向量分析中的散度定理，得：假设控制体收缩到一个非常微小的体积，则（2-12）可以写为：两边除以，得到控制体体积变化的时间变化率：基础知识：速度散度2023/2/415或：假设足够小，以至于在整个上都相等，那么当收缩到零时，我们有：上式左边为速度散度，右边就是速度散度的物理意义，即是每单位体积流动着的流体微团，体积随时间变化的变化率。基础知识：速度散度2023/2/416适用于CFD的控制方程引言计算流体动力学的控制方程小结适合CFD使用的控制方程不同形式控制方程：连续方程基础知识物理边界条件2023/2/417写出一个基本的物理学原理将它应用于合适的流动模型得到表现这一物理原理的方程牛顿第二定律质量守恒能量守恒固定无穷小流体微团随流场流动有限控制体固定有限控制体随流场流动无穷小流体微团连续方程应用质量守恒原理，分别采用四个流动模型来推导出流动控制方程（连续性方程）。2023/2/418S对于一个形状任意、大小有限的控制体。该控制体空间位置固定，其边界为控制面。流体穿过控制面，流过固定的控制体。假设某一点的流动速度为V，表面微元的面积向量为dS。仍用表示有限控制体内的一个体积微元。将质量守恒的物理学原理应用于这个控制体，意味着：

通过控制面S流出控制体的净质量流量=控制体内质量减少的时间变化率或：B=C特点：形状和体积不发生变化，质量可能改变。连续方程：空间位置固定的控制体2023/2/419控制体内总质量为：通过控制面S流出整个控制体的质量净流量等于在S上对式（2-16）表示的所有质量微元求和。这个求和运算称为一个面积分，在物理上就代表了式（2-15）的左边，即：体积内质量的增加率为：通过面积dS的质量流量微元为：2023/2/419连续方程：空间位置固定的控制体2023/2/420相反的，体积内质量的减少率是上式的负数，即：因而，将式（2-17）和式（2-18）带入式（2-15b），得：方程（2-19）是连续性方程的积分形式，这种形式称为守恒形式。由空间位置固定的流动模型直接导出的控制方程就定义为守恒型方程。连续方程：空间位置固定的控制体2023/2/421考虑图2-2a右边所示的流动模型(一个随流体运动的有限大小的控制体)：S若为当地密度，则有限控制体的总质量由下式给出：物质导数：流体微团随流体运动时，其任何属性对时间的变化率。由于有限控制体是由无数个无穷小流体微团组成，并具有固定不变的总质量，那么这些不变质量总的物质导数等于零：特点：质量不变、形状和体积一般会发生变化。连续方程：随流体运动的控制体2023/2/422O空间位置固定的无穷小微团模型：形状和体积固定。连续方程：位置固定的微团2023/2/423如果定义净流出量为正，x方向的净流出量为：y方向的净流出量为：z方向的净流出量为：从而，流出微团的净流出量为：无穷小微团内流体的总质量为，因此：连续方程：位置固定的微团2023/2/424质量守恒的物理学原理应用于图2-7中所示的固定微团时，可用下面这句话来表述：流出微团的净质量流量必须等于微团内质量的减少。定义质量的减少为负，可以得到：或：方程（2-24）方括号里的式子就是。这样，方程（2-24）变为：方程（2-25）是连续方程的偏微分方程形式。它是基于空间位置固定的无穷小微团模型。微团的无穷小是方程具有偏微分形式的原因。而微团空间位置固定的事实决定了方程具有式（2-25）给出的微分形式，这种形式称为守恒形式。连续方程：位置固定的微团空间位置固定的流动模型直接导出的控制方程定义为守恒型方程。2023/2/425随流体运动的无穷小流微团，其速度等于流线上每一点的当地速度。V特点：流体微团有固定质量，但它的形状和体积会在它向下游运动时变化。将这个流体微团固定的质量和可变的体积分别用和表示，有：由微团质量守恒，有：综合方程（2-26）和（2-27），得：连续方程：随流体运动的微团2023/2/426或：将式（2-14）代入方程（2-28）后得到：方程是连续性方程的另一种偏微分方程形式，它是基于随流体运动的无穷小流体微团推导出来的。与前面一样，微团的无穷小是方程具有偏微分形式的原因。而微团随流体运动的事实则决定了方程具有式（2-29）给出的为微分形式，这种形式被称为非守恒形式。