2020四川高考数学(理科)试题及参考答案

13i1413i1423121231232020年国统一高数学试卷（科）（新课Ⅲ）一、选择题（共12小）.．已知集合＝{），，≥}＝{（x，y）x+＝8}则∩中元素的个数为（）A2．复数

B3的虚部是（）

C．D．A﹣

B﹣

C．

D．．在一组样本数据中，2，，4出的频率分别为，，，，面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）

＝1则下Ap＝p＝，p＝＝0.4C．＝＝0.2，＝＝0.3

B．p＝p＝0.4，p＝＝0.1D．＝＝，＝＝0.2Logistic模是常用数学模型之一可应用于流行病学领域有者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数

I

（t

）（t

的单位：天）的模型：I

（t

）＝，其中为大确诊例数．当I（*）＝K，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（19）A60．．66．69．设为坐标原点，直线＝与抛物线：y2＝2px（p0）交于D，两，若ODOE则C的点坐标为（）A（，0

B（，0）

C．（1）

D．2，0）．已知向量，满|＝5＝6，

＝﹣，则＜，+＞（）A﹣

B﹣

C．

D．．在△，cosC＝，AC4，BC，则cos＝（）A

B

C．

D．．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

11151115813A6+4B．4+4C．6+2D4+2．已知2tan﹣tan（A﹣210若直线l与线y＝A＝2+1

）＝7，则tan＝（）B﹣1．1D．和圆x+2都相切，则l的方程为（）B＝2+C．y＝x+1D＝+11设曲线C：﹣＝（a＞0b的右点分别FF离心率P是上点，且FP⊥P若eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F的积为，则＝（）A1B2C4D．12已知584＜．设＝log3，blog，c＝log8，则（）Aab＜cBbacC．＜c＜aD．c＜a二、填空题：本题共小题，每小题5分共20分13若，y满约束条件

则z＝3+2y的大值为．14（2+）展开式中常数项是（用数字作答）．15已知圆锥的底面半径为1母线长为，则该圆锥内半径最的球的体积为．16关于函数f）＝x+

有如下四个命题：f）的图象关于y对称．f）的图象关于原点对称．f）的图象关于直线x＝f）的最小值为．

对称．

nnn1n2nnn1n23nn其中所有真命题的序号是．三解答题共分解答应写出文字说明明过程或演算步骤～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第、题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共分。17设数列{}足a＝，a＝﹣．（1计算，，{}通项公式并加以证明；（2求数{n

}前n项S．18生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次

，

（200400]

（400，空气质量等级（优）（良）（轻度污染）（中度污染）

（1分别估计该市一天的空气质量等级为1，3概率；（2求天中到该公园锻炼的平均人次的估计同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3若某天的空气质量等级为1或，则称这天“空气质量好；若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的×2联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400

人次＞400空气质量好空气质量不好附：2P（

≥k）

k

111111111111119如图，在长方体﹣AD中点EF分在棱DD，上且＝ED，＝．（1证明：点在平面AEF内（2若AB，AD1，AA＝3，求二面角A﹣﹣A的弦值．20已知椭圆

+

＝（0＜）的离心率为分别为C的、右顶点．（1求C方程；（2若点P在C上点在线x＝，＝|，⊥BQ的积．21设函数f）＝x

++，曲线＝f（x）在点（，f））处的切线与y轴直．（1求；（2若f（）一个绝对值不大于的零点，证明f）所有零点的绝对值都不大于．（二）选考题：共1分。请考生在第2223题任选一题作答。如果多做，则所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系参数方]22在直角坐标系中曲线C的数方程为

（

为参数且t≠）与坐标轴交于A，B点．（1求；（2以坐标原点为极点轴半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的坐标方程．[选修：不等式选讲]23设，b，c++＝0＝1．

（1证明++＜0；（2用max{，，c}示，bc的大值，证明max{，b}．

13i1413i142312123123参考答案一、选择题：本题共2小，每小题5分，共60分在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的。．已知集合＝{），N*，y≥x}B＝{x，y）x+＝8}，则A∩中元素的个数为（）A2B3C4D．【分析】利用交集定义求出A∩B{7，1，，2），（，），（4，4}由此能求出A∩B中素的个数．解：∵集合A＝{x，y），yN*，≥}＝{，）+＝8}∴∩＝{（xy|∴∩B中元素的个数为．故选：C．

