常规控制策略

常规控制策略第一页，共一百二十三页，2022年，8月28日1本章的基本内容在计算机控制系统中，计算机的主要作用是将数据采集装置得到的输入信号和给定输入信号进行比较，再应用合适的控制策略得到控制输出信号。控制器是控制系统工作的核心，而控制策略是决定一个计算机控制系统工作性能的关键。本章主要介绍计算机控制系统设计的一些常规控制方法，包括：连续控制律的离散化设计、数字PID控制、最少拍设计和纯滞后系统控制技术等。第二页，共一百二十三页，2022年，8月28日2本章的基本内容5.1连续控制律的离散化设计5.2数字PID控制5.3数字控制器的直接设计5.4纯滞后对象的控制5.5数字控制器D(z)的程序实现第三页，共一百二十三页，2022年，8月28日35.1连续控制律的离散化设计

离散化设计方法就是根据连续控制律传递函数D(s)设计等效离散控制器D(z)。“等效”是指D(s)与D(z)在如脉冲响应、阶跃响应、频率特性和稳态增益等特性方面相近。离散化方法很多，不同的离散化方法具有不同的特点，离散后的脉冲传递函数与原传递函数在上述几种特性方面接近的程度也不一致。下面介绍几种工程上常用的近似离散化方法。第四页，共一百二十三页，2022年，8月28日45.1.1一阶后向差分变换一阶后向差分变换是用一阶后向差分近似替代微分作用。利用泰勒级数展开可将Z=esT写成以下形式第五页，共一百二十三页，2022年，8月28日5(2)主要特性①s平面与z平面映射关系s左半平面（0）映射到z平面为圆心（1／2，0），半径1／2的小圆内部。映射一一对应，频率无混叠②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定③串联特性，变换前后稳态增益不变，s0时z1。④T较大时，离散后失真大。图5-1一阶向后差分法的映射关系

(3)应用

由于这种变换的映射关系有畸变，变换精度较低。所以，工程应用受到限制，用得较少。T0时失真小，可使用。另外，在一些复杂系统仿真时使用。第六页，共一百二十三页，2022年，8月28日65.1.2一阶前向差分变换前向差分法实质是将连续域中的微分用一阶向前差分替换：假设控制器为采用前向差分近似可得上式两边求Z变换后可推导出数字控制器为第七页，共一百二十三页，2022年，8月28日7一阶向前差分法(2)主要特性①

s平面与z平面映射关系

映射一一对应，无混叠②若D(s)稳定，则D(z)不一定稳定：z域单位圆对应s域一个圆，不是全部左半平面图5-2一阶向前差分法的映射关系平移放大关系第八页，共一百二十三页，2022年，8月28日8(3)应用:由于这种变换不能保证D(z)一定稳定，所以应用较少。方法使用简单方便，如若采样周期较小，亦可使用。如图5-2所示。只有当D(s)的所有极点位于左半平面以点(-1/T,

0)为圆心，1/T为半径的圆内，离散化后D(z)的极点才位于z平面单位圆内。

稳态增益不变第九页，共一百二十三页，2022年，8月28日9前向差分变换：亦可以利用泰勒级数展开近似求得第十页，共一百二十三页，2022年，8月28日10双线性变换法(突斯汀Tustin变换)

双线性变换或塔斯廷（Tustin）近似第十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日11双线性变换法(1)主要特性①s平面与z平面映射关系当=0（s平面虚轴)映射为z平面的单位圆周。当>0（s右半平面），映射到z平面单位圆外

。当<0（s左半平面），映射到z平面单位圆内

。②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定，映射一一对应频率特性无混叠③频率畸变：s域虚轴映射为z域单位圆周长图5-3双线性变换映射关系s域角频率z域角频率为D

第十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日12双线性变换法③频率畸变：双线性变换的一对一映射，保证了离散频率特性不产生频率混叠现象，但产生了频率畸变。

图双线性变换的频率关系图双线性变换的频率关系当采样频率足够小

第十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日13双线性变换法(2)主要特性④串联特性，变换前后，稳定性不变,

稳态增益不变。⑤变换后D(z)的阶次不变，且分子、分母具有相同的阶次，自动补上(z+1)p的零点。并有：

(3)应用使用方便，有较高的精度和前述一些好的特性，工程上应用较为普遍，前提：选好合适的离散化采样周期T。主要用于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。作用：将全频带特性压缩到0s/2范围内，增加截止频率，消除混叠第十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日145.2数字PID控制在生产过程控制中，将偏差的比例（Proportional）、积分（Integral）和微分（Derivative）通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，简称为PID控制。PID控制原理简单、易于实现、适用面广，在工业过程控制中得到了最为广泛的应用。数字PID控制则以连续PID调节器为基础，与计算机的计算与逻辑功能结合起来，不但继承了模拟PID调节器的这些特点，而且由于软件实现的灵活性，PID算法可以得到修正而更加完善，使之变得更加灵活多样，满足生产过程中提出的各种控制要求。

