高中数学北师大版第三章指数函数和对数函数 单元测试三

单元测试三本试卷满分：100分考试时间：90分钟班级________姓名________考号________分数________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．\r(a\r(3,a\r(a)))用分数指数幂表示为()A．aB．a3C．aD．a2答案：C解析：eq\r(a\r(3,a\r(a)))＝(a·(a·a))＝aeq\f(3,4)，故选C.2．若log5eq\f(1,3)·log36·log6x＝2，则x等于()A．9\f(1,9)C．25\f(1,25)答案：D解析：由换底公式，得eq\f(lg\f(1,3),lg5)·eq\f(lg6,lg3)·eq\f(lgx,lg6)＝2，所以－eq\f(lgx,lg5)＝2，即lgx＝－2lg5＝lgeq\f(1,25)，所以x＝eq\f(1,25).3．函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则A．a＝1或a＝2B．a＝1C．a＝2D．a＞0且a≠1答案：C解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1，,a＞0，,a≠1，))解得a＝2.故选C.4．若f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x∈[－1，0,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，x∈[0，1]))，则f(f(log32))的值为()\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(1,2)D．－2答案：A解析：∵f(log32)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝－eq\f(1,2)，∴f(f(log32))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3＝eq\f(\r(3),3).5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了()A．10天B．15天C．19天D．20天答案：C解析：荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半．故选C.6．指数函数y＝f(x)的反函数的图像过点(2，－1)，则此指数函数为()A．y＝(eq\f(1,2))xB．y＝2xC．y＝3xD．y＝10x答案：A解析：利用互为反函数的两个函数的关系知该指数函数过点(－1,2)，代入函数式y＝ax求出a即可．7．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则()A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a答案：C解析：∵x∈(e－1,1)，∴a＝lnx∈(－1,0)，b＝2lnx∈(－2,0)c＝ln3x∈(－1,0)．令lnx＝t∈(－1,0)．则t3＞t＞2t.∴b＜a＜c，故选C.8．函数y＝[log(5x－3)]的定义域是()A．x≤eq\f(4,5)\f(3,5)≤x＜eq\f(4,5)C．x＞eq\f(3,5)\f(3,5)＜x≤eq\f(4,5)答案：D解析：若使函数有意义，则需log(5x－3)≥0，其同解于0＜5x－3≤1，解得eq\f(3,5)＜x≤eq\f(4,5).9．函数y＝log(4x－x2)的值域是()A．[－2，＋∞)B．RC．[0，＋∞)D．(0,4]答案：A解析：令t＝4x－x2，则t＝－(x－2)2＋4，∴0＜t≤4，而y＝logt在(0,4]上为减函数，∴t＝4时，ymin＝log4＝log(eq\f(1,2))－2＝－2，∴y≥－2，即值域为[－2，＋∞)，故选A.10．二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝(eq\f(b,a))x的图像只可能是图中的()答案：A解析：由指数函数y＝(eq\f(b,a))x的图像知0＜eq\f(b,a)＜1.所以y＝ax2＋bx的图像过(0,0)点，与x轴的另一个交点在x轴负半轴上，故A符合．二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．11．已知函数f(x)＝a2x－1－1(a>0，且a≠1)的图象过定点，则此定点的坐标为________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))解析：由2x－1＝0，得x＝eq\f(1,2)，所以函数f(x)＝a2x－1－1的图象过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).12．函数y＝log2(x2＋2x)的单调递增区间是________．答案：(0，＋∞)解析：由x2＋2x>0，得x<－2或x>0.令t＝x2＋2x，因函数y＝log2t在(0，＋∞)上单调递增，又t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1在[－1，＋∞)上单调递增，故函数y＝log2(x2＋2x)的单调递增区间是(0，＋∞)．13．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2023)))＝4，则f(2023)＝________.答案：0解析：由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2023)))＝alog2eq\f(1,2023)＋blog3eq\f(1,2023)＋2＝4，得－alog22023－blog32023＝2.∴alog22023＋blog32023＝－2，∴f(2023)＝alog22023＋blog32023＋2＝0.三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．解方程：(1)log2(x2－x－2)＝1＋log2(x－1)；(2)3x＋1－3－x＝2.解：(1)log2(x2－x－2)＝log22(x－1)．∴x2－x－2＝2x－2.解得x＝0，x＝3，经检验，x＝3是原方程的根．(2)3·3x－eq\f(1,3x)＝2，即3(3x)2－2·3x－1＝0.3x＝1(3x＝－eq\f(1,3)舍去)，∴x＝0.15．已知函数f(x)＝eq\f(1,2)＋lgeq\f(1－x,1＋x).(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数的单调性；(2)解关于x的不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))))<eq\f(1,2).解：(1)f(x)＝eq\f(1,2)＋lgeq\f(1－x,1＋x)＝eq\f(1,2)＋lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,1＋x)))，要使f(x)有意义，即eq\f(1－x,1＋x)>0，得－1<x<1，∴f(x)的定义域为(－1,1)．任取x1，x2∈(－1,1)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,1＋x1)))－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,1＋x2))).∵－1<x1<x2<1，∴0<x1＋1<x2＋1，∴－1＋eq\f(2,1＋x1)>－1＋eq\f(2,1＋x2)，∴lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,1＋x1)))>lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,1＋x2)))，∴f(x1)>f(x2)，即f(x)在(－1,1)上为减函数．(2)∵f(0)＝eq\f(1,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))))<eq\f(1,2)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))))<f(0)．由(1)，知f(x)在(－1,1)上为减函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<1,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))>0))，解得eq\f(1－\r(17),4)<x<0或eq\f(1,2)<x<eq\f(1＋\r(17),4).即不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(17),4)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1＋\r(17),4))).16．若点(2，eq\f(1,4))既在函数f(x)＝2ax＋b的图像上，又在它的反函数的图像上，求a、b的值．解：因为点(2，eq\f(1,4))在f(x)的反函数图像上，所以点(eq\f(1,4)，2)在原函数的图像上．将点(2，eq\f(1,4))和(eq\f(1,4)，2)分别代入f(x)＝2ax＋b得解之，得a＝－eq\f(12,7)，b＝eq\f(10,7).17．已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)和g(x)的大小．解：因为f(x)－g(x)＝logxeq\f(3x,4)，所以①当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1,\f(3x,4)>1))，即x>eq\f(4,3)时，logxeq\f(3x,4)>0，即f(x)>g(x)；②当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1,0<\f(3x,4)<1))，即0<x<1时，logxeq\f(3x,4)>0，即f(x)>g(x)；③当eq\f(3x,4)＝1，即x＝eq\f(4,3)时，logxeq\f(3x,4)＝0，即f(x)＝g(x)；④当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1,0<\f(3x,4)<1))，即1<x<eq\f(4,3)时，logxeq\f(3x,4)<0，即f(x)<g(x)；⑤当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1,\f(3x,4)>1))时，无解．综上所述：当x∈(0,1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))时，f(x)>g(x)；当x＝eq\f(4,3)时，f(x)＝g(x)；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))时，f(x)<g(x)．18．定义在R上的单调函数f(x)满足f(2)＝eq\f(3,2)，且对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)为奇函数；(2)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)，令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，则0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)f(2)＝eq\f(3,2)>0，即f(2)>f(0)．又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数．又由(1)，知f(x)是奇函数，则f(k·3x)<－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)，所以k·3x<－3x＋9x＋2，即32x－(1＋k)·3x＋2>0对任意x∈R