}{7（6244}．复数A﹣

的虚部是（）B﹣

C．

D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵∴复数故选：D

＝的虚部是．

，．在一组样本数据中，2，，4出的频率分别为，，，，面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）

＝1则下Ap＝p＝，p＝＝0.4C．＝＝0.2，＝＝0.3

B．p＝p＝0.4，p＝＝0.1D．＝＝，＝＝0.2【分析】根据题意，求出各组数据的方差，方差大的对应的标准差也大．解：选项A：E（x）＝1×0.1+2×0.4+3××0.1＝2.5，以（）＝（﹣）

×

0.1+2）

×0.4+（3）2

×0.4+（﹣）×＝0.65；同理选项：（x）＝2.5，Dx）＝2.05选项C：（x）＝2.5，Dx）＝；选项：E（x）＝D（x）＝；故选：B．Logistic模是常用数学模型之一可应用于流行病学领域有者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数

I

（t

）（t

的单位：天）的模型：I

（t

）＝，其中为大确诊例数．当I（*）＝K，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（19）A60．．66．69【分析】根据所给材料的公式列出方程

＝0.95，出t

即可．解：由已知可得＝0.95，解得0.23t53

＝

，两边取对数有﹣（t）＝﹣ln，解得t≈66故选：C．．设为坐标原点，直线＝与抛物线：y2＝2px（p0）交于D，两，若ODOE则C的点坐标为（）A（，0

B（，0）

C．（1）

D．2，0）【分析】利用已知条件转化求解E、坐，通过kODk＝1求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．解：将x＝2代抛线2px，可得y＝±2即，得＝1

，OD，可得ODOE﹣，所以抛物线方程为：y故选：B．

＝x，它的焦点坐标（，）．．已知向量，满|＝5＝6，

＝﹣，则＜，+＞（）A﹣

B﹣

C．

D．【分析】利用已知条件求，后利用向量的数量积求解可．

解：向量，满＝，＝，可得＝＝

＝﹣，＝，＜，+＞＝故选：D

＝＝＝．．在△，cosC＝，AC4，BC，则cos＝（）A

B

C．

D．【分析】先根据余弦定理求出AB，再代入余弦定理求出结论．解：在ABC中cos＝，AC，BC，由余弦定理可得2

＝+

﹣2ACBCC42

+3

﹣24×3＝9；故＝3；∴B＝故选：A．

＝＝，．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A6+4B．4+4C．6+2D4+2【分析】先由三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据，利用三棱锥的表面积公式计算即可．解：由三视图可知几何体的直观图如图：几何体是正方体的一个角，＝AB＝＝2，PA、AB、两垂直，故＝＝＝

，几何体的表面积为：×

＝

故选：C．．已知2tan﹣tan（A﹣2

）＝7，则tan＝（）B﹣1．1D．【分析】利用两角和差的正切公式进行展开化简，结合一元二次方程的解法进行求解即可．解：由﹣tan（+

）＝7得2tan﹣＝，即﹣2﹣﹣＝﹣，得28tan＝0，即tan﹣+4＝，即（﹣）2，则tan，故选：D10若直线l

与曲线y＝

和圆x+2都相切，则l

的方程为（）A＝2+1【分析】根据直线l

B＝2+C．y＝x+1D＝+与圆x2＝相，利用选项到圆心的距离等于半径，在将直线与曲线y＝

求一解可得答案；解：直线l与x2+＝相，那么直线到圆心0）的距离等于半径四个选项中，只有A，D满题意；

，对于选项：y＝2+1与y＝对于选：y＝x与＝

联立可得：2x﹣联立可得：x﹣

+1＝，此时：无解；+＝，时解得x＝1；∴直线l

与曲线y＝

和圆x+＝都相切，方程为＝+，故选：D

111215813813555511121581381355558131311设曲线C：﹣＝（a＞0b的右点分别FF离心率P是上点，且FP⊥P若eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F的积为，则＝（）A1B2C4D．【分析】利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解a即．解：由题意，设PFm＝n，可得mn2，可得216+4，可得24+a，解得＝1．故选：A．

