西安电子科技大学讲义

本文格式为Word版，下载可任意编辑——西安电子科技大学讲义第一章随机过程

本章主要内容：

随机过程的根本概念●随机过程的数字特征●随机过程的微分和积分计算●随机过程的平稳性和遍历性●随机过程的相关函数及其性质●复随机过程●正态分布的随机过程

第一章我们介绍了随机变量，随机变量是一个与时间无关的量，随机变量的某个结果，是一个确定的数值。例如，骰子的6面，点数

总是1～6，假设A面点数为1，那么无论你何时投掷成A面，它的点数都是1，不会展现其它的结果，即结果具有同一性。但生活中，大量参量是随时间变化的，如测量接收机的电压，它是一个随时间变化的曲线；又如频率源的输出频率，它随温度变化，所以有个频率稳定度的范围的概念（即偏离标称频率的最大范围）。这些随时间变化的随机变量就称为随机过程。

鲜明，随机过程是由随机变量构成，又与时间相关。

1.1随机过程的根本概念及统计特性

1.1.1

随机过程的定义现在我们进一步论述随机过程的概念。当对接收机的噪声电压作"单次'查看时，可以得到波形)(1tx，也可能得到波形)(2tx，)(3tx等等，每次观测的波形的概括外形，虽然事先不知道，但断定为全体可能的波形中的一个。而这些全体可能的波形集合)(1tx，)(2tx，)(3tx，，)(txn，..，就构成了随机过程)(tX。

图1.1

噪声电压的起伏波形1．样本函数：

)(1tx，)(2tx，)(3tx，，)(txn，都是时间的函数，称为样本函数。

2．随机性：一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本函数带有随机性。因此，随机过程不仅是时间t的函数，还是可能结果的函数，记为),(tX，简写成)(tX。

3．随机过程的定义：

定义1把随机过程看成一族样本函数。

4．定义的理解上面两种随机过程的定义，从两个角度描述了随机过程。概括的

说，作观测时，常用定义1，这样通过观测的试验样本来得到随机过程的统计特性；对随机过程作理论分析时，常用定义2，这样可以把随机过程看成为n维随机变量，n越大，采样时间越小，所得到的统计特性越切实。

因此，可从以下4个方面对定义举行理解。

1.1.2

随机过程的分类随机过程的分类方法有多种，可以按是否连续来分类，也可以按样本函数的形式来分类，还可以按概率分布的特性来分类。

1、按随机过程的时间和状态来分类●连续型随机过程：对随机过程任一时刻t1的取值)(1tX都是连续型随机变量。

●离散型随机过程：对随机过程任一时刻t1的取值)(1tX都是离散型随机变量。

●连续随机序列：随机过程的时间t只能取某些时刻，如t，2t，..，nt，且这时得到的随机变量)(tnX是连续型随机变量，即时间是离散的。相当于对连续型随机过程的采样。

●离散随机序列：随机过程的时间t只能取某些时刻，如t，

2t，..，nt，且这时得到的随机变量)(tnX是离散型随机变量，即时间和状态都离散。相当于采样后再量化。

2、按样本函数的形式来分类●不确定的随机过程：随机过程的任意样本函数的值不能被预料。例如接收机噪声电压波形。

●确定的随机过程。随机过程的任意样本函数的值能被预料。例如，样本函数为正弦信号。

3、按概率分布的特性来分类这是一种更为本质的分类方法，可分为：平稳随机过程，正态随机过程，马尔可夫过程，独立增量过程，独立随机过程和瑞利随机过程等等。

1.1.3

随机过程的概率分布前面说过，用定义2分析随机过程便当，也就是说，把随机过程)(tX看成n维随机变量),...(),,(),(21ntXtXtX的集合（n趋向无穷，且1iittt相当小）。这样，就把多维随机变量的研究代替随机过程的研究，这样的代替足够精细。

1、一维概率分布定义：

由于t1是任一时刻，因此，常把),(11txFX简写成),(txFX。

假设),(txFX的偏倒数存在，那么：

xtxFtxfXX),(),(为随机过程)(tX的一维概率密度函数。

留神：在此定义中，首先固定了时间t，这样就得到了t时刻的随机变量)(tX（t可以是任意时刻），这种分析方法后面经常用到。鲜明，随机过程的一维概率密度是时间t的函数，其性质与一维随机变量的性质一样。

