2021届中考数学压轴题提升训练折叠与落点有迹性

2021届中考数学压轴题提升训练：折叠与落点有迹性【含答案】【例题图ABCABC=5=8点P射线BC上动接AP，沿折，当点B的应点’落在线段BC的垂直平分线上时，则的等于AB

B'PC【答案】或.【解析解点的动轨迹是以点A为圆心以AB的为半径的圆圆BC的直平分线的交点即为所求的落点’，如图作出图形，B'ABB

分两种情况计算：eq\o\ac(△,)接’，过B’’eq\o\ac(△,)于E，下图所示，ABBPE

由题意知，’=B’C，=’=EC=4，’eq\o\ac(△,)，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)BBCeq\o\ac(△,=)’CB，eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)BCeq\o\ac(△,+)，eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)CBeq\o\ac(△,+)’E，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,=)’，eq\o\ac(△,)CBEeq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)APB，△

ABBPBP,即，CE'EBE

设BP=x则Px，=4x，’=x，在B，由勾股定理得：x

x

，解得x=10（）或=，即BP；eq\o\ac(△,)作于，如图所示，MB'A

HB

G

CNeq\o\ac(△,)=AB，AH，=5,eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)’=3B，设BP=x则Px，=－，在PGB中由勾股定理得：x

，解得：=10，BP=10;综上所述，答案为：或.【变式】如图，在边长为3的边三角形ABC中点D为AC上点=1，点E为边上与A，重的一个动点，连接DE以DE为称轴折，A的应点为点，点F落等边三角形ABC边上时的长为．【答案】或－13.【解析】解：第一步：确定落点，点在为心，以线段AD长为半径的弧上，如下图所示，

F

D

F

C第二步，根据落点确定折痕（对称轴）（DF，eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)，eq\o\ac(△,)ADF是边三角形，eq\o\ac(△,)平ADF，eq\o\ac(△,)=EF；（）下图所示，

D

F由对称知eq\o\ac(△,=)，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,+)=120°，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)DFCeq\o\ac(△,+)=120°，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,=)，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)Beq\o\ac(△,=)=60°，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)CFD，△

BEBF,CFDFCD设AE=x则－，即

BF,CFeq\o\ac(△,)=，=，xeq\o\ac(△,)+=3，

即，解得：=5+

13

（舍）或－

，综上所述，答案为：或－13.1.如图是边长为3的的边AB上动点沿点P的线折点B落上，对应点为，折痕交于E，点D是的个三等分点的长为．【答案】或－13.【解析】解：第一步确定落点，的等分点有两个，所以有两种情况；第二步根据落点确定折痕，方法：作的直平分线即为折痕所在的直线；（）下图所示，ADPB

EC由折叠性质得eq\o\ac(△,=)=60°，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)CDEeq\o\ac(△,+)=120°，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)Aeq\o\ac(△,=)=60°ADPeq\o\ac(△,+)，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)APDeq\o\ac(△,=)，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)CEDeq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)ADP△

CEDE，AP设BP=DPx则－，△

CE2DE，3

eq\o\ac(△,)=

x，，3eq\o\ac(△,)=BE，eq\o\ac(△,)DE+=3，即

2+=3，解得：=；（）下图所示，当CD=1时APB同理可得：

EC△

CEDE，AP设BP=DPx则－，△

DE，eq\o\ac(△,)=

，，3△

x+=3，解得：=；综上所述，的长为或.2.如图在形ABCD中AB=2ADF分是线段上点连使四边形为正方形，若点G是AD上动点，连接，矩形沿折使得点C落在正方ABFE的角线所在的直线上，对应点为，则线段AP长为．【答案】或﹣

．

【解析】解：如图1所：由翻折的性质可知PFCF，△为正方形，边长为2，eq\o\ac(△,)

．eq\o\ac(△,)﹣

．如图2所：由翻折的性质可知PFFC．△为正方形，eq\o\ac(△,)为的直平分线．eq\o\ac(△,)=PF．故答案为：或﹣2．3.如图，在矩形ABCD中AB=8，AD，点E为AB上一点AE=2，点F在上，将△沿叠，当折叠后点的对应点恰落在BC的直平分线上时，折痕EF长为．【答案】或4

．

【解析】解：第一步，确定落点，以E为心的长为半径画弧，与的直平分线的交点即为A’，A'AE

A'第二步，作出折痕，求解(1)如图所示，由折叠性质知：EAE

，F，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,=)=90°，AMAD=3过E作于，则四边形AEHM矩形，eq\o\ac(△,)=2

，由勾股定理得：=eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)=3由MF+A2=A2，

3

，得（3﹣）+（3

）=2解得：=2在，由勾股定理得=4；（）下图所示，

可得：EAE=23，=F，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,=)=90°过A作交于G，CD于H，四边形是矩形，eq\o\ac(△,)AG，==6，′H=AG，在AEG中，由勾股定理得EG，eq\o\ac(△,)AG=3