第十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日15PID控制器结构图5-4连续生产过程PID控制系统框图++-+ueyrKp被控对象测量装置Tds1/(Tis)1第十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日16比例积分微分控制器（PID）

PID控制器的控制规律为 （5.1）

u(t)为控制量(控制器输出)，e(t)为被控量与给定值的偏差，即e(t)=r(t)－y(t)，Kp为比例系数，Ti表示积分时间常数，Td表示微分时间常数。实际应用中，PID控制器3个环节可以灵活组合，以满足不同的控制要求。第十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日171.比例控制器（Proportional）比例控制器是最简单控制器，其控制规律为

0101图

比例控制器的阶跃响应第十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日18

比例控制器对于偏差是即时反应的，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用使被控量朝着减小偏差的方向变化，控制作用的强弱取决于比例系数。

比例控制器虽然简单快速，但对于具有自平衡性（即系统阶跃响应终值为一有限值）的被控对象存在静差。加大比例系数可以减小静差，但当过比例系数过大时，可能导致动态性能变差，引起被控量振荡甚至导致闭环不稳定。第十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日192.比例积分控制器（PI）

为了消除在比例控制中存在的静差，可在比例控制的基础上加上积分控制作用，构成比例—积分控制器，其控制规律为 （5.2）

其中称为积分时间。第二十页，共一百二十三页，2022年，8月28日20

PI控制器对偏差作用有两个部分：一是按比例变化的成分；另一个是带有累积的成分（即呈一定斜率变化的部分），这就是积分控制部分的作用。只要偏差存在，积分将起作用，将偏差累积对控制量产生影响，并使偏差减小，直至偏差为零，积分作用才会停止。因此，加入积分环节将有助于消除系统的静差，改善系统的稳态性能。第二十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日213.比例微分控制器（PD）比例积分控制对于时间滞后的被控对象使用不够理想。所谓“时间滞后”是指：当被控对象受到扰动后，被控变量不立即发生变化，而是有一个时间上的延迟。有经验的操作人员，既可根据偏差的大小来改变阀门的开度(比例作用)，又可根据偏差变化的速度大小来预计将要出现的情况，提前进行过量控制，“防患于未然”。这就是具有“超前”控制作用的比例微分控制规律。PD控制律形式为

式中称为微分时间。第二十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日22微分控制器输出的大小取决于输入偏差变化的速度。微分输出只与偏差的变化速度有关，而与偏差的大小无关。微分时间常数越大，微分作用越强；反之则越弱。微分控制作用的特点是：动作迅速，具有超前调节功能，可有效改善被控对象有较大时间滞后的控制品质，但是它不能消除静差。尤其是对于恒定偏差输入时，此时微分作用为0，因此，不能单独使用微分控制规律。比例和微分作用结合，可以改善系统的动态性能，减小动偏差的幅度，减少调节时间。微分作用的引入会降低系统的抗干扰能力。第二十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日234.比例积分微分控制器（PID）

PID控制器的控制规律为 （5.4）

在工业过程控制中，模拟PID控制器有电动、气动、液动等多种类型。这类模拟调节仪表采用硬件来实现PID控制规律。将计算机引入PID控制，可以利用计算机软件来实现PID控制算法，不仅可以实现模拟调节仪表的功能，而且可以延伸出更为灵活的控制算法。第二十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日245.2.2数字PID控制算法

模拟PID控制器有电动、气动、液动等多种类型。这类模拟调节仪表是用硬件来实现PID控制规律的。那么将计算机引入控制领域，我们可以利用计算机软件来实现PID控制算法，它不仅可以实现模拟调节仪表的功能，而且可以延伸出更多的灵活的控制算法，我们称之为数字PID控制。第二十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日25

连续PID控制对应的传递函数表达式为： （5.6）

对应的控制算法表达式为： （5.7）

其中，为比例增益，为积分时间常数，为微分时间常数，为控制量，为被控量与给定量的偏差。第二十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日26

为了便于计算机实现PID算法，我们必须将式5.7改写为离散（采样）式，则可以将积分运算利用部分和代替，微分运算用差分方程表示。即：（5.8）

其中，为采样周期，为采样周期的序号（），和分别为第和第个采样周期时的偏差。第二十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日27