22、二维概率分布

随机过程的二维概率分布反映了随机过程X(t)任意两个时刻状态

之间的联系。通过求边沿分布可以分别求出两个一维边沿分布),(11txfX和),(22txfX。

33、、nn维概率分布

同理，它具有多维随机变量的性质。

1.1.4随机过程的数字特征

随机变量的数字特征通常是确定值；随机过程的数字特征通常是确定性函数，因此，对随机过程的数字特征可以采用"信号与系统'中学习的各种对确定性信号的处理方法。

对随机过程的数字特征的计算方法，是先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法来计算（这时随机过程可以理解为：

)(tX为随机变量（t为任意时刻）

11、数学期望

图1.2随机过程)(tX的数学期望物理意义：假设随机过程)(tX表示接收机的输出电压，那么它的数学期望就是输出电压的瞬时统计平均值。

22、、均方值和方差

定义：随机过程)(tX在任一时刻t的取值是一个随机变量)(tX。我们把)(tX二阶原点矩称为随机过程的均方值，把二阶中心矩记作随机过程的方差。即：

留神：

)]([2tXE和)]([tXD都是确定性函数，)]([tXD描述了随机过程偏离其数学期望的程度。对比方差与均方值的关系，鲜明有：

物理意义：假设)(tX表示噪声电压，那么均方值)]([2tXE和方差)]([tXD分别表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流功率统计平均值。

标准差或均方差：

)()]([ttXDX＝

33、、自相关函数

先对比具有一致数学期望和方差的两个随机过程。

图1.3

具有一致数学期望和方差的两个不同的随机过程

定义：自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻的状态之间的内在联系，通常用),(21ttRX描述。

当t1=t2时，自相关函数就是均方值。

a)自协方差函数若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协方差。用),(21ttKX表示，它反映了任意两个时刻的起伏值之间相关程度。

＝21211)]2()][([dxdxtmxtmxXX－－b)对比自协方差和自相关函数的关系

c)对比自协方差和方差的关系

4、随机过程的特征函数a)一维特征函数随机过程)(tX在任一特定时刻t的取值)(tX是一维随机变量，其特征函数为:dxtxfeeEtuCXjuxtjuXX);()();()(

其反变换为：

duetuCtxfjuxXX);(21);(

这里，);(txfX为随机过程)(tX的一维概率密度。

b)二维特征函数

c)n维特征函数

1.2时间连续随机过程微分和积分

随机过程的微分和积分运算类似于一般的函数的微积分运算，但

由于涉及极限和收敛问题，因而略有不同。

11.2.1随机过程的连续型1、预备学识：对于确定性函数)(xf，若0)]()([lim00xfxxfx，那么)(xf在0x处连续。

2、随机过程)(tX连续性定义

3、随机过程)(tX的相关函数连续，那么)(tX连续

4、随机过程)(tX均方连续，那么其数学期望连续

由均方连续的定义，0t，那么不等式左端趋于0，那么不等式的右端也必趋于0（均值的平方不成能小于0）。

即：0)]([)]([)]()([tXEttXEtXttXE

留神)]([tXE为确定性函数，由预备学识，可知)]([tXE连续。

1.2.2

随机过程的导数预备学识：对于一般确定性函数，高等数学给出的可导定义如下：

一阶可导：假设ttfttft)()(lim0存在，那么)(tf在t处可导，记为)(tf。

二阶可导：hktsfktsfthsfkthsfkh),(),(),(),(lim00存在，那么),(tsf二阶可导，记为tstsf),(21、随机过程可导的定义

2、判别方法由于上面的)(tX是未知的，判断一个随机过程是否均方可微的方法是采用柯西准那么。即下面式子成立，那么随机过程均方可微（书上证明中t的下标有错）。

0]))()()()([(lim2222211110,21ttXttXttXttXEtt

证明：

]))()()()([(222221111ttXttXttXttXE)],(),(),(),([1)],(),(),(),([1)],(),(),(),([1221211212211212222222222222211111111111121tttRtttRttRttttRtttttRtttRttRttttRttttRtttRttRttttRtXXXXXXXXXXXX＋＋＋留神上式右端已经不含有随机变量，由预备学识中确实定性函数可导定义，

