山西省忻州市铁匠铺中学2021年高二数学理测试题含解析

山西省忻州市铁匠铺中学2021年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x2+2|x| B．f（x）=x?sinx C．f（x）=2x+2﹣x D．f（x）=参考答案：D【分析】运用奇偶性的定义，逐一判断即可得到结论．【解答】解：A，f（x）=x2+2|x|，由f（﹣x）=x2+2|﹣x|=f（x），为偶函数；B，f（x）=x?sinx，由f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），为偶函数；C，f（x）=2x+2﹣x，由f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），为偶函数；D，f（x）=，由f（﹣x）==﹣=﹣f（x），为奇函数．故选：D．2.已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的（

）A.充分条件B.必要条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件参考答案：B【分析】先写出原命题的逆命题，再根据逆命题是真命题，判断出是的必要条件.【详解】由题得“若，则”的逆命题为“若，则”.因为逆命题是真命题，所以，所以是的必要条件.故答案为：B【点睛】本题主要考查原命题的逆命题和充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D4.设全集U=R，集合，，则（

）A.[1,2) B.(1,2)C.(1,2] D.(－∞,－1)∪[0,2]参考答案：B【分析】求得，即可求得，再求得，利用交集运算得解.【详解】由得：或，所以，所以由可得：或所以所以故选：B【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，还考查了补集、交集的运算，属于基础题.5.设a,b是方程的两个不等实根，那么过点A（a,a2）和B（b,b2）的直线与圆x2+y2=1的位置关系是（

）A、相离

B、相切

C、相交

D、随θ的值而变化参考答案：B6.已知命题p：任意x∈R，x2＋x－6<0，则?p是

()A.任意x∈R，x2＋x－6≥0

B.存在x∈R，x2＋x－6≥0C.任意x∈R，x2＋x－6>0

D.存在x∈R，x2＋x－6<0参考答案：B略7.若则函数的单调递增区间为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A8.设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（）A．3f（ln2）＞2f（ln3） B．3f（ln2）=2f（ln3）C．3f（ln2）＜2f（ln3） D．3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案．【解答】解：令g（x）=，则=，因为对任意x∈R都有f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，又ln2＜ln3，所以g（ln2）＜g（ln3），即，所以，即3f（ln2）＜2f（ln3），故选C．9.设变量满足约束条件，则的最大值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略10.直线与抛物线交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线的距离等于（

）A．

B．

C．4

D．2参考答案：B直线4kx﹣4y﹣k=0可化为k（4x﹣1）﹣4y=0，故可知直线恒过定点（，0）∵抛物线y2=x的焦点坐标为（，0），准线方程为x=﹣，∴直线AB为过焦点的直线∴AB的中点到准线的距离∴弦AB的中点到直线x+=0的距离等于2+=.故选B．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.描述算法的方法通常有：(1）自然语言；（2）

；（3）伪代码.参考答案：流程图无12.若y=x3+x﹣2在P处的切线平行于直线y=7x+1，则点P的坐标是．参考答案：（，）或（﹣，）

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先求导函数，由导数的几何意义令导函数等于4建立方程，求出方程的解，即可求出切点的横坐标，代入原函数即可求出切点坐标．解答：解：由y=x3+x﹣2，求导数得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=7，解之得x=±．当x=时，y=；当x=﹣时，y=．∴切点P0的坐标为（，）或（﹣，）．故答案为：（，）或（﹣，）．点评：本题考查利用导数求切点的坐标，利用导数值等于切线的斜率是解决问题的关键，属基础题．13.掷两颗骰子，出现点数之和等于8的概率为__________参考答案：5/36.14.抛物线y=2x2和圆x2+(y–a)2=1有两个不同的公共点，则a的值的集合是

。参考答案：(–1，1)∪{}15.已知x，y满足则的取值范围是． 参考答案：[﹣1，]【考点】简单线性规划． 【专题】数形结合． 【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与（4，1）构成的直线的斜率问题，求出斜率的取值范围，从而求出目标函数的取值范围． 【解答】解：由于z==， 由x，y满足约束条件所确定的可行域如图所示， 考虑到可看成是可行域内的点与（4，1）构成的直线的斜率， 结合图形可得， 当Q（x，y）=A（3，2）时，z有最小值1+2×=﹣1， 当Q（x，y）=B（﹣3，﹣4）时，z有最大值1+2×=， 所以﹣1≤z≤． 故答案为：[﹣1，] 【点评】本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．16.函数f（x）=lnx﹣|x﹣2|的零点的个数为．参考答案：2函数f（x）=lnx﹣|x﹣2|的零点的个数，即函数y=lnx与函数y=|x﹣2|图象的交点个数，在同一坐标系中画出函数y=lnx与函数y=|x﹣2|图象如下图所示：由图可得函数y=lnx与函数y=|x﹣2|图象有两个交点，所以函数的零点个数为2，故答案为：217.从某校的高一学生中采用系统抽样法选出30人测量其身高，数据的茎叶图如图（单位：cm）：若高一年级共有600人，据上图估算身高在1.70m以上的大约有人．参考答案：300【考点】简单随机抽样．【分析】由题意，30人中身高在1.70m以上的概率为，即可得出结论．【解答】解：由题意，30人中身高在1.70m以上的概率为，∴高一年级共有600人，估算身高在1.70m以上的大约有600×=300人．故答案为300．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）

(1)已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，，且，求z；

(2)已知复数为纯虚数，求实数m的值，参考答案：(1);(2)-219.数列的前项和，研究一下，能否找到求的一个公式．你能对这个问题作一些推广吗？参考答案：解：数列的通项公式为所以．类似地，我们可以求出通项公式为的数列的前项和．略20.（本小题满分12分） 已知函数在处有极值.

（1）求实数的值；

（2）求函数的单调区间；

（3）令，若曲线在处的切线与两坐标轴分别交于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB的面积．参考答案：（I）因为，所以．……………………2分由，可得，．经检验时，函数在处取得极值，所以．

………………4分（II），．

…………6分而函数的定义域为（-1，+∞），当变化时，，的变化情况如下表：（-1，1）1（1，+∞）-0+↘极小值↗由表可知，的单调减区间为（-1，1），的单调增区间是（1，+∞）……8分（III）由于，所以，当时，，．所以切线斜率为4，切点为（1，0），所以切线方程为，即．……………10分令，得，令，得．所以△AOB的面积．

……………12分21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据?=0，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴=（0，1，1），=（2，0，0）∵?=0，∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ===，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF⊥AC，得?=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得λ=，即=（﹣，，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平