将上面2式代入式（5.7）可得相应的差分方程： （5.10)其中为第个采样时刻的控制量。如果采样周期与被控对象时间常数比较相对较小，那么这种近似是合理的，并与连续控制的效果接近。模拟调节器难以实现理想的微分，而利用计算机很容易实现式（5.10）所示的差分运算，所以上式也称为理想微分PID数字控制器。第二十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日281.位置型算法

模拟调节器的调节动作是连续的，任何瞬间的输出控制量都对应于执行机构（如调节阀）的位置。由式（5.10）可知，数字控制器的输出控制量也和阀门位置对应，故称此式为位置型算式（简称位置式）。相应的算法流程框图如下图。第二十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日29第三十页，共一百二十三页，2022年，8月28日30

2．增量型算法

根据式（5.10）我们不难得到第个采样周期时刻的控制量，即

（5.11）

将式（5.10）与式（5.11）相减，可以得到第个采样时刻控制量的增量，

（5.12）

第三十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日31由于式（5.12）中，对应于第个采样时刻阀门位置的增量，故称此式为增量型算式。因此第个采样时刻实际控制量为 （5.13）为了编写程序方便，我们将式（5.12）改写为（5.14）其中第三十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日32第三十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日33

增量型仅仅是算法设计上的改进，它并没有改变位置型算法的本质。即它仍然反映执行机构的位置开度。如果我们希望输出控制量的增量，则必须采用具有保持位置功能的执行机构。例如：采用步进电机作为执行机构，可以将输出变换成驱动脉冲，驱动步进电机从历史位置正转或反转若干的角度，这相当于式（5.13）的功能。这种控制方式在系统出现故障或系统切换时，引起的冲击较小，对系统执行机构的磨损小。

第三十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日345.2.3数字PID控制算法的改进由于计算机控制系统中的数字PID算法是通过软件实现的，改进算法只需改进软件，而不像模拟调节器需更换硬件。所以根据被控对象的要求，可以对数字PID基本算法进一步改进，更好地适应生产过程控制的需要。PID控制是比例、积分、微分三种控制作用的组合，所以在改进算法上从分析各个环节的作用入手提出改进方案。第三十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日351．针对微分作用的改进

PID控制中，微分作用是扩大稳定域，改善系统动态性能，因此一般不要轻易去掉微分作用。采用计算机控制我们可以很方便地得到理想微分作用，但实践表明，理想微分的效果并不理想。尤其是对于具有高频扰动的生产过程，若微分作用过于灵敏，容易引起控制过程振荡。另外，计算机控制系统中，计算机对每个控制回路输出的时间都很短暂，而驱动执行机构动作需要一定的时间，如果输出较大，执行机构还没有达到预期的开度，输出将会失真。第三十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日36

(1)带微分限制环节的PID控制（不完全微分）

由于理想微分项不能克服高频扰动，通常在计算机控制系统中利用一个一阶惯性加微分作用代替理想微分项。这种改进有两种形式，控制器结构如图5-7所示。图5-7实际微分PID控制器框图第三十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日37

(2)针对给定值突变的微分项变形（微分先行方法）

为了避免伴随给定值的阶跃变化而引起系统操作量剧烈变化，通常采用以下变形，以减少控制量频繁变化。 （5.15）

将式（5.27）代入增量式（5.12）中的微分项，得到 （5.16）第三十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日38

在式（5.28）中，第一项是与给定值变化相关的，第二项是与输出值变化相关的，显然，当给定值频繁变化时，引起微分项输出频繁变化的是第一项，如果将这一项去掉，那么就可以很好地抑制控制量输出的频繁变化。也将这种方案称为微分先行算法，即微分作用不是对偏差，而是仅对输出信号进行微分，可以起缓冲滤波作用，避免执行机构在给定量发生突变时产生剧烈冲击。第三十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日392．针对积分作用的改进（1）抗积分饱和

在自动控制系统中，当给定值突变、负载突变或系统启动和停机时，会使系统的偏差较大，在积分项的作用下，往往会产生较大的超调，并出现长时间的波动。这不是自动控制所希望看到的。第四十页，共一百二十三页，2022年，8月28日40让我们一起来分析一下产生超调的原因：

当系统出现较大偏差时，通过位置型PID算法，计算机得到的控制量会急剧增大或减小，以致超过了D/A转换器所能表示的数的范围，从而使执行机构工作在极限状态（例如：调节阀的全开或全关）。第四十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日41