连续方程：随流体运动的微团由随流体运动模型直接导出的控制方程定义为非守恒性方程。2023/2/427空间位置固定的无穷小微团非守恒型积分形式路径A路径B路径C路径D非守恒型微分形式连续方程的不同形式及其不同流动模型之间的关系空间位置固定的有限控制体随流体运动质量不变的有限控制体随流体运动质量不变的无穷小微团守恒型积分形式守恒型微分形式连续方程：不同方程之间的转换2023/2/428首先，考察如何从积分方程形式得到偏微分方程形式，也就是证明路径C。由于推导方程（2-19）所用的控制体空间位置是固定的，方程（2-19）中积分的积分限是常数，因此时间导数可以置于积分号内：应用向量分析中的散度定理，方程（2-30）中的面积分可以表达为体积为：重复一下方程（2-19），即：路径C连续方程：不同方程之间的转换2023/2/429将方程（2-31）代入方程（2-30），我们得到：或：因为有限控制体是在空间任意选取的，方程（2-32）中积分等于零的唯一可能就是被积函数在控制体内处处为零。于是，从方程（2-32）中可以得到：方程（2-33）正好就是偏微分方程形式的连续方程。路径C连续方程：不同方程之间的转换2023/2/430接下来，将守恒形式变为非守恒形式，即证明路径B：将方程（2-34）代入方程（2-33），得：方程（2-36）恰好就是非守恒形式的偏微分方程。方程（2-35）左边两项为密度的物质导数，因此方程变为：对于标量与向量乘积的散度，由向量恒等式：路径B连续方程：不同方程之间的转换2023/2/431最后，对积分方程进行同样的变换，证明路径A：图中右边所示方程为：因为物质导数表示运动物体随时间变化的变化率，而方程中体积分的积分限由同样的运动微团确定，所以物质导数可以写到积分号之内。这样，方程可以写为：将导数进行展开：路径A连续方程：不同方程之间的转换2023/2/432方括号里的项，物理意义就是“单位体积的无穷小流体微团体积的时间变化率”。回顾速度散度的物理意义，可以知道这一项就是速度的散度。这样，方程（2-38）成为：根据物质导数的定义，式（2-39）的第一项可以展开为：将式（2-40）代入式（2-39），并把所有的项写成一个体积分，得到：对第二项除以再乘以：连续方程：不同方程之间的转换2023/2/433由此，方程变为：最后，使用向量分析中联系面积分与体积分的散度定理：最终变为：方程（2-43）实际上就是左边守恒形式的积分方程。由向量恒等式（2-34），方程（2-41）中的后两项可以写为：路径A连续方程：不同方程之间的转换2023/2/434空间位置固定的无穷小微团非守恒型积分形式路径A路径B路径C路径D非守恒型微分形式连续方程的不同形式及其不同流动模型之间的关系空间位置固定的有限控制体随流体运动质量不变的有限控制体随流体运动质量不变的无穷小微团守恒型积分形式守恒型微分形式连续方程：不同方程之间的转换2023/2/435积分形式与微分形式有着实质性的区别：路径C积分形式的方程比微分形式的方程更基础、更重要。连续方程：积分形式与微分形式积分形式允许在（空间位置）固定的控制体内出现间断；微分形式的控制方程假定流动参数是可微的，从而必须是连续的。2023/2/436适用于CFD的控制方程引言计算流体动力学的控制方程小结适合CFD使用的控制方程不同形式控制方程：动量方程基础知识物理边界条件2023/2/437写出一个基本的物理学原理将它应用于一个合适的流动模型得到表现这一物理原理的一个方程随流体流动无穷小流体微团应用牛顿第二运动定律，采用随流体运动的无穷小流体微团来推导出运动控制方程（动量方程）。V牛顿第二定律动量方程2023/2/438仅考虑x方向，x方向须满足方程：流体微团受力来源：力=质量×加速度体积力表面力重力（引力）电磁力压力粘性力正应力切应力体积力：将作用在单位质量流体微团上的体积力记做，其x方向分量为；流体微团的体积为dxdydz；作用在流体微团上的体积力的x方向分量：外部流体推动微团产生，以摩擦方式作用于表面。流体微团周围的流体施加。动量方程2023/2/439两个约定：表面力：绘制流体微团受到x方向的表面力注意力的方向！动量方程用表示j方向的应力作用在垂直于i轴的平面上；速度的三个分量u、v、w的正的增量与坐标轴的正向一致。