，m+n2

＝42，＝，12已知584

，＜5设＝log3，blog，c＝log8，则（）Aab＜cBbacC．＜c＜aD．c＜a【分析】根据，得＜b然后由＝log＜0.8＝log＞，得到＞b，再确定，b，c的小关系．解：∵＝＝log＜＝＜1∴a＜b∵55，∴5＜4log8，∴log8＞，∴＝log＜；∵13

＜85

，∴4＜5log8∴＝log8＞，＞b，综上，c＞ba．故选：A．二、填空题：本题共小题，每小题5分共20分13若，y满约束条件

则z＝3+2y的大值为7

．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值＝3y表示直线在轴上的截距的一半，只需求出可行域内直线在y轴的截距最大值即可．解：先根据约束条件画出可行域，由

解得A（1，2，如图，当直线z＝x+2过点A（，），目标函数在轴的截距取得最大值时，此时z取最大值，即当x＝，y＝＝3××2．

rr故答案为：7．14（2+）展开式中常数项是（数字作答）．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再x的指数等于，求得r的，即可求得展开式中的常数项的值．解：由于（x

+）6

的展开式的通项公式为＝

2rxr

，令12r＝0，求得r＝4，故常数项的值等于24＝，故答案为：24015已知圆锥的底面半径为1母线长为，则该圆锥内半径最的球的体积为

．【分析】易知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球，作图，求得出该内切球的半径即可求出球的体积．解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线BS，底面半径＝1则其高SC＝

，不妨设该内切球与母线BS切点D，令OD＝OCr，由SOD△，则

＝，即＝，解得r

，V＝r3＝故答案为：

，．

nnnnnn116关于函数f）＝x+

有如下四个命题：f）的图象关于y对称．f）的图象关于原点对称．f）的图象关于直线x＝

对称．f）的最小值为．其中所有真命题的序号是．【分析】根据函数奇偶性的定义，对称性的判定，对称轴的求法，逐一判断即可．解：对，由≠0可得函数的定义域为{x≠k，Z}故定义域关于原点对称，由f﹣x）＝sin（﹣x）+

＝﹣﹣＝f（x）；所以该函数为奇函数，关于原点对称，所错对；对于，f（﹣）＝sin（﹣）（x）关于x＝对称，对；

＝+

＝（x），所以该函数f对于，t＝，t[，0）∪，，双勾函数（）t+的质，可知，（t＝t+（∞，﹣2]∪，∞，所以f）无最小值，错；故答案为：．三解答题共分解答应写出文字说明明过程或演算步骤～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第、题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共分。17设数列{}足a＝，a＝﹣．

n23nnn2nnn12132nnn23nnn2nnn12132nnknnnnnnnnn（1计算，，{}通项公式并加以证明；（2求数{n

}前n项S．【分析】（1）利用数列的递推关系式求出a，，想{a}通项公式，然后利用数学归纳法证明即可．（2化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的前n项．解：（1）数列{a}足＝3，＝﹣，则＝﹣＝5＝﹣×27，…，猜想{}通公式为＝．证明如下：i）当n1，时，显然成立，（ii）设＝ka＝+1N）成立，当＝k时＝a﹣k＝3k+1﹣k＝＝2）+1故＝k+1成立，由（i（ii）知，＝，猜想成立，所以{}通公式＝2+1（2令b＝2n

＝（+1），则数列{n

}前n项和S＝×21

×2+…+2n+1

n

，…两边同乘得，2＝×2×23+…（2n）

n

，…﹣得，﹣Sn＝6+

＝32+2×2…+2﹣（2n+12n+1﹣（2n+1）2，所以＝2﹣1

n+1+2．18生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次

，

（200400]

（400，空气质量等级（优）（良）（轻度污染）（中度污染）

（1分别估计该市一天的空气质量等级为1，3概率；（2求天中到该公园锻炼的平均人次的估计同一组中的数据用该组区间的中点值

为代表）；（3若某天的空气质量等级为1或，则称这天“空气质量好；若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的×2联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400