]))()()()([(lim2222211110,21ttXttXttXttXEtt

3、数字特征（1）

随机过程导数的数学期望等于其数学期望的导数

证明：

])()(lim[])([0ttXttXEdttdXEt

交换极限和数学期望依次，得

＝ttmttmttXttXEXXtt)()(lim])()([lim00由确定性函数可导定义得

＝dttdmtmXX)()(

（2）

随机过程导数的相关函数等于可微随机过程的相关函数的混合偏导数

即：2121221),()]()([ttttRtXtXEX

证明：

])()(.)()(lim[)]()([22221111002121ttXttXttXttXEtXtXEtt

＝])()(.)()([lim222211110021ttXttXttXttXEtt＝2121211221221100),(),(),(),(lim21ttttRtttRtttRttttRXXXXtt＝21212),(ttttRX（由确定性函数二阶可导定义）

1.2.3随机过程的积分11、预备学识

对于确定性函数)(xf，baniiixfdxxf10)(lim)(，其中，1iiixxx，nixi,,2,1,max

22、、随机过程积分的定义

若

过程。

33、、随机过程积分的数学期望等于随机过程数学期望的积分。

即：

（留神Y为随机变量）

a)随机过程积分的均方值和方差随机过程积分的均方值等于随机过程自相关函数的二重积分；其方差为随机过程协方差的二重积分。

过程的积分的平方可以写成二重定积分的形式：

b)随机过程积分的相关函数：等于对随机过程的相关函数作两次变上限积分（现对t1,后对t2积分）

留神，此处定义的积分是变上限的，与前面的不同，因此)(),(21tYtY是随机过程。

1.3平稳随

机过程和遍历性过程

在通信中，往往把稳定状态下的随机过程，当作平稳随机过程来处理，这样，对这个随机过程任何时候来测量，都会得到同样的结果，从而大大简化了数学模型。对一些非平稳的随机过程，在较短的时间内，往往把它作为平稳随机过程来处理。

然而，对于一个平稳过程，计算其一阶和二阶统计特性是很困难的，而计算其确定时间内的算术平均值相对轻易。假设其统计特性与算术平均特性在概率意义下相等，我们称之为遍历性，也叫各态历经性。

11.3.1平稳随机过程平稳随机过程可以分为严平稳随机过程和宽平稳随机过程两种。

1、严平稳随机过程（侠义平稳过程）

（11）定义

设有随机过程)(tX，若它的n

（22）特点

（33）严平稳随机过程的数字特征

因为：)()0,(),(),(1111111xfxftxftxfXXtXX令

与时间无关。

解：

由严平稳定义，对二维概率密度，

（44）严平稳的判断

按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳，需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是对比困难的。不过，假设有一个反例，就可以判断某随机过程不是严平稳的，概括方法有两个：

i.若)(tX为严平稳，k为任意正整数，那么)]([tXEk与时间t无关。

ii.若)(tX为严平稳，那么对于任一时刻t0，)(0tX具有一致的统计特性。

用随机过程)(tX的3阶矩与t有关来判断)(tX不是严平稳，此时也可采用方法是：

分别令t=0，t=02，带入tBtAtX00sincos)(，得两个随机变量A和B，由于它们的概率密度不同，一般来说)2()()(kBEAEkk（例题假设两者均值和方差相等），因此)(tX不是严平稳的。

2、宽平稳随机过程（广义平稳过程，平稳过程）

由求n维概率密度对比困难，有时只用到一、二阶矩，例如功率（均方值和方差）和功率谱密度（自相关函数），因此，平稳性的定义不需要那么严格。

严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，那么此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平稳与宽平稳等价。