2023/2/440x方向总的表面力：流体微团的加速度就是速度变化的时间变化率，加速度的x方向分量就等于u的时间变化率，即：x方向总的力：运动的流体微团质量固定不变，即：动量方程2023/2/441x方向的动量方程为：动量方程y方向的动量方程为：z方向的动量方程为：2023/2/442接下来，将非守恒形式的动量方程变换为守恒形式的动量方程。展开导数：向量恒等式：根据物质导数的定义，方程(2-50a)左边变换为：路径即：动量方程2023/2/443将向量恒等式变换，得到：带入非守恒型动量方程，得到：将(2-52)和(2-53)带入方程(2-51)，得到：质量守恒动量方程2023/2/444纳维-斯托克斯方程的守恒形式:动量方程2023/2/445牛顿流体：流体的切应力与应变时间变化率，即速度梯度，成正比。在空气动力学的所有实际问题中，流体都可以被看成是牛顿流体。其中μ是分子粘性系数，λ是第二粘性系数。斯托克斯提出假设：动量方程对于牛顿流体有：2023/2/446完整的纳维-斯托克斯方程守恒形式：动量方程2023/2/447适用于CFD的控制方程引言计算流体动力学的控制方程小结适合CFD使用的控制方程不同形式控制方程：能量方程基础知识物理边界条件2023/2/448写出一个基本的物理学原理将它应用于一个合适的流动模型得到表现这一物理原理的一个方程能量守恒随流体流动无穷小流体微团应用能量守恒原理，即热力学第一定律，采用随流体运动的无穷小流体微团来推导出能量方程。V能量方程2023/2/449流体微团内能量的变化率=流入微团内的净热流量

+体积力和表面力对微团做功的功率或：对于随流体运动的无穷小微团模型，热力学第一定律可表述为：C为体积力和表面力对微团做功的功率A=B+C作用在一个运动物体上的力，对物体做功的功率等于这个力乘以速度在此力作用方向上的分量。作用于速度为的流体微团上的体积力，做功的功率可表达为：能量方程2023/2/450随流体运动的无穷小流体微团表面力做功首先考虑作用x方向上的表面力，绘制x方向能量通量：压力对运动流体微团做功的功率为：能量方程2023/2/451应力对运动流体微团做功的功率为(与Y轴垂直的面为例)：能量方程随流体运动的无穷小流体微团表面力做功2023/2/452X方向表面力对运动流体微团做功的功率为：能量方程随流体运动的无穷小流体微团表面力做功2023/2/453X方向表面力对运动流体微团做功的功率为：y方向表面力对运动流体微团做功的功率为：z方向表面力对运动流体微团做功的功率为：能量方程2023/2/454将压力、正应力及切应力对流体微团做功加在一起，即得到体积力和表面力做功总和C，即：压力功率，可表达为体积力功率切应力功率正应力功率能量方程2023/2/455B为进入微团内的总热流量进入流体微团的总热流量体积加热，如吸收或释放的辐射热热传导，由温度梯度导致的跨过表面的热运输对微团的体积加热，为单位质量的体积加热率：热传导对流体微团的加热。单位时间通过单位面积在x方向输运的热量，与温度增加的方向相反：能量方程2023/2/456将体积加热和热传导加热相加，得进入微团的总热流量：根据傅里叶热传导定律，热传导产生的热流与当地的温度梯度成正比，有：其中k为热导率，最终得进入微团的总热流量：能量方程2023/2/457A为流体微团能量变化的时间变化率热力学第一定律中内能的物理意义：运动流体微团能量来源分子随机运动产生的单位质量内能e流体微团平动时具有的单位质量动能流体微团能量变化的时间变化率可表示为：一个特定分子的总能量是它的平动能、转动能、振动能和电子能的总和；每个原子的总能量是它的平动能和电子能的总和；气体系统的内能是系统内每个分子和原子能量的总和。运动流体微团的能量来源：能量方程2023/2/458综合A、B和C的表达式，得到非守恒形式的能量方程：上述方程可从两个方面改动：方程左边可以只用内能e或只用焓h或者只用总焓来表示，右边随之变动。能量方程，对上述每种不同形式，都有守恒形式和非守恒形式。