，在AHF中，由勾股定理得AF=6，在，由勾股定理得=4

3

；故答案为：或

3

．4.在矩形ABCD中，＝，＝，点E在上且BE＝，矩沿过点的线折叠，点C，的应点分为C，，折痕与边AD交于点F，点B，，′恰好在同一直线上时的为．【答案】3

，3

．【解析】解：由折叠的性质得D＝eq\o\ac(△,C)eq\o\ac(△,)＝90°，＝，eq\o\ac(△,)、、在同一直线上，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)BCE＝eq\o\ac(△,)＝，＝，eq\o\ac(△,)＝，E＝＝，在BC中eq\o\ac(△,C)eq\o\ac(△,)＝30°，eq\o\ac(△,)点C在B、’之时，过E作于，长交AD于，四边形是形，

eq\o\ac(△,)＝AB6，AG＝＝，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)BE＝30°eq\o\ac(△,)＝，△△BEC＝，由折叠的性质得＝CEFeq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)EF＝△CEF＝，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)HFE＝CEF＝，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)EFH是边三角形，eq\o\ac(△,)EFG中，EG＝，2

，eq\o\ac(△,)═8+2

；eq\o\ac(△,)点D在B、’之间时，过F作于，F交BE，同理可得：＝﹣3，故答案为：3或8

．5.如图形ABCD中5＝E为线一动点AE折EB恰落在射线，则BE的为．

【答案】或.【解析】解：第一步：确定落点，以为心的为半径画弧，交射线CD于B，分两种情况讨论；DB'

A第二步，根据落点作出折痕，求解；（）下图所示，B'

CEA由折叠知：＝＝，E＝，eq\o\ac(△,)＝﹣，eq\o\ac(△,)＝，eq\o\ac(△,)＝，＝，由勾股定理知：E

＝+BC，eq\o\ac(△,)2

＝（﹣）+1

，eq\o\ac(△,)＝；（）下图所示，AB＝＝，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)，

eq\o\ac(△,)，eq\o\ac(△,)，eq\o\ac(△,)，eq\o\ac(△,)垂平分，eq\o\ac(△,)＝＝，eq\o\ac(△,)＝，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)CEFeq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)ABECF△，AB即，eq\o\ac(△,)＝，eq\o\ac(△,)＝，故答案为：或15．6.如图，在等边三角形ABC中＝

，M为BC的点，点N为AB上任意一点（不与点A合关于直线MN的称点B恰落在等边三角形ABC的上BN的为

．【答案】

32

或.【解析】解不重，eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)落点不会在BC上分两种情况讨论：（）关于直线MN的称点落在边上时，此时，eq\o\ac(△,)，△=90°，eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)ABC是边三角形，AB＝

，是BC中，

eq\o\ac(△,△)eq\o\ac(△,)B，=3,3eq\o\ac(△,)=BM=；2（）点关直线MN的对称点落在边AC上，则可：四边形N是形，eq\o\ac(△,)＝＝BC＝，故答案为：

32

或

．7.在矩形ABCD中＝，＝，P在AB上．若沿DP折叠，使点落矩形对角线上的A处则AP的为．【答案】

3或.24【解析解矩形对角线有两条BD所以先以D为心以AD的为半径作弧与角线AC、BD交点即为A’点；再作出’的直平分线即折痕；（）落在矩形对角线BD上，由AB＝，＝，：＝，根据折叠的性质ADD＝3，AP＝P，eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)＝eq\o\ac(△,)D＝90°，eq\o\ac(△,)＝，设AP＝，＝﹣，由勾股定理得：2＝2

+2，（﹣）

＝2+2

，解得x＝

32

，eq\o\ac(△,)＝

32

；eq\o\ac(△,)落在矩形对角线AC上

根据折叠的性质可知：易证ACBeq\o\ac(△,=)，△△ACBtan△APDeq\o\ac(△,)＝

BC=．AB故答案为：

39或.248.如图，中＝，AB＝，＝，、分边B、上的动点，将该四边形沿折痕E翻折，使点落边BC的等分点处，A的为．【答案】

3或.24【解析】解：第一步确定落点，因为BC三等分点有两个，所以分两种情况讨论，第二步，确定落点后，画出折痕EF求解(1)如下图所示F

CA

EH过点作AHeq\o\ac(△,)交AB的长线于H，则eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)’BH=60°，eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)’，

22eq\o\ac(△,)=1，H,设AE=’E=，则－，=9，在AEH中，由勾股定理得：x2;即AE

，解得：=

，（）下图所示，F

A'A

EB

过点作AHeq\o\ac(△,)交AB的长线于H，则eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△