由宽平稳的三个条件可知，此为（宽）平稳过程。

33、平稳随机过程的性质

性质1：

―――――指平稳随机过程的平均功率。

性质2：

，――平稳过程的自相关函数（协方差）为偶函数。

性质3：

，――平稳过程的自相关函数（协方差）在0＝时有最大值。

性质4：

对周期性平稳过程，X(t)=X(t+T)，T为周期，有)()(TRR。

性质5：若平稳过程)(tX含有一个周期分量，那么)(XR含有同一个周期分量。（证略）

性质6：若平稳随机过程)(tX不含有任何周期分量，那么，

性质7：若平稳过程含有平均分量（均值）Xm，那么相关函数也含有平均分量，且等于2Xm。即2)()(XXXmKR；若)(tX是非周期的，那么)()0(2XXXRR。

性质8：平稳随机过程务必得志－0)(deRjX对全体均成立。

―――自相关函数的付氏变换非负，这要求相关函数连续（平顶，垂直边均是非连续）。相关函数（协方差）的典型曲线如下：

图1.4相关函数的典型曲线性质9：平稳过程的相关系数和相关时间a)相关系数：

定义：

称为随机过程

X(t)的相关系数。鲜明，此值在[－1，1]之间。

0)(Xr表示不相关，1)(Xr表示完全相关。

0)(Xr表示正相关，说明两个不同时刻起伏值（随机变量－均值）之间符号一致可能性大。

b)相关时间定义：当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个不同时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。

通常把相关系数的十足值小于0.05的时间间隔，记做相关时间，即：

05.0)(0Xr时的时间间隔0为相关时间。

图1.5相关时间0（或0）的定义相关时间的物理意义：

(01Xm)

21.3.2遍历性或各态历经性随机过程时一族样本函数的集合，因此，要得到随机过程的统计特性，就需要对大量的样本函数举行统计平均或综合平均，很不便当。由于平稳随机过程与时间起点无关，对一个样本函数举行时间平均是否能得到概率意义下的统计平均呢？答案是断定的―――这样的随机过程称为遍历过程或各态历经过程。这样，由任一样本函数就可以得到随机过程的统计特性。

1、遍历性过程的定义a）

其中：

22、、遍历过程的实际应用

一般随机过程的时间平均是随机变量，但遍历过程的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数的时间平均代替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间T不成能无限长，只要足够长即可。

遍历过程的物理意义：

若遍历过程代表是噪声电压，那么均值就是它的直流分量，令0＝，那么有：

鲜明，)0(XR代表电压消耗在单位阻抗上的总平均功率。而

代表电压消耗在单位阻抗上的交流平均功率，标准差X代表电压的有效值。

a)遍历过程和平稳过程的关系遍历过程务必是平稳的，而平稳过程不确定是遍历的。（遍历必定平稳由遍历定义即可知）

解：先证明平稳性

，再证明不是遍历过程。

b)遍历过程的两个判别定理（ⅰ）均值遍历判别定理

证明：对一般平稳随机过程（不确定遍历）来说，)(tX（即)(tX）是一个随机变量，它有均值和方差。

XTTTTTTmdttXETdttXTEtXE)]([21lim)(21lim[])([（留神)(tX为平稳过程）

222])([(]))(([])([XXmtXEmtXEtXD

＝22211])(21)(21[limXTTTTTmdttXTdttXTE

交换积分和数学期望依次

＝TTTTXTdtdtmtXtXET212212)]()([41lim

＝TTTTXTdtdtttKT21122)(41lim

设12tt，12ttu，那么22ut，21ut

所以：2121212121),(),(21uttJt1t2-TT2T2Tu-2TTu2Tu2Tu2Tu2那么})(2141{lim])([22222duKdTtXDXTTTTT