能量方程2023/2/459将动量方程分别乘上u、v、w得：三式相加，可得到：能量方程2023/2/460与方程(2-66)相比，该方程具有以下特点：内能e表示的能量方程中不包括体积力项；方程(2-66)中，正应力与切应力是与速度相乘，一起出现在x、y、z的导数内，内能e表示的能量方程中粘性应力单独出现，直接与速度梯度相乘；该方程任然是非守恒形式。能量方程从方程(2-66)减去上式，并注意，可得到方程左边只包含内能e的物质导数的能量方程：2023/2/461对只包含内能e的物质导数的能量方程做变换：完全用流场变量表示的能量方程：方程左边只出现了内能；也可以用其它的能量形式表示。能量方程2023/2/462接下来，将非守恒形式能量方程变换为守恒形式能量方程。路径根据物质导数的定义，方程(2-71)左边变换为：展开导数：向量恒等式：即：即：能量方程2023/2/463得:由连续性方程可知，上式右边方括号内的式子等于零，则有：用内能表示的守恒形式的能量方程：能量方程2023/2/464将内能e改为总能量，有用总能量表达的守恒形式的能量方程：方程从非守恒形式转换为守恒形式，只需要对方程的左边进行变换，方程的右边保持不变。能量方程2023/2/465适用于CFD的控制方程引言计算流体动力学的控制方程小结适合CFD使用的控制方程不同形式控制方程基础知识物理边界条件2023/2/466A.基本物理学原理1.质量守恒定律2.牛顿第二定律3.能量守恒定律B.流动模型1.固定的有限控制体2.移动的有限控制体3.固定的无穷小控制体4.移动的无穷小控制体C.流体流动控制方程1.连续方程2.动量方程3.能量方程数学推导不同形式的控制方程：小结2023/2/467粘性流动的纳维-斯托克斯（Navier-Stokes)方程粘性流动是包括摩擦、热传导和质量扩散等输运现象的流动，这些现象是耗散性的，总是使流体的熵增加。连续性方程：非守恒形式：守恒形式：非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下。不同形式的控制方程：小结2023/2/468动量方程：非守恒形式：守恒形式：不同形式的控制方程：小结2023/2/469能量方程：非守恒形式：守恒形式：不同形式的控制方程：小结2023/2/470无粘流的定义是忽略了散耗、粘性输运、质量扩散以及热传导的流动。连续性方程：非守恒形式：守恒形式：无粘流欧拉（Euler）方程简单地去掉N-S方程中所有包含摩擦和热传导的项，就得到了无粘流动的方程。非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下。不同形式的控制方程：小结2023/2/471动量方程：非守恒形式：守恒形式：不同形式的控制方程：小结2023/2/472能量方程：

非守恒形式：守恒形式：Euler方程形式上相对简单，便于作为模型方程进行分析，也便于求解。不同形式的控制方程：小结2023/2/473这些方程都是非线性偏微分方程耦合而成的方程组，求解析解非常困难。到目前为止，还没有封闭形式的通解。对动量方程的和能量方程，非守恒形式与守恒形式的区别仅在于方程的左端项。不同形式的控制方程：注释2023/2/474守恒形式方程的左边包含了某些量的散度项，控制方程的守恒形式有时又叫做散度形式。方程中的正应力和切应力都是速度梯度的函数，由牛顿流体应力计算式给出。不同形式的控制方程：注释2023/2/475方程组包含5个方程和6个未知的流场变量。需引入状态方程封闭方程组。完全气体的状态方程是：状态方程提供了第六个方程，但引进了第七个未知量。用以封闭整个方程组的必须是状态参量间的热力学关系。不同形式的控制方程：注释2023/2/476粘性流动的动量方程被称为纳维-斯托克斯方程，而在当代的CFD文献中，这个术语扩展到了粘性流动的整个方程组（连续性方程、动量方程和能量方程），纳维-斯托克斯解就是指用整个控制方程组求解粘性流动问题。基于同样的理由，无粘流方程被称为欧拉方程。在当代CFD文献中，整个无粘流方程组的解被称为欧拉解，整个方程组一起被称作欧拉方程。不同形式的控制方程：注释2023/2/477适用于CFD的控制方程引言计算流体动力学的控制方程小结适合CFD使用的控制方程不同形式控制方程基础知识物理边界条件2023/2/478控制方程相同，不同的边界条件，有时还包括初始条件，使得同一个控制方程得到不同的特解。