人次＞400空气质量好空气质量不好附：2P（

≥k）

k

【分析】（）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为1，，的概率；（2采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得得答案；（3由公式

计算k的值，从而查表即可，解：（1）该市一天的空气质量等级为概率为：

＝

；该市一天的空气质量等级为概率为：

＝

；该市一天的空气质量等级为概率为：该市一天的空气质量等级为概率为：

＝＝

；；（）题意可得：一天中到该公园锻的平均人次的估计值为：＝×××＝350（3根据所给数据，可得下面的×2列表，空气质量好空气质量不好总计

人次≤400

人次＞400

总计

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111由表中数据可得：K＝

＝≈5.802＞3.841所以有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天空气质量有关．19如图，在长方体﹣AD中点EF分在棱DD，上且＝ED，＝．（1证明：点在平面AEF内（2若AB，AD1，AA＝3，求二面角A﹣﹣A的弦值．【分析】（1）在上点M，得AM，接，BM，，FC，已知证明四边形FAM和四边形EDAM都平行四边形，可得AF∥，AF＝MB∥ME且ADME进一步证明四边形BEM为行四边形得到∥MB且＝，结合AF∥，＝MB，可得∥，且＝，四边形AFCE为平行四边形，从而得到点C在平面AEF内（2在长方体﹣D中，以为坐标原点，分别以D，，C所在直线为x，y，轴立空间直角坐标系．分别求出平面AEF的个法向量与平面EF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣EF﹣的弦值，再由同角三角函数基本关系式求得二面角﹣EFA的弦．【解答】（1）证明：在上点M使得M＝AM，连接，BM，，在长方体ABCDCD中有DD∥AA，DD＝＝．又2DEED，AM＝AM＝，∴DEAM＝FB．∴四边形FAM四边形都平行四边形．∴AF∥MB，AF＝MB，ADME，且ADME

111111111111111111111111111111111111111111111211又在长方体ABCD﹣AD中，有ADC，＝C∴C∥ME＝，则四边形CEM为行四边形，∴EC∥MB，且＝，又AF∥，AFMB，∴AF∥，AFEC，则四边形AFC为行四边形，∴点C在面AEF；（2解：在长方体ABCDBD中，以C为坐标原点，分别以CD，B，在直线为，，z轴立空间直角坐标系．∵AB2，＝1，＝3，＝ED，＝，∴（，1，），B20）F（0，1），A（，1，），则，，

．设平面AEF的个法向量为

．则，取＝，得；设平面的个法向量为．则，取＝，得．∴＜＞＝＝．设二面角﹣EFA为，sin＝∴二面角﹣EFA的弦值为．

．

20已知椭圆

+

＝（0＜）的离心率为分别为C的、右顶点．（1求C方程；（2若点P在C上点在线x＝，＝|，⊥BQ的积．【分析】（1）根据e＝，a2

＝25，2

＝m，代入计算m

的值，求出C的程即可；（2设出P的标，得关于，，n的程组，求出（81（，），从而求出△的积．解：（1）由e＝得e＝1，即＝﹣，

＝，故的程是：

+

＝；（2由（）（﹣，0），设（，），点（，），根据对称性，只需考虑n＞0情况，此时﹣5＜＜5，＜≤，∵|＝BQ，有（s﹣）

+t2

＝n+1又∵⊥BQ∴﹣5+＝，又

+

＝1，联立得

或，当

时，（，），AQ（，2，

0001100000011000∴＝＝|8×﹣×1|＝，同理可得当

时，S＝，综上，的积是．21设函数f）＝x3+bx+，曲线＝f（x）在点（，f））处的切线与y轴直．（1求；（2若f（）一个绝对值不大于的零点，证明f）所有零点的绝对值都不大于．【分析】（1）求出原函数的导函数，由题意得f（）3×得；（2设x为f（）的一个零点，根据题意，，|

，由此求≤1得到，由x≤，对c（x）求导数，可得（）[﹣1，上的单调性，得到．设x为f（x）的，则必，由此求得x的围得答案．【解答】（1）解：由（x）＝x++，得f′）x+，∴′（）＝3