dKTTXTTT)()2(41lim222

＝dmRTTXXTTT))()(21(21lim222

（留神)()(RR）

＝dmRTTXXTT))()(21(1lim220

（1）

由于D[X]=0的充要条件是1}{CXP，（方差性质）

所以

0])([tXD的充要条件是

1})({XmtXP，即均值遍历。

带入（1）式，dmRTTXXTT))()(21(1lim220＝0的充要条件为X(t)的均值遍历。

（ⅱ）自相关函数遍历判别定理

平稳随机过程X(t)的自相关函数)(XR具有遍历性的充要条件是：

（由均值遍历的充要条件引申证明：令)(XXRm）

，

留神：判断一个平稳过程是否遍历的，我们总是先假设其是遍历的，然后看是否得志定义要求（即时间平均以概率1等于统计平均），一般不用两个判别定理。

判断此随机过程的遍历性。

解：已经计算出均值为0，相关函数02cos2)(aRX，现在计算时间平均：

鲜明：

所以，X(t)具有遍历性。

41.4联合平稳随机过程

前面议论了单个随机过程的统计特性，在实际工作中，往往需要议论两个或两个以上随机过程的处境，例如接收机的输入为"信号＋噪声'。

11.4.1两个随机过程的联合概率分布1、分布函数

2、二维严平稳

3、定义(留神两个随机过程的依次不能互换)

4、正交

5、不相关

推论：(1)假设两个随机过程相互独立，且他们的二阶矩都存在，那么必互不相关。

(2)正态过程的不相关与相互独立等价。

6、联合宽平稳两个随机过程)()(tYtX和，假设：

（1）

)()(tYtX和分别宽平稳

（2）彼此关函数仅为时间差的函数，与时间t无关，即

7、联合宽平稳的性质

证明：按定义即可证明，说明彼此关函数既不是偶函数，也不是奇函数。

图1.6彼此关函数的影像关系

证明：由于

0]))()([(2tXtYE，为任意实数

开展得：

0)0()(2)0(2YXYXRRR，这是关于的二阶方程，留神0)0(XR，要使上式恒成立，即方程无解或只有同根，那么方程的系数理应得志042ACB，所以有：

0)0()0(4))(2(2YXXYRRR

所以

)0()0()(2YXXYRRR，同理，)0()0()(2YXXYKKK

证明：由性质（2），得)0()0()(2YXXYRRR

留神到0)0(XR，0)0(YR，因此)]0()0([21)0()0()(YXYXXYRRRRR

（任何正数的几何平均小于算术平均）

（5）

遍历性

（6）线性性

虽然已知X(t)和Y(t)分别平稳，但彼此关函数与t有关，所以不是联合平稳的。

同样，彼此关函数与t有关，所以不是联合平稳的。

1.5复随机过程

前面我们分析了实随机过程，在现实世界上我们遇到的都是实随机过程，但在某些处境下，用复随机过程来分析问题较为便当。复随机过程的统计特性的分析与实随机过程类似。

11.5.1复随机变量1、定义

2、分布函数),(],[)(yxFyYxXPzFXYZ，即由X,Y的联合概率分布描述。

3、数学期望

4、方差

]))([(][][2ZZZmZmZEmZEZD

][][])()[(22YDXDmYmXEYX

这里||表示取模（与实过程不同），为复随机过程与它的复共轭相乘，"*'表示复共轭，鲜明，复随机过程的方差是非负实数，且等于实部和虚部的方差和。

5、独立与相关

这里：

21.5.2复随机过程

1、概率密度函数复随机过程Z(t)的统计特性由X(t)和Y(t)的2n维联合概率分布描述，其概率密度为：

2、均值

3、方差]))()())(()([(])()([)(2tmtZtmtZEtmtZEtDZZZZ

)()(tDtDYX

4、相关函数

自协方差为：

5、平稳性

6、彼此关函数和互协方差函数

7、联合平稳

8、相关和正交

小结：求复随机过程的数字特征时要留神，其均值为复数，方差等二阶矩为非负实数，因此，求其二阶矩时（包括方差，相关函数和协方差）采用一个复随机过程与其共轭相乘，再求数学期望

的方法，其它性质和特性与实随机过程类似。

1.6离散时间随机过程

离散时间随机过程的公式概念好多，但均可以从连续随机过程类推出来，一般不要死记公式。

离散时间随机过程的定义前面谈到过随机过程的分类，随机过程可以分为连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列和离散随机序列四种，其中，后两种统称为离散时间随机过程，它们是对连续随机过程以等间隔时间采样得到的，即采样时间是离散的。