此时虽然PID计算得到的控制量在不断变化，但由于执行机构已经处于极限状态，所以不会出现相应动作，从而使控制作用减缓，这样就会使偏差在更长的时间内保持正值，因而积分项有较大的累积值。当输出量超过给定值后，偏差开始变为负值，但由于积分累计值很大，需要经过相当的一段时间才能使执行机构离开极限位置。这样使控制效果变得缓慢。第四十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日42

遇限削弱积分法的基本思想是一旦控制量进入饱和区，则停止进行增大积分的运算。具体方法：在计算控制量时，先判断一下上一个采样时刻的控制量是否已经超出限制范围，如果已经超出限制范围，就根据偏差的符号，判断系统的输出是否已进入超调区域，由此决定是否将相应的偏差计入积分项。即

若，则只累加负偏差；若，则只累加正偏差。这样可以避免控制量长时间停留在饱和区。第四十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日43（2）积分分离控制

在前面的分析中，可以知道，当系统有较大的扰动或给定值有大幅度改变时，积分作用会对系统的动态性能造成影响，特别是对具有大滞后的被控对象，如:对温度、成分等的控制系统，这种现象更为严重。为此，我们介绍解决积分饱和问题的另一种方法—积分分离措施，其主要思想是当偏差较大时，取消积分作用；当偏差较小时，使用积分作用。当时，采用P或PD控制；当时，采用PI或PID控制。第四十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日44（3）消除积分不灵敏区在PID数字控制器增量式（5.12）或式（5.14）中，积分作用的输出为（5.29） 由于计算机字长的限制，当运算结果小于字长所能表示的精度时，计算机就作为“零”将此数丢掉。从式（5.29）可知，当计算机的运算字长较短、控制系统采样周期T较短、积分时间常数较长时，就会出现

小于字长所能表示的精度而丢失，此时就没有积分作用，称为积分不灵敏区。第四十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日45为了消除积分不灵敏区，通常采用以下措施：①增加A/D转换位数，加长运算字长，这样可以提高运算精度。②当积分项ΔuI(k)连续n次出现小于输出精度ε的情况时，不要把它们作为“零”舍掉，而是把它们一次次累加起来，直到累加值SI大于ε时，才输出SI，同时把累加单元清零。第四十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日465.1.4PID参数的整定

所谓PID控制器参数整定，实质上是通过调整，，，使控制器的特性与被控过程的特性相匹配，以满足某种反映控制系统质量的性能指标。与模拟PID控制器不同的是，数字PID控制的参数整定，除了需要确定，，外，还需要确定系统的采样周期。因为数字PID的控制品质不仅取决于被控对象的动态特性和PID参数，而且与采样周期的大小有关。第四十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日47

1．采样周期的确定 根据香农定理，对一个具有有限频谱的连续信号进行采样，如果采样频率大于或等于信号所含最高频率的两倍，则对信号进行采样所得的一连串采样信号可以完全复现原来的信号。即 （5.32） 式中为采样角频率；为信号最高角频率。所以由式（5.32）得到采样周期的上限值为 第四十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日48

采样定理没有给出采样周期的下限值，但这并不意味采样周期选得越小越好。因为采样周期越小，计算机的计算负担越重，不利于充分发挥计算机的功能；另外采样周期太小，两次采样的偏差变化不大，数字控制器的输出值变化很小，控制作用也不明显。实际上，通常按一定的原则，结合使用经验来选择采样周期T。所以采样周期的选取应该在这样的区间里：第四十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日49选取采样周期时，一般应考虑以下因素：(1)扰动信号情况。如果系统的干扰信号是高频的，则要适当地选择采样周期，使得干扰信号的低频处于采样器频带之外，从而使系统具有足够的抗干扰能力。如果干扰信号是频率已知的低频干扰，则可采用数字滤波的方法进行信号滤波。(2)对象的动态特性。若被控对象是慢速的热工或化工对象，采样周期一般取得较大，若被控对象是较快速的运动系统，采样周期应取得较小。根据被控对象的性能选择采样周期请参考表5-1。(3)计算机所承担的工作量。如果控制的回路较多，计算负担较大，采样周期长些；反之，可以短些。(4)对象所要求的控制品质。一般而言，在计算机运算速度允许情况下，采样周期短，控制品质高。因此，当系统的给定频率较高时，采样周期T相应减少，以使给定的改变能迅速地得到反映。(5)与计算机及A/D、D/A转换器性能有关，计算机字长越长，计算速度越快，A/D、D/A转换器的速度越快，则采样周期可减小，控制性能也较高，但计算机等硬件费用增加，所以应结合系统经济性综合考虑。(6)考虑执行机构的响应速度。通常执行机构惯性较大，采样周期T应能与之相适应。第五十页，共一百二十三页，2022年，8月28日50表5-1数字PID控制系统采样周期选择参考被控对象采样周期（秒）流量1~5压力3~10液位6~10温度15~20成分15~20第五十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日512．按简易工程整定法整定参数

