山西省太原市小店区第一中学2023年高二数学理测试题含解析

山西省太原市小店区第一中学2023年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果一组数x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，则另一组数x1+，x2+，…，xn+的平均数和方差分别是（）A．x，s2

B．x+，s2C．x+，3s2 D．x+，3s2+2s+2参考答案：C【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【分析】根据一组数是前一组数x1，x2，…，xn扩大倍后，再增大，故其中平均数也要扩大倍后，再增大，而其方差扩大（）2倍，由此不难得到答案．【解答】解：∵x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，∴的平均数为，的方差为3s2故选C2.函数的最小值为

A．5

B．6

C

7

D.8参考答案：D3.要得到函数y=sin()的图象，需将函数的图象(A)向左平单位

(B)向右平移单位(C)向左平移单位

(D)向右平移单位

参考答案：B4.用秦九韶算法求多项式在时的值，的结果是（

）

A.

B.

C.5

D.6参考答案：D5.在区域内任意取一点，则的概率是

（

）A．0

B．

C．

D．参考答案：D略6.命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0参考答案：D【考点】四种命题．【分析】根据逆否命题的定义，直接作答即可，注意常见逻辑连接词的否定形式．【解答】解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；故选D．【点评】此类题型考查四种命题的定义与相互关系，一般较简单，但要注意常见逻辑连接词的运用与其各自的否定方法、形式．7.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（

）A．

B．16

C．8

D．24参考答案：C由三视图可知：该几何体为三棱锥，由正视图及侧视图可知底面三角形的底为4，由侧视图可知底面三角形的高为，三棱锥的高为，故可得几何体的体积，故选C.

8.一个几何体的三视图如图，其中正视图中△是边长为的正三角形，俯视图为正六边形，则侧视图的面积为（

）A

B

C

D参考答案：A9.在等差数列中，已知，则该数列前11项的和等于A．58

B．88

C．143

D．176参考答案：B10.在平面直角坐标系中，若方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围是（

）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知a，b为异面直线，且a，b所成角为40°，直线c与a，b均异面，且所成角均为θ，若这样的c共有四条，则θ的范围为．参考答案：（70°，90°）考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中a，b所成角为40°，平面α上两条直线m，n分别满足m∥a，n∥b，则m，n相交，且夹角为40°，且直线c与m，n所成角均为θ，分类讨论θ取不同值时，直线c的条数，最后根据讨论结果，可得答案．解答：解：设平面α上两条直线m，n分别满足m∥a，n∥b则m，n相交，且夹角为40°，若直线c与a，b均异面，且所成角均为θ，则直线c与m，n所成角均为θ，当0°≤θ＜20°时，不存在这样的直线c，当θ=20°时，这样的c只有一条，当20°＜θ＜70°时，这样的c有两条，当θ=70°时，这样的c有三条，当70°＜θ＜90°时，这样的c有四条，当θ=90°时，这样的c只有一条，故答案为：（70°，90°）点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，熟练掌握空间直线与直线夹角的定义及几何特征是解答的关键．12.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为______参考答案：(0,+∞)【分析】令，利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的奇偶性和已知可得，即可得出．【详解】设，，．所以函数是上的减函数，函数是偶函数，函数，函数关于对称，（4），原不等式等价为，不等式等价，．在上单调递减，．故答案为:【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式、函数的奇偶性及对称性的应用．13.已知集合，，则=___________．参考答案：14.样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为

．参考答案：2【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】根据平均数公式先求出a，再求出方差，开方得出标准差．【解答】解：由已知a，0，1，2，3，的平均数是1，即有（a+0+1+2+3）÷5=1，易得a=﹣1，根据方差计算公式得s2=[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=×10=2故答案为：215.在等差数列中已知，a7=8，则a1=_______________参考答案：D略16.如果函数，那么函数的最大值等于

▲

．参考答案：3

17.已知直线是曲线的切线，则实数k的值为

．参考答案：e若，则，设曲线上点的坐标为，则切点处切线的斜率，此时切线方程为：，切线为，则切线过坐标原点，即：,解得：，则：.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知椭圆的焦点在轴上，中心在原点，离心率，直线和以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为、，点是椭圆上异于、的任意一点，设直线、的斜率分别为、，证明为定值.参考答案：（Ⅰ）椭圆方程

19.某校统计了高一年级两个重点班的所有学生期中考试数学成绩，根据考试分数，学生成绩在[90，150]范围内，得结果如表：甲班：分组[90，105）[105，120）[120，135）[135，150）频数1025105乙班：分组[90，105）[105，120）[120，130）[135，150）频数3172010（1）规定分数120分以上的为学生为优秀学生，分别估计两个班的优秀学生率；（2）由以上统计数据填写2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个班的优秀学生有差异”．（参考9题数据）参考答案：【考点】BP：回归分析．【分析】（1）求出甲、乙班人数和优秀人数，计算优秀率；（2）由以上统计数据填写2×2列联表，计算K2，对照临界值得出结论．【解答】解：（1）甲班人数是10+25+10+5=50，优秀人数是10+5=15，优秀率是=30%；乙班人数是3+17+20+10=50，优秀人数是20+10=30，优秀率是=60%；（2）由以上统计数据填写2×2列联表如下，

非优秀学生优秀学生总计甲班351550乙班203050总计5545100根据表中数据，计算K2=≈9.091＞6.635，对照临界值得出，能有99%的把握认为“两个班的优秀学生有差异”．20.(本题满分12分)(文)已知函数f(x)=x2(x-a)．(1)若f(x)在(2，3)上单调，求实数a的取值范围；(2)若f(x)在(2，3)上不单调，求实数a的取值范围．参考答案：解：由f(x)=x3-ax2得f′(x)=3x2-2ax=3x(x-)．…………3分(1)若f(x)在(2，3)上单调，则≤0，或0<≤2，解得：a≤3．…………6分∴实数a的取值范围是(-∞，3]．…………8分(2)若f(x)在(4，6)上不单调，则有4<<6，解得：6<a<9．…………11分∴实数a的取值范围是(6，9)．…………12分

略21.如图，在直三棱柱中，AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点求证：DE∥平面ABC；求三棱锥E-BCD的体积。参考答案：⑴取BC中点G，连接AG，EG，因为是的中点，所以EG∥，且．由直棱柱知，，而是的中点，

所以，…………4分所以四边形是平行四边形，所以，又平面，

所以∥平面．

………7分⑵因为，所以平面，

所以，………10分由⑴知，∥平面，所以．…14分

22.