11.6.1离散时间随机过程的概率分布离散时间的随机过程的概率分布用随机变量序列的概率分布来描述。

1、一维处境

2、二维处境

3、n维处境

4、相互独立

5、严平稳

推论：

（1）

平稳离散随机过程的一维概率密度与时间无关，即)();(nXnXxFnxF

（2）

平稳离散随机过程的二维分布函数与时间差有关，即

6、联合分布

●定义

●统计独立

●严平稳

1.6.2

数字特征1．均值

●若(.)g为单值函数，那么dxnxfxgXgEXn);()()]([

●均值的性质：

2．线性独立和统计独立若，

若，线性独立的含义是随机序列Xn和Ym中的任意两个随机变量都互不相关。

推论：统计独立确定线性独立，反之不确定。

3．均方值和方差

鲜明有：

4．自相关函数和自协方差函数

，也可写成

5．彼此关函数和互协方差彼此关函数描述两个不同的随机过程之间凭借性的一个量度，即

6．平稳性●若离散时间随机过程平稳，那么其均值、均方值和方差与n无关，为常数，即：

●若离散时间随机过程平稳，那么自相关函数和协方差只与时间差有关，即

2)()(XXXmmRmK

●判别平稳性（宽平稳）的方法

7．联合平稳（前提是两个随机过程各自平稳）

1.6.3

遍历性11、遍历性的定义

●严遍历：

●宽遍历：

设)(nX是一个平稳随机序列，若

含义：对于遍历序列，其时间均值和时间自相关（m固定）均为确定量（非随机量），几乎全体可能的取样序列的时间平均量都是一致的，因此，遍历序列的时间平均可以用任一序列的时间平均来表示，也即可以用遍历序列的任一取样序列的时间平均代替对整个序列求统计平均。

对随机序列的遍历性的判断，先假设其遍历，看其时间平均是否几乎四处等于统计平均即可。

所以有：（下面的)(nx表示任意一个样本序列）

实际上一般不求极限，工程上使用它们的估计量，只要N足够大即可：

11计算机仿真

采用的仿真工具一般为MATLAB语言。在通信中往往需要计算接收机接收端输入的信噪比（信号功率/噪声功率）。假设随机序列是遍历的，只要对计算机模拟产生的任意一条信号和噪声的样本序列中每个样点值的平方求时间平均，就可以分别得到信号和噪声的平均功率（估计的统计值），从而求出信噪比。

22平稳离散随机过程相关函数的性质

平稳离散随机过程相关函数的性质与连续平稳随机过程的性质类似，此处只给出相应的结论。

性质77．相关系数

鲜明，1)0(Xr，1)(mrX；同理，彼此关系数为：

1.7正态随机过程

正态分布的随机过程（也叫高斯过程）是实际工作中最常遇到的随机过程，中心极限定理报告我们，大量独立的、微小的随机变量的和近似按照正态分布。通信信道中的热噪声和干扰，多按照正态分布。后面我们将谈到，一个宽带信号通过一个窄带滤波器后，按照正态分布，而通信中广泛应用滤波器来滤出有用信号带外的噪声。因此，研究正态随机过程特别必要。

11.7.1正态随机过程的一般概念随机过程可以看成一族样本函数的集合，也可看成一族随机变量

的集合，这些随机变量可记为：

，也

1、正态随机过程的定义假设随机过程X(t)的任意n维概率分布都是正态分布，那么称它为正态随机过程或高斯随机过程，简称正态过程或高斯过程。

2、概率密度函数正态随机过程的概率密度函数即n维随机变量的联合概率密度函数，即

其中，kikiXikttKr),(

，（留神下面的上画线表示均值，即im）

性质1：正态随机过程的概率密度函数由它的一、二阶矩（均值、方差和相关系数完全抉择）。

推论：若复正态随机过程Z(t)的n个采样时刻得到n个复随机变量，即

21.7.2平稳正态随机过程1、平稳正态随机过程的定义若正态随机过程得志以下条件，那么它是宽平稳（平稳）正态随机过程。

理解：由平稳随机过程的三大条件（均值为常数，相关函数只与时间差有关，均方值有界）可知，那么)0()]([2XRtXE为确定值，而方差＝2)0(XXmR必为常数，显然，方差为常数那么222)]([XXmtXE也为常数，物理意义是总平均功率等于交