1）扩充临界比例度法

①选择一个足够短的采样周期。具体地说就是选择采样周期为被控对象纯滞后时间的十分之一以下。②用选定的采样周期使系统工作。这时，数字控制器去掉积分作用和微分作用，只保留比例作用。然后逐渐减小比例度，直到系统发生持续等幅振荡。记下使系统发生振荡的临界比例度及系统的临界振荡周期。③选择控制度。所谓控制度就是以模拟调节器为基准，将数字控制系统的控制效果与模拟调节器的控制效果相比较。控制效果的评价函数通常用误差平方面积表示。第五十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日52

④根据选定的控制度，查表5-2，求得的值。控制度控制规律TKpTiTd1.05PI0.03Tk0.53δk0.88TkPID0.014Tk0.63δk0.49Tk0.14Tk1.2PI0.05Tk0.49δk0.91TkPID0.043Tk0.47δk0.47Tk0.16Tk1.5PI0.14Tk0.42δk0.99TkPID0.09Tk0.34δk0.43Tk0.20Tk2.0PI0.22Tk0.36δk1.05TkPID0.16Tk0.27δk0.40Tk0.22Tk第五十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日53

（2）扩充响应曲线法①数字控制器不接入控制系统，让系统处于手动操作状态下，将被调量调节到给定值附近，并使之稳定下来。然后突然改变给定值，给对象一个阶跃输入信号。②用记录仪表记录被调量在阶跃输入下的整个变化过程曲线，如图5-10所示。③在曲线最大斜率处作切线，求得滞后时间τ，被控对象时间常数以及它们的比值。④由求得的τ和以及它们的，查表5-3，即可得数字控制器的、、及采样周期。第五十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日54第五十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日55控制度控制规律TKpT1TD1.05PI0.1τ0.84Tτ/τ0.34τPID0.05τ1.15Tτ/τ2.0τ0.45τ1.2PI0.2τ0.78Tτ/τ3.6τPID0.16τ1.0Tτ/τ1.9τ0.55τ1.5PI0.5τ0.68Tτ/τ3.9τPID0.34τ0.85Tτ/τ1.62τ0.65τ2.0PI0.8τ0.57Tτ/τ4.2τPID0.6τ0.6Tτ/τ1.5τ0.82τ表5-3按扩充响应曲线法整定参数第五十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日56(3)PID归一参数的整定法第五十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日575.3数字控制器的直接设计方法

前面介绍的连续域离散化设计方法和数字PID调节器设计方法，是立足于连续系统的设计，并在计算机上采用数字模拟的方法实现，因此被认为是数字控制器的间接设计方法。其优点是可以充分运用工程设计者所熟悉的各种连续系统的设计方法和经验，将它移植到数字计算机上予以实现，从而达到满意的控制效果。但是，模拟化设计方法选定的采样周期必须足够小，除了必须满足采样定理外，还要求采样周期的变化对系统性能的影响不大。当所选择的采样周期较大或对控制的质量要求较高时，可以从被控对象的特性出发，直接根据采样系统理论来设计数字控制器，这种方法称为数字控制器直接设计法。直接设计法是根据采样控制理论对控制系统进行分析和综合，导出相应的控制规律，然后利用计算机软件实现控制规律。下面介绍直接法设计中常用的最少拍设计方法。第五十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日58直接数字设计法

首先用适当的离散化方法将连续部分(如图所示的保持器和被控对象)离散化，使整个系统完全变成离散系统，然后用离散控制系统的设计方法来设计数字控制器，最后用计算机实现控制功能。第五十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日图5-11采样控制系统结构图5.3.1最少拍控制的基本原理第六十页，共一百二十三页，2022年，8月28日图中

为被控对象，广义对象的脉冲传递函数其中代表零阶保持器,代表被设计的数字控制器,为系统闭环脉冲传递函数,其表达式为:

(5.50)第六十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日

由式（5.51）可知，当G（z）已知时，只要根据设计要求选择好Φ（z），就可以求得D（z）。因此，在已知对象特性的前提下，设计步骤为：

1.求得带零阶保持器的被控对象的广义脉冲传递函数。

2.根据系统性能指标要求以及实现的约束条件构造闭环z传递函数。

3.依据式（5.51）确定数字控制器的传递函数D（z）。

4.由D（z）确定控制算法并编制程序。（5.51）第六十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日1．典型输入理想最少拍控制器设计原理

