随机过程-1.绪论与概率的定义

随机过程

——基础及应用nk_lilihua@教材：《随机过程基础》

王家生，天津大学出版社参考教材：《应用随机过程》

林元烈，清华大学出版社《随机过程应用》

科学出版社《随机过程及其应用》

路大琻清华大学出版社先修课程：高等数学、概率论、数理统计等什么是随机性？1.随机因素可以忽略2.随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现3.随机因素影响必须考虑确定性模型随机性模型随机性就是不确定性确定性是理想化的，随机性是现实中必然存在的自然界中事物的变化过程分为两类确定性过程：具有确定形式的变化过程；或者说具有必然的变化规律；用数学语言来说，事物的变化过程可以用一个时间t的函数来描述。随机过程：没有确定的变化形式；也就是说每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律；用数学语言来说，这类事物的变化全过程不能用一个时间t的确定性函数来描述。例、群体增长问题（确定性模型和随机性模型）1)设x(t)表示t时刻群体中的细菌数，假定群体的细菌数只能增加，在[t,t+△t]内细菌的增加与时刻t时的细菌数成正比，即由此可得到微分方程这里，我们假定x(t)是时间t的连续可微函数，这就是描述细菌群体增长的确定性模型

2).现在考虑解决这一问题的随机模型用X(t)表示t时刻的细菌数，X(t)是一个取非负整数值的随机变量，于是{X(t)}是一个随机过程。我们研究P{x(t)=k}=pk(t),即t时刻细菌数的概率分布同样，可以建立可列多个方程组成的差分方程组，求解得到pk(t)的表达式。在随机模型中，我们得到的X(t)是取非负整数的，并得到了t时刻群体细菌数为k的概率如果另m(t)=E[X(t)],（这是随机过程的数学期望定义）经计算可得即t时刻群体细菌数的数学期望与确定性模型群体含量表达式是相同的，也就是说确定性模型得到的解是t时刻的平均群体数目。但是，随机模型却给出了更多的信息，如还可以求出t时刻X(t)的方差或其他数字特征，有实际意义什么是随机过程？随机过程是现代概率论中的一部分重要内容随机过程与概率论密不可分

概率论是研究随机现象数学规律的数学分支随机现象随时间的进展而变化发展，这样的动态过程,称之为随机过程随机过程的提出和发展事件的概率则是指衡量该事件发生的可能性的量度虽然在一次随机试验中发生某个事件是带有偶然性的，但那些可以在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律性。（大数定律和中心极限定理）在实际中，人们往往要研究时间推进中某一特定随机现象的演变情况，描述这种演变的就是随机过程随机现象指的是这样的客观现象，当人们观察它时，所得的结果不能预先确定，而只是多种可能结果中的一种随机现象的实现和对它的观察称为随机试验随机试验的每一个可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件通称为随机事件，简称事件随机过程的应用

随机数学方法就是透过随机现象表面的偶然性揭示过程的内在规律性的数学工具经济领域：股票价格预测，经济增长预测物理领域：分子布朗运动，天体运行轨道等服务系统：电话通信，机器损修，病人候诊，公交车等待等等生物数学：群体迁移，增长模型等图像处理：图像分割与识别等社会科学、天气预报等学习要求掌握随机过程的基本概念，掌握典型的几种常用随机过程模型不仅要掌握知识，更重要的是掌握思想学会把抽象的问题和实际随机模型结合起来；能够利用随机方法分析并解决问题随机过程基础知识基本概念马尔可夫过程时间序列分析平稳过程维纳过程泊淞过程

第一章概率论的基础知识

第一节随机事件与概率

第二节随机变量及其分布

第三节随机变量的数字特征

第四节矩母函数和特征函数

第五节条件期望

第六节指数分布

第七节收敛性和极限定理第一节随机事件与概率

1.随机试验

一、基本概念要点

其结果在事先不能确定的试验。具有三个特性：（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，并能事先明确试验的所有可能的结果；（3）每次试验前不能确定哪个结果会出现。2.样本点（基本事件）对于随机试验E，以ω表示它的一个可能出现的试验结果，称ω为E的一个样本点。3.样本空间

样本点的全体称为样本空间，用Ω表示。

Ω＝{ω}4.随机事件

样本空间Ω的子集就是随机事件，简称事件。用大写英文字母A、B、C等来表示。称事件A发生，当且仅当A中一个样本点出现。样本空间也是一个事件，称必然事件。空集称为不可能事件。

事件的关系与运算（并、交、差、极限运算）

5.集类6.事件域7.概率概率是满足非负性；规一性；可列可加性；的集函数。二、概率的性质1.2.3.有限可加性

4.5.6.

7.8.可列次可加性三、概率的连续性

1．极限事件

对于事件则称事件序列则称事件序列

这样可定义一个新的事件，记为递增，递减，

2．连续性定理若是递增的或递减的事件序列，证明则即由包含在中但不在任何前面的（）中的点组成。设是递增序列，并定义事件：定理1容易验证（）是互不相交的事件，且满足和于是说明:极限事件的概率等于事件概率的极限设E为随机试验，为其样本空间，A、B为任意两个事件，四、条件概率为事件A出现的情况下，事件B的条件概率，或简称事件B关于事件A的条件概率。若1．定义则称定理2（乘法公式）

2．基本公式

假设为任意n个事件（），若则定理3（全概率公式与贝叶斯公式）设事件两两互不相容，则（1）对任意事件A，有（2）对任意事件A

，若，有五、独立性如果事件A，B满足

设是n个事件，如果对于任意和，有则称事件相互独立。则称事件A，B相互独立。1．定义两个n个2．独立性的性质定理4

若事件A，B相互独立，则；；分别也相互独立.定理5

设事件相互独立，若其中任意个事件相应地换成它们的对立事件，则所得的n个事件仍然相互独立。

推论若事件相互独立，则

证事件的独立性