流平均功率与直流平均功率之和。

2、平稳正态过程的n维概率密度根据前面论述，正态随机过程的n维概率密度由它的一、二阶矩完全确定，其表达式见2.7.1式。对于平稳正态随机过程，其概率密度表达式可以简化。

平稳正态过程一、二维概率密度表达式如下：

平稳正态过程n维概率密度表达式如下：

回想：逆矩阵的求法：，设有一矩阵A，那么

3、平稳正态过程的n维特征函数

一维和二维特征函数：

31.7.3正态随机过程的性质性质2：正态过程的严平稳与宽平稳等价证明：由于严平稳正态过程的均方值有界，严平稳正态过程确定是宽平稳的。现在证明宽平稳正态过程也是严平稳的。

那么其一维概率密度：

也与时间t无关。对二维概率密度

现在看n维概率密度，即

它由均值，方差和相关系数唯一确定，而均值和方差是常数，相关系数22)()(XikkiikikmRKr只与时间差有关，因

此n维概率密度函数与时间起点无关，由严平稳定义，可知宽平稳正态随机过程是严平稳的。

因此，正态过程的严平稳与宽平稳等价。

性质3：正态过程的不相关与相互独立等价，即

证明：（1）假设Xn（n＝1，2，.）两两之间相互独立，那么kimXEmXEmXmXEttKkkiikkiikiX0)][()][()])([(),(

所以，两两互不相关。

（2）假设Xn（n＝1，2，.）两两之间互不相关，由式，

＝kikii20所以，2210...0...nK

那么2210...0...1－－－nK，22221nK，带入式得：

即两两相互独立。

性质4：平稳正态过程与确定信号之和仍为正态分布，但不确定平稳。

证明：设X(t)为平稳正态过程，S(t)为确定性信号，Y(t)=X(t)+s(t),那么，对于任意时刻t，Y(t)=X(t)+s(t)为随机变量，这时，s(t)具有确定值，由随机变量函数的概率密度求法，的Y(t)的一维概率密度函数为：

));(());(();(ttsyfdxdyttsyftyfXXY，即在)(txfX；的表达式变量变换即可（s(t)可以理解为确定值（当t固定）），由于为正态分布，所以)(tyfY；鲜明是正态分布。

对于随机变量Y(t1)，Y(t2)二维概率密度，用二维随机变量函数的概率密度求法，由于雅可比行列式的值为1，所以：

为正态过程。

同理，可证明合成信号的n维概率密度也是正态过程。

而：

)()]()([)]([tsmtstXEtYEX与t有关，不是常数，所以不是平稳的。

推论：正态过程的线性变换仍为正态分布。

性质5和性质6：

证明略。

性质7:正态随机过程通过线性系统后的输出仍为正态过程。

推论：正态过程的线性变换仍为正态过程。

解：可得（2）

1.8马尔可夫过程

马尔可夫过程是由前苏联数学家A.A.Markov首先提出和研究的一类随机过程，现在已经成为内容丰富、理论完善、应用广泛的一门数学分支，应用领域包括计算机、通信、自动操纵、随机服务、稳当性、生物学、经济、管理、教导、气象、物理、化学等等。

马尔可夫过程按时间和状态是否连续可分为四类（同一般随机过程分类）。生活中，我们所查看到的大量物理过程可以近似看成马尔可夫过程。这里我们只研究状态和时间参数都离散的马尔可夫过程――马尔可夫链，且状态数是可列或可数的。

马尔可夫过程具有如下特性：当随机过程在时刻it所处的状态为已知的条件下，过程在itt时刻所处的状态，与过程在it时刻以前所处状态无关，而仅与过程在it时刻的状态有关。这个特性称为随机过程的无后效性或马尔可夫性。

