概率论和数理分析第七章

第七章假设检验

统计推断的另一类重要问题是假设检验问题.

在总体的分布函数类型已知，但参数未知或分布函数完全未知的情况下，为了推断总体的某些未知特性，需要提出某些关于总体的假设。例如，提出总体服从二项分布的假设，或者，对于正态总体提出数学期望等于的假设等，然后根据样本所提供的信息去检验所作的假设是否合理.经检验后，若假设合理，就接受这个假设，否则就拒绝这个假设.这种首先提出假设，然后由样本信息来决策是否接受假设的过程称为假设检验.本章主要内容

第一节假设检验概述第二节正态总体参数的假设检验第三节两个正态总体参数相等的假设检验重点介绍第一节和第二节一、三种典型问题:已知总体的样本资料,要求推断①该总体的均值是否等于某值?②两总体的方差是否相等?③该总体的分布是否为某种分布?0.4970.5060.5180.5240.4480,5110.5100.5150.512问这天包装机的工作是否正常?问题1

某车间用一台包装机包装葡萄糖,额定标准为每袋净重0.5公斤.设包装机称得的糖重服从正态分布,并知起标准差=0.015(公斤).某天开工后,为检验包装机的工作是否正常,速记抽取它包装的糖9袋,称得净重为:

第一节假设检验概述总体的均值是否等于额定值0.5？问题2在甲乙两台机床上加工同一种零件的外圆(公差要求相同),现从它们加工的产品中各抽取8件,测得其外径如下:甲:10.28,10.34,10.45,10.29,10.247,10.30乙:10.30,10.34,10.36,10.24,10.38,10.48,问它们的加工质量有无差别?设X、Y分别表示甲乙机床加工零件的外径，问题为检验假设H0:“E(X)=E(Y)”吗?即两总体期望相等吗？问题3

如测得总体X的一组样本值(x1,x2,…xn),

问X是否服从N(,2)?即检验假设H0:“X~N(,2)”是否成立假设检验:从样本出发,判断一种假设“H0”是否成立的问题称为假设检验问题.问题1、2是参数检验,问题3是分布检验

所以假设检验按检验对象分类可分为参数检验和非参数检验（我们只讲参数检验）假设检验就是对总体X作某种假设，然后依据样本数据，判定假设“H0”是否成立的推断方法。假设检验的基本方法：类似于反证法，但是带有概率性质，具体说就是为了检验一个假设是否成立，先假定这个假设成立，在此前提之下进行推导，看会得到什么结果，如果导致了一个不合理现象的出现，则表明假定该假设成立不正确，即原假设不能成立，此时，拒绝这个假设；如果没有导致不合理现象的出现，则接受这个假设，其中“不合理想象”的标准是：小概率原理

可以认为在一次试验中小概率事件不会发生.在假设成立的前提下，如果小概率事件在一次试验中竟然发生了，则实属反常，有理由怀疑假设不成立.引例1

某车间用一台包装机包装葡萄糖，额定标准为每袋净重0.5公斤。设实际袋重服从正态分布，且=0.015。某天开工后，随机抽取9袋，称得净重为

0.497,0.560,0.518,0.524,0.489,0.511,0.510,0.515,0.512.

问包装机的工作是否正常?

二、问题的引出思考：怎样算是“包装机的工作正常”？总体的均值是否等于0.5？平均袋重应当稳定在额定标准！当H0为真时如果过分大,则有理由怀疑H0的正确性，从而拒绝H0分析记包装机所包装的糖的重量为X,则假设H0：=0=0.5

，代入样本值，计算可得小概率事件在一次试验中竟然发生了，因此，我们有理由认为，假设H0不真，而拒绝之。有理由认为包装机工作不正常。{|U|≥1.96}是一个概率很小的事件！比如取=0.05，就有当H0为真时从而拒绝H0，接受H1，即认为包装机的工作不正常。临界值点解:假设H0：=0=0.5，记H1：≠0=0.5，由于X～N(0，2),故检验统计量对于给定的=0.05，检验水平有P{|U|>z/2=1.96}=0.05拒绝域实际计算得原假设备择假设当H0为真时，说明接受域和拒绝域/2/2接受域拒绝域拒绝域原假设:是接受检验的假设,记作H0备择假设:当原假设被否定时生效的另一种假设,记作H1.也叫对立假设注意:原假设和备择假设是相互对立的.原假设和备择假设统称为统计假设.例如,关于总体平均值的假设有三种:①H0:=0

H1:≠0

②H0:=0

H1:<0

③H0:=0

H1:>0

第一种类型的假设检验称为双边检验,第二种为左边检验、第三种为右边检验.假设检验按拒绝域分类可分为双边检验、左边检验和右边检验三、假设检验方法分析:1、假设检验的一般方法:“弃真”错误概率：两种易犯的错误P{拒绝H0|H0为真}=P{U落入拒绝域|H0为真}=