同一组控制方程，为什么会产生千变万化的流动情况呢？任何流动控制方程的数值解一定是从数值上令人信服的反映了给定的边界条件。物理边界条件2023/2/479适合粘性流动的物理边界条件无滑移条件，流动流经固定的物面，紧挨物面的流体与物面之间相对速度为零，即：物面温度也有类似的无滑移条件。紧挨物面的流体温度与物面材料的温度相等。在壁面温度已知的给定问题中，对于流体温度合适的边界条件是：如果壁面温度是未知的，例如有热流传入物面或由物面传给气流，壁面温度是随时间变化的函数，由傅里叶导热定律提供物面边界条件：物理边界条件2023/2/480物面材料对传给物面的热流做出响应，改变壁面温度。而壁面温度又反过来影响热流。因此，一般求解非定常传热问题，要同时处理粘性流动和壁面材料的热响应。这种类型的边界条件是关于壁面温度梯度的边界条件：当壁面温度达到这样一种程度，使得不再有热流传入物面，这个壁面温度定义为绝热壁面温度。绝热壁的边界条件由温度梯度给出：适合粘性流动的物理边界条件物理边界条件2023/2/481对于无粘流动，由于没有摩擦力，不能迫使流体粘附在物面上。因此物面上流体的速度是一个有限的非零值。对于无粘流动，物面速度与物面相切是唯一的物面边界条件。对于非渗透壁，没有流体流入或流出壁面。这意味着紧挨物面的流体的速度必然与物面相切。垂直于物面的速度分量为零，物面上的流动与物面相切，即：物面上速度的大小，物面上流体的温度、压力和密度，都将成为解的一部分。在CFD中，须从数值上合理的实现这些边界条件。适当并且精确的给定数值边界条件是非常重要的。适合无粘流动的物理边界条件物理边界条件2023/2/482适用于CFD的控制方程引言计算流体动力学的控制方程小结适合CFD使用的控制方程不同形式控制方程基础知识物理边界条件2023/2/483守恒形式的方程有空间位置固定的控制体模型导出。关心的是流入流出控制体的质量流量、动量流量和能量流量，而不是密度、速度这些原始变量。这些通量成为方程重要的应变量。守恒形式的流动控制方程相对于非守恒控制方程所具有的重要意义及其在CFD中的应用。守恒形式的控制方程为算法设计和编程计算提供了方便守恒形式的连续方程、动量方程和能量方程可以用同一个通用方程来表达，有助于计算程序的简化和程序结构的组织。适用于CFD的控制方程2023/2/484考察这些方程，用U、F、G、H、J代表列向量，可以的到守恒型控制方程组的通用形式。下述向量方程就可以代表整个守恒形式的控制方程组：解向量通量项适用于CFD的控制方程2023/2/485通量项通量项源项，当体积力和体积热力可以忽略时等于零。适用于CFD的控制方程2023/2/486方程的求解：对于非定常流动和定常流动，都可以采用时间推进方法求解。TF收敛结束计算方程左边解向量计算方程右边源项t=t+△t解向量赋初值计算方程右边通量项时间相关算法流程

对于定常流动，求解非定常方程，用长时间的渐近解趋于定常状态。这就是求解定常问题的时间相关算法。适用于CFD的控制方程2023/2/487无粘流动的列向量适用于CFD的控制方程2023/2/488假设一种定常流动，其控制方程中时间导数项为零，假设可沿x方向推进求解，则有:在CFD中，能否使用推进方法取决于控制方程数学特性。TF收敛结束计算方程左边解向量计算方程右边源项x=x+△xX方向通量赋初值计算方程右边通量项推进算法不局限于时间推进。在某种情况下，定常流动问题可以通过沿着空间某一方向推进的方法来求解。适用于CFD的控制方程2023/2/489守恒形式的分类守恒形式的方程强守恒形式：所有的变量都写进了导数，没有任何变量单独留在时间和空间导数之外，并且时间、空间导数项最多只出现一次。弱守恒形式：除强守恒形式以外的守恒形式方程。强守恒形式求解更方便。适用于CFD的控制方程2023/2/490某些情况下，使用守恒形式的控制方程能得到光滑、稳定、正确的结果，使用非守恒型方程则不能。超声速绕流问题激波装配法计算网格

超声速绕流问题激波捕捉法计算网格

对于含有激波的流动，流场原始变量，如压力，跨过激波会发生急剧变化。对计算这一类流动的方法进行讨论。激波作为流场计算的直接结果。将激波人为的引入