最少拍无差系统，是指在典型的控制输入信号作用下能在最少几个采样周期内达到稳态无静差的系统。其闭环传递函数具有如下形式（5.52）在这里，是n可能情况下的最小正整数。式（5.52）表明，闭环系统的脉冲响应在n个采样周期后变为零，即系统在n

拍后到达稳态。第六十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日典型输入下最少拍系统的设计方法：由图5-11可知，系统的误差传递函数为误差为典型输入信号的脉冲传递函数为

其中为不包含因子的关于的多项式。

第六十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日典型输入信号第六十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日为了使稳态误差为零，必须含有因子，即F（z）是z-1的多项式。即

当取p=q,且F(z)=1时，数字调节器最简单，阶次最低，而且F(z)项数最少，调节时间短。所以，对于典型输入，有 （5.60） （5.61）第六十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日典型输入下的最少拍控制系统分析(1)单位阶跃输入(q=1)

输入函数r(t)=1(t),其z变换为由最少拍控制器设计时选择的Ф(z)=1-(1-z-1)q=z-1

可以得到进一步求得

以上两式说明，只需一拍(一个采样周期)输出就能跟踪输入，误差为零，过渡过程结束。

第六十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日第六十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日68

(2)单位速度输入(q=2)

输入函数r(t)=t的z变换为

由最少拍控制器设计时选择的

Ф(z)=1-(1-z-1)q=1-(1-z-1)2=2z-1-z-2

可以得到

进一步求得

以上两式说明，只需两拍(两个采样周期)输出就能跟踪输入，达到稳态，过渡过程结束。

第六十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日

(3)单位加速度输入(q=3)

单位加速度输入r(t)=（1/2）t２的Z变换为

由最少拍控制器设计时选择的

Ф(z)=1-(1-z-1)3=3z-1-3z-2+z-3

可以得到上式说明，只需三拍(三个采样周期)输出就能跟踪输入，达到稳态。第七十页，共一百二十三页，2022年，8月28日理想最少拍控制器的局限性

(1)最少拍控制器对典型输入的适应性差

(2)最少拍控制器的可实现性问题

(3)最少拍控制的稳定性问题

最少拍控制器的设计是使系统对某一典型输入的响应为最少拍，但对于其它典型输入不一定为最少拍，甚至会引起大的超调和静差。

主要介绍下面三个内容：第七十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日

对某一典型输入的响应为最少拍的控制器，对于其它典型输入不一定为最少拍！

例如，当Ф(z)是按等速输入设计时，有Ф(z)=2z-1-z-2，则三种不同输入时对应的输出如下：阶跃输入时r(t)=1(t)；R(z)=1/（1-z-1）(1)最少拍控制器对典型输入的适应性差等速输入时

r(t)=t

等加速输入时r(t)=（1/2）t２

第七十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日画出三种输入下的输出图形，与输入进行比较

从图形可以看出，对于阶跃输入，直到2拍后，输出才达到稳定，而在上面单独设计控制器，只需要一拍；这样，过渡时间延长了，而且存在很大的超调量，在1拍处！

对于加速度输入，输出永远都不会与输入曲线重合，也就是说按等速输入设计的控制器用于加速度输入会产生误差。第七十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日

一般来说，针对一种典型的输入函数R(z)设计，得到系统的闭环脉冲传递函数Ф(z)，用于次数较低的输入函数R(z)时，系统将出现较大的超调，响应时间也会增，但在采样时刻的误差为零。反之，当一种典型的最少拍特性用于次数较高的输入函数时，输出将不能完全跟踪输入以致产生稳态误差。由此可见，一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数Ф(z)只适应一种特定的输入而不能适应于各种输入。结论：第七十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日2.最少拍控制器的可实现性和稳定性要求（1）物理上的可实现性要求:

所谓物理可实现性是指控制器当前的输出信号，只能与当前时刻的输入信号、以前时刻的输入和输出信号相关，而与将来时刻的输入信号无关。在数字控制器的脉冲传递函数中表现为不含z

的正幂项。

D(z)的一般表达式为 （5.77）上述要求反映在表达式中，即n>m。第七十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日（2）稳定性要求:

在最少拍系统中，不但要保证输出量在采样点上的稳定，而且要保证控制变量收敛，方能使闭环系统在物理上真正稳定。

由采样控制系统结构图5-11可知

如果被控对象中包含因子以及单位圆上（z=1除外）和圆外的零点时，有限拍控制器可能无法实现。因此必须对前面的理想最小拍设计方法进行改进！

第七十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日第七十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日77设广义对象的传递函数G（z）有：G1(z)是G(z)中不含单位圆上或圆外的零、极点部分。式中：