。“纳伪”错误概率：P{接受H0|H0为假}=P{U没落入拒绝域|H0为假}大小没法确定！！事实:n一定时,其一减小必导致另一个的增大;n充分大时,

二者可同时减小.显著性检验:只控制“弃真”错误概率,而不考虑“纳伪”错误概率的检验.显著性检验水平:显著性检验中“弃真”错误概率的控制水平.四、假设检验的一般步骤:⑴提出假设：提出原假设H0.及备择假设H1⑵选择检验统计量：该检验统计量必须包含待检验的参数，且在原假设成立的条件下知其分布.⑶确定拒绝域：根据显著性水平,即所允许犯第一类错误的概率,求出拒绝域或临界点,并注意是单边检验还是双边检验.⑷做出判决：根据样本数据计算统计量的实测值,将实测值与拒绝域对照,若实测值落入拒绝域,则否定原假设,否则接受原假设.一、均值μ的假设检验二、方差σ2的假设检验2.方差σ2未知的情况1.方差σ2已知的情况第二节单个正态总体参数的假设检验1、单个正态总体均值的检验例2一种燃料的辛烷等级服从正态分布，其平均等级,标准差,现抽取25桶新油，算得平均等级为97.7，假定标准差与原来一样，问新油的辛烷平均等级是否比原燃料的辛烷平均等级偏低?解

按题意需在水平下检验假设：因已知，取检验统计量

拒绝域（参阅表7-1）为,即拒绝域为计算统计值作出统计结论

故落在拒绝域，所以应拒绝，接受H1即认为新油的辛烷平均等级在给定水平下比原燃料的辛烷平均等级偏低例3

某工厂所产某种产品的寿命X～Ｎ(,2),在正常情况0=40,0=2.技术革新后随机取产品25件,测得寿命均值为40.75.设革新后方差没变,问革新后产品质量是否较以前有显著提高(=0.05)？分析：故假设H0

:=0=40；H1:>0=40由于只考虑质量是否提高,所以是单边检验.因已知，取检验统计量

拒绝域（参阅表7-1）为,即拒绝域为计算统计值所以拒绝H0,而接受H1；也就是说,技术革新后,产品的寿命在水平=0.05下有了显著提高。与正态总体期望的假设检验类似，在水平

下，方差检验也有以下三种类型：①

，②，③，

二、单个正态总体方差的假设检验

不论总体的期望是否已知，当为真时，均选择检验统计量双边检验情形由于:

故方差的双边检验的拒绝域为右边检验和左边检验的拒绝域分别是如下图7所示：检验法.因检验统计量服从分布，故此类检验法称为解：厘米，现随机抽取了5个部件，测得它们的例4某公司生产的发动机部件的直径服从正态分布.公司称它的标准差问（1）我们能认为该公司生产的发动机部件直径的标准差确实为厘米吗？（2）我们能否认为？直径为：1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.取选取检验统计量因是双边检验，故拒绝域为对于本题:得拒绝域为计算K的数值落入拒绝域了，故拒绝即认为该公司生产的发动机部件直径的标准差不是

厘米例4某公司生产的发动机部件的直径服从正态分布.公司称它的标准差厘米，现随机抽取了5个部件，测得它们的问（1）我们能认为该公司生产的发动机部件直径的标准差确实为厘米吗？（2）我们能否认为？直径为：1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.取选取检验统计量因是右边检验，故拒绝域为查分布表,故拒绝域为计算K的数值落入拒绝域了，故拒绝即认为发动机部件直径的方差超过一、均值差μ1-μ2的假设检验二、总体方差比12∕22的检验2.总体方差σ21,σ22未知的情况1.总体方差σ21,σ22已知的情况第三节两个正态总体参数相等的假设检验一、两总体X与Y的均值差1-2的检验（H0：1=2）两总体X与Y的方差12、22已知时，用作为检验统计量——U检验法。两总体X与Y的方差12、22未知，但12=22=

2，用作为检验统计量——T检验法。无论两总体X与Y的均值1、2是否已知，均用

二、两总体X与Y方差比12∕22的检验

（H0：12∕

22=1）作为检验统计量

——F—检验法。以上这些统计量,你是否已经记熟?练习

一台车床生产某一型号的滚珠.已知滚珠的直径服从正态分布,规定直径的标准值为1(cm),均方差不能超过0.02(cm).现从这台车床生产的滚珠中抽出9个,测得其直径为:0.994，1.014，1.02，0.95，1.03，0.988，0.979，1.023，0.982，问这台车床工作是否正常？(取检验水平=0.05)分析：（2）对期望的假设检验，单边还是双边?（3）对方差的检验假设，单边还是双边?（1）要判断工作是否正常，需检验什么？备择假设H1应取作什么？检验统计量用哪一个？备择假设H1应取作什么？检验统计量用哪一个？设滚珠的直径为X，计算其样本均值为x=0.998，

样本均方差为s=0.026。设滚珠的直径为X，计算其样本均值为x=0.998，

样本均方差为s=0.026。（1）先在水平=0.05下检验假设

H0：=0=1H1：≠0=1。

取统计量则T～t（9-1）由P{|T|>t0.025}=0.05，查t分布表得:t0.025(8)=2.306，即拒绝域为(－,－2.306)∪(2.306，+)，=0.23<2.306故接受H0。解:而|T|的数值:（2）再在水平=0.05下检验假设

H0：2≤02=0.022,H1：2>02

=0.022取统计量：则Y～2（8）由P{Y>20.05}=0.05,查2分布表得:20.05(8)=15.507,从而拒绝域为(15.507,+)而Y的数值y=(8⁄0.022)0.0262=9.69<15.507,故接受H0。综合（1）和（2）可以认为车床工作正常。1、单个正态总体均值的总体方差2已知时，总体方差2未知时，检验统计量检验统计量—U检验法—T检验法①H0:=0

H1:≠0②H0:=0

H1:>0

③H0:=0

H1:<0

拒绝域①H0:=0

H1:≠0②H0:=0

H1:>0

③H0:=0

H1:<0

拒绝域本次课小结检验枢轴量—2检验法①H0:2=02

H