山西省吕梁市交城中学2023年高二数学理月考试卷含解析

山西省吕梁市交城中学2023年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在数列中，则是它的A.第6项

B.第7项

C.第8项

D.第9项参考答案：B略2.空间四点中，三点共线是四点共面的（）条件Ａ．充分而不必要

Ｂ．必要不充分

Ｃ．充要

Ｄ．既不充分也不必要

参考答案：A略3.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是

A、垂直

B、平行

C、相交不垂直

D、不确定参考答案：A4.已知复数z=x+yi（x，y∈R），且|z﹣2|=，则的最大值为（）A． B． C．2+ D．2﹣参考答案：C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z=x+yi（x，y∈R），且|z﹣2|=，可得（x﹣2）2+y2=3．设圆的切线l：y=kx﹣1，利用圆的切线的性质与点到直线的距离公式可得k2﹣4k﹣2=0，解出即可．【解答】解：∵复数z=x+yi（x，y∈R），且|z﹣2|=，∴=，∴（x﹣2）2+y2=3．设圆的切线l：y=kx﹣1，则，化为k2﹣4k﹣2=0，解得．∴的最大值为2+．故选：C．【点评】本题考查了复数模的计算公式、圆的标准方程及其切线的性质、点到直线的距离公式、斜率的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（

）A、

B、C、

D、参考答案：D略6.若四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是（

）.

A.

B.

C.

D.

参考答案：A7.设F1、F2是椭圆+=1的两焦点，P为椭圆上的点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．8 B． C．4 D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，求得|PF1|?|PF2|=8，结合直角三角形的面积公式，可得△PF1F2的面积S=|PF1|?|PF2|，求得△PF1F2的面积．【解答】解：由椭圆+=1，可知a=4，b=2，可得c2=a2﹣b2=12，即c=2，设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知：m+n=2a=8，∵PF1⊥PF2，得∠F1PF2=90°，由勾股定理可知：m2+n2=（2c）2，∴（m+m）2﹣2mn=4c2，则64﹣2mn=48解得：mn=8，∴|PF1|?|PF2|=8．∴△PF1F2的面积S=|PF1|?|PF2|=×8=4．故选C．8.数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（

）A．甲

B．乙

C．丙

D．丁参考答案：A9.若ABC的三角A:B:C=1:2:3，则A、B、C分别所对边a：b：c=(

）

A.1:2:3

B.

C.

D.参考答案：C略10.下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，＋∞)上是减函数；(3)是偶函数.这样的函数是

A.y＝x3＋1

B.y＝log2(|x|＋2)

C.y＝()|x|

D.y＝2|x|参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若A={1,4,x},B={1,x2}且A∩B=B，则x=____________.参考答案：0，2或-212.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosB﹣bcosA=c，则的值为．参考答案：4考点：正弦定理的应用．

专题：计算题．分析：先根据正弦定理得到sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，再由两角和与差的正弦公式进行化简可得到sinAcosB=4sinBcosA，然后转化为正切的形式可得到答案．解答：解：由acosB﹣bcosA=c及正弦定理可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，即sinAcosB﹣sinBcosA=sin（A+B），即5（sinAcosB﹣sinBcosA）=3（sinAcosB+sinBcosA），即sinAcosB=4sinBcosA，因此tanA=4tanB，所以=4．故答案为：4点评：本题主要考查正弦定理的应用和切化弦的基本应用．三角函数的公式比较多，要注意公式的记忆和熟练应用．13.命题“”为假命题，则实数a的取值范围为

．参考答案：根据题意需满足a的范围为14.已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为_________.参考答案：【分析】由，得出与平行，利用向量的共线关系求解即可【详解】由题意得，，所以与平行，则存在实数使得，即，可得，所以，，，答案为：【点睛】本题考查空间向量的共线问题，属于基础题15.已知向量，若，则___________；若则____________。参考答案：，-6略16.若椭圆：（）和椭圆：（）的焦点相同且.给出如下四个结论：1

椭圆和椭圆一定没有公共点；

②；

③；

④.其中，所有正确结论的序号是

.参考答案：①③④17.给出下列命题：①若，，则；②若，则；③若，，则；④若，，则其中真命题的序号是：_________参考答案：①②三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于的任一点,直线分别交轴于点,证明:为定值,并求出该定值；(3)在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（1）由题意：，解得： 所以椭圆

(2)由（1）可知,设,

直线:,令,得;

直线:,令,得;

则,

而,所以,所以

(3)假设存在点满足题意，则，即设圆心到直线的距离为，则，且

所以 所以

因为，所以，所以所以

当且仅当，即时，取得最大值由，解得

13分所以存在点满足题意，点的坐标为此时的面积为

略19.（本题满分12分）如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF=2DE·AF.

参考答案：证明

过点D作AB的平行线DM交AC于点M，交FC于点N.在△BCF中，D是BC的中点，DN∥BF，∴DN=BF.∵DN∥AF，

∴△AFE∽△DNE，

∴=.又DN=BF，

∴=，

∴AE·BF=2DE·AF.20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，.（1）求证：EF∥平面DCP；（2）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值.参考答案：(1)见解析(2)（1）取中点，连接，易得四边形为平行四边形，从而所以∥平面；（2）平面，且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式得到所成锐二面角的余弦值.解：方法一：取中点，连接，分别是中点,，为中点，为正方形，，,四边形为平行四边形，平面，平面，平面.方法二：取中点，连接，.是中点，是中点，，又是中点，是中点，，，，又，平面，平面，平面，平面，平面平面.又平面，平面.方法三：取中点，连接，，在正方形中，是中点，是中点又是中点，是中点，，又，，，平面//平面.平面平面.方法四：平面,且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，则设平面法向量为，则,即,取，，所以，又平面，∥平面.平面,且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则设平面法向量为，，则,即，取,则设平面法向量为，则,即,取，.平面与平面所成锐二面角的余弦值为.（若第一问用方法四，则第二问部分步骤可省略）点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21.已知向量，．记

(Ⅰ)若，求证：向量和不可能共线；

(Ⅱ)若,求函数的最大值.参考答案：解：（I）（反证法）。假设与共线,则，

…………3分则而这是不可能的，矛盾.和不可能共线。

…………7分（Ⅱ）

…………9分

．,在是是单调递增,

…………11分又

…………14分22.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=4，CB=4，CC1=，∠ACB=90°，点M在线段A1B1上．（1）若A1M=3MB1，求异面直线AM与A1C所成角的余弦值；（2）若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【专题】计算题；空间角．【分析】（1）以CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．算出向量、的坐标，利用空间向量的夹角公式，即可求出异面直线AM与A1C所成角的余弦值为；（2）利用垂直向量数量积为零的方程，建立方程组解出=（1，1，）是平面ABC1的一个法向量，设A1M=x，则=（x﹣4，4﹣x，2），结合题意可得与所成角为60°或120°，利用空间向量夹角公式建立关于x的方程解出x的值，即可得到点M为线段A1B1的中点时，满足直线AM与平面ABC1所成角为30°．【解答】解：（1）分别以CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则C（0，0，0），A（4，0，0），A1（4，0，2），B1（0，4，2）∵A1M=3MB1，∴M（1，3，2），可得=（﹣4，0，﹣2），=（﹣3，3，2），∴cos＜，＞===所以异面直线AM与A1C所成角的余弦值为；（2）由（1）得B（0，4，0），B1（0，4，2）∴=（﹣4，4，0），=（﹣4，0，2）设=（a，b，c