可以看出，为了避免使G(z)在单位圆外或圆上的零点、极点与D(z)的零点、极点对消，同时又能实现对系统的补偿，选择系统的闭环脉冲传递函数时必须满足一定的约束条件！

由式

最少拍有纹波控制器的设计第七十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日Ф(z)的零点的选择由式F2(z)是关于z-1的多项式，且不含G(z)中的不稳定零点。为了使Ф(z)能够实现，F2(z)应具有以下形式：

F2(z)=f21z-1+f22z-2+…+f2nz-n

知，Ф(z)的零点中，必须包含G(z)在z平面单位圆外或圆上(z=1除外)的所有零点,以及纯滞后部分，即有第七十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日Фe(z)的零点的选择由式上式中，F1(z)是关于z-1的多项式，且不含G(z)中的不稳定极点ai。为了使Фe(z)能够实现，F1(z)应具有以下形式

F1(z)=1+f11z-1+f12z-2+…+f1mz-m

必须包含G(z)在z平面单位圆外或圆上(z=1除外)的所有极点Фe(z)的零点中，

，即有（因为：Фe(z)，Ф(z)的分母相同，化简后，只剩下各自的零点部分，而G(z)的零极点位置对换）第八十页，共一百二十三页，2022年，8月28日

根据上述约束条件设计的最少拍控制系统，只保证了在最少的几个采样周期后系统的响应在采样点时是稳态误差为零，而不能保证任意两个采样点之间的稳态误差为零。这种控制系统输出信号y(t)有纹波存在，故称为最少拍有纹波控制系统，上式的控制器为最少拍有纹波控制器。

y(t)的纹波在采样点上观测不到，要用修正z变换方能计算得出两个采样点之间的输出值，这种纹波称为隐蔽振荡(hiddenoscillations)。第八十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日第八十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日82第八十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日83第八十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日84第八十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日85系统输出波形和控制器输出波形如图5-16所示。可以看出系统的输出虽然在采样时刻能够完全跟踪输入信号，但是在两个采样时刻之间却并不能完全跟踪输入信号，而是围绕给定输入上下波动，这就是所谓的“纹波”现象，这类控制系统称为最少拍有纹波控制系统。据此所设计的控制器称为有纹波最少拍控制器，控制器输出值为正负交替的波形。控制器的这种输出，意味着执行机构在采样时刻会出现很大的动作变化，不仅消耗能量，而且会造成机械磨损。第八十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日86最少拍设计注意：最少拍设计是在结构和参数不变的条件下得到的理想结果。所设计的系统对参数的变化非常敏感，当系统的参数产生漂移，或辩识的参数有误差时，会引起系统性能下降或不稳定。最少拍控制系统实际上是时间最优系统。调节时间与采样周期T有关，从理论上讲，采样周期越小，调整时间越短。但在工程实际中是不可能的。因为实际执行机构所能提供的控制作用是有限的。当采样周期很小时，系统的控制作用有可能超出执行机构的范围，对象的饱和特性限制了采样上限频率。所以在最少拍设计时，必须合理选择采样周期的大小。通常，选择采样周期为对象的惯性时间常数。第八十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日875.3.3最少拍无波纹系统的设计

在上述最少拍系统设计中，实际上只能保证系统在采样点上的稳态误差为零，而在采样点之间的输出响应可能是波动的这种波动通常称为“波纹”。波纹不仅造成采样点之间存在偏差，而且消耗功率，浪费能量，增加机械磨损。 最少拍无波纹设计的要求是使系统在典型输入作用下，经过尽可能少的采样周期，达到稳态，且输出在采样点之间没有波纹。第八十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日波纹产生的原因及设计要求：

按照上一节所介绍的控制器的设计方法，系统输出在采样点之间存在着波纹，这是因为控制器输出序列的波动引起的。造成控制器输出波动的原因是控制变量的变换有非零极点，即数字控制器的输出序列经过若干拍（采样周期）后，不为常值或零，而是振荡收敛的。所以要使系统输出为最少拍无波纹，就必须在有限拍内达到稳态后，系统输出U（k）为定值或为0。第八十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日

要使控制量在稳态过程中为零或常数值，必须使U(z)多项式是关于z-1的有限多项式，因此，此时闭环脉冲传递函数Φ(z)必须包含G(z)的分子多项式，即Φ(z)包含G(z)的全部零点，不仅包括单位圆上或圆外的零点，还包括单位圆内的零点，即式中由图5-11第九十页，共一百二十三页，2022年，8月28日