例如生物基因遗传从这一代到下一代的转移中仅凭借与这一代而与以往各代无关。

11.8.1马尔可夫链的定义定义：假定随机过程X(t)在每一个时刻nt(n=1,2,,..)的采样为

)(nntXX，nX可能取的状态为Naaa,...,2,1中任意一个，而且过程X(t)在kmt时刻变成任一状态),...,2,1(Niakmi的概率，只与过程在mt时刻的状态有关，而与过程在mt时刻以前的状态无关。

1111,...,,iimimikmaXaXaXaXPmmkm＝mkmimikmaXaXP那么称此随机序列nX为马尔可夫链，简称马氏链。

1.8.2

马氏链的转移概率及其矩阵1．马氏链的转移概率马氏链的转移概率),(kmmPij：在mt时刻展现imaX的条件下，kmt时刻出现jkmaX的条件概率。

即

),(kmmPij＝imjkmaXaXP。式中Nji,...3,2,1,；m，k皆为正整数。

齐次马氏链：

),(kmmPij与m无关。这里只议论齐次马氏链。

2．一步转移概率及其矩阵一步转移概率：若),(kmmPij中k＝1，简记为ijP，即：

ijP＝)1,(mmPij＝imjmaXaXP1表示马氏链由状态ia经过一次转移到状态ja的转移概率，即一步转移概率。

转移概率矩阵：

练习题

1-1两班半随机二进过程定义为

()XtA或-A,(n－1)TtnT0,1,2,n

其中值A与-A等概率展现，T为一正常数，0,1,2,n

（1）画出典型的样本函数图形；（2）将此过程规类；（3）该过程是确定性过程么？

1－2离散随机过程的样本函数皆为常数，即(){}(0,)!ktktPKkPtek()XtC可变常数，式中C为一随即变量，其可能值为11,2233ccc及，且他们分别以概率0.6，0.3及0.1展现。（1）X（t）是确定过程么？（2）求：在任意时刻t，X(t)的一维概率密度。

1－3设随机过程X(t)=Vt，其中V是在（0，1）是平匀分布的随机变量，求过程X（t）的均值和自相关函数。

1－4设随机过程2X(t)=At+Bt，式中A,B为两个互不相关的随机变量，且有E[A]=4,E[B]=7,D[A]=0.1,D[B]=2.求过程X（t）的均值，相关函数，协方差函数和方差。

1－5程X(t)的数学期望2E[X(t)]=t+4。求另一随机过程2Y(t)=tX(t)+t的数学期望。

1－6信号X(t)=Vcos3t，其中V是均值为1，方差为1的随机变量。设新的随机信号

t01Y(t)=

X()dt

求Y（t）的均值，相关函数，协方差函数和方差。

1－7个随机过程X(t),Y(t)都是非平稳过程()()cosXtAtt

,Y(t)=B(t)sint其中()At，B(t)为相互独立，各自平稳的随机过程，且他们的均值均为0，自相关函数相等。试证明这两个过程之和()()ZtXtY(t)是宽平稳的。

1－8设随机信号0()sin()Xtat，式中a,0均为正的常数；为正态随机变量，其概率密度为

2/21()2fe

试议论X(t)的平稳行。

1－9已知随机过程00()cosXtAt+Bsint

，式中0为常数；而A与B是具有不同概率密度，但有一致方差2，均值为零的不相关的随机变量。证明X(t)是宽平稳而不是严平稳的随机过程。

1－10

已知两个随机过程

()cossin,()cossinXtAtBtYtBtAt

其中A，B是均值为0，方差为5的不相关的两个随机变量，试证过程X（t）、Y（t）各自平稳，而且是联合平稳的；并求出他们的彼此关系数。

1－11

设随机信号()cos()Xtat，其中a可以是、也可以不是随机变量，是在（0，2）上平匀分布的随机变量；并且

a为随机变量时，它与统计独立。求：（1）时间自相关函数

和集自相关函数；（2）a具备什么条件时两种自相关函数相

等。

1－12

设随即过程()cosXtAsint+Bt,其中A、B均为零均值的随机变量。试证：X(t)是均值遍历的，而方差无遍历性。

1－13

设随机过程()cos()XtAQt

,式中A、Q和为统计独立的随机变量；而且，A的均值为2、方差为4，在

（－，）上平匀分布，Q在（－5，5）上平匀分