无纹波系统的调整时间要增加若干拍，增加的拍数等于G（Z）在单位圆内的零点数。

例5.2控制系统同例5.1，T=1s，针对单位阶跃、速度、加速度输入函数设计最少拍无波纹系统，并且画出控制器和系统输出波形。解：第九十一页，共一百二十三页，2022年，8月28日解：（1）单位阶跃输入取Φ(z)=az

–1(1+0.718z

–1)；包含全部零点；取Φe(z)=(1-z

–1)(1+bz

–1)；阶次与Φ(z)相同，且考虑输入形式

Φe(z)=1-Φ(z)1+(b-1)z

–1–bz

–2=1-az

–1-0.718az

–2

比较系数，解得

a=0.582,b=0.418第九十二页，共一百二十三页，2022年，8月28日（2）单位速度输入取Φ(z)=(a0

z-1+a1

z

–2)(1+0.718z

–1)；包含全部零点；取Φe(z)=(1-z

–1)2(1+bz

–1)；阶次与Φ(z)相同，且考虑输入形式；

Φe(z)=1-Φ(z) 1+(b-2)z-1+(1-2b)z-2+b

z-3

=1-a0z-1-(0.718a0+a1)z-2+0.718a1

z-3

比较系数，解得

a0=1.408,a1=-0.826,b=0.592第九十三页，共一百二十三页，2022年，8月28日（3）单位加速度输入

取Φ(z)=(a0

z-1+a1

z

–2+a2

z

–3)(1+0.718z

–1)；包含全部零点；取Φe(z)=(1-z

–1)3(1+bz

–1)；阶次与Φ(z)相同，且考虑输入形式

Φe(z)=1-Φ(z) 比较系数，解得

a0=2.335,a1=-2.68,a2=0.926,b=0.665第九十四页，共一百二十三页，2022年，8月28日

针对单位阶跃、速度输入函数设计最少拍无波纹系统，控制器和系统输出波形如下图所示。第九十五页，共一百二十三页，2022年，8月28日第九十六页，共一百二十三页，2022年，8月28日965.4纯滞后对象的控制算法

在一些实际生产过程中（如热工、化工过程），被控对象具有较大的纯滞后时间。被控对象的纯滞后时间τ对系统的控制性能极为不利。当被控对象的纯滞后时间τ与时间常数Tc之比τ/Tc≥0.5时，被称为大纯滞后过程，采用常规的比例积分微分(PID)控制来克服大纯滞后比较困难，通常难以得到满意的控制效果。长期以来，人们对纯滞后对象的控制进行了大量的研究。目前，对纯滞后系统的控制比较有代表性的方法有大林算法和史密斯预估控制。第九十七页，共一百二十三页，2022年，8月28日第九十八页，共一百二十三页，2022年，8月28日98设连续系统中，被控对象具有一阶或二阶惯性环节，即式中，τ为纯滞后时间,为了计算简单，我们设τ=NT，N为正整数，即纯滞后时间是采样周期的整数倍。第九十九页，共一百二十三页，2022年，8月28日

1．大林算法的设计原则设计以大林算法为模型的数字控制器，使闭环系统的特性具有时间滞后的一阶惯性环节特性，且滞后时间与被控对象的滞后时间相同。即此时系统的闭环传递函数为第一百页，共一百二十三页，2022年，8月28日相应的系统的闭环脉冲传递函数为因此，数字控制器的传递函数为第一百零一页，共一百二十三页，2022年，8月28日第一百零二页，共一百二十三页，2022年，8月28日102第一百零三页，共一百二十三页，2022年，8月28日103例5.4已知被控对象的传递函数为

，试用大林算法设计数字控制器解：设期望的闭环系统为时间常数的一阶惯性环节，并带有个采样周期的纯滞后。则期望的闭环脉冲传递函数为第一百零四页，共一百二十三页，2022年，8月28日第一百零五页，共一百二十三页，2022年，8月28日105控制效果如图第一百零六页，共一百二十三页，2022年，8月28日106由图可以看出，在过渡过程中，控制量输出序列出现以2T为周期的大幅度上下振动现象，振动的频率是采样频率的1/2。把这种控制量以1/2的采样频率（即二倍采样周期）的振荡现象称为“振铃”现象。振铃现象的存在，会引起系统输出或控制量输出在采样点之间上下波动，这容易使执行机构大幅度动作，从而造成机构磨损，因此应尽量消除振铃现象。振铃现象振荡的幅