第二章 地图数学基础

第2章地图数学基础 §1地球体

§2地球坐标系与大地定位

§3地图投影的基本原理

§4常用的几类地图投影 §5地图数学基础设计和地图投影变换

缺席：04111(2次)042021.1地球的自然表面我国春秋时期，“天圆地方说”（盖天说）。§1

地球体§1

地球体据《晋书·天文志》记载：“其言天似盖笠，地法覆盘，天地各中高外下。北极之下为天地之中,其地最高,而滂沲四,三光隐映,以为昼夜。天中高于外衡冬至日之所在六万里。北极下地高于外衡下地亦六万里，外衡高于北极下地二万里。天地隆高相从,日去地恒八万里。”按照这个宇宙图式,天是一个穹形,地也是一个穹形,就如同心球穹，两个穹形的间距是八万里。北极是“盖笠”状的天穹的中央，日月星辰绕之旋转不息。盖天说认为,日月星辰的出没,并非真的出没，而只是离远了就看不见，离得近了，就看见它们照耀。据东汉学者王充解释：“今试使一人把大炬火，夜行于平地，去人十里，火光灭矣；非灭也，远使然耳。今，日西转不复见，是火灭之类也。”

1.1地球的自然表面东汉张衡浑天说,提出大地是球体,宇宙是无限的观点。

§1

地球体§1

地球体浑天说的代表作《张衡浑仪注》中说:“浑天如鸡子。天体圆如弹丸﹐地如鸡子中黄﹐孤居于天内﹐天大而地小。天表里有水﹐天之包地﹐犹壳之裹黄。天地各乘气而立﹐载水而浮。周天三百六十五度又四分度之一﹐又中分之﹐则半一百八十二度八分度之五覆地上﹐半绕地下﹐故二十八宿半见半隐。其两端谓之南北极。北极乃天之中也﹐在正北﹐出地上三十六度。然则北极上规径七十二度﹐常见不隐。南极天地之中也﹐在正南﹐入地三十六度。南规七十二度常伏不见。两极相去一百八十二度强半。天转如车毂之运也﹐周旋无端﹐其形浑浑﹐故曰浑天。”可见浑天说比盖天说进了一步﹐它认为天不是一个半球形﹐而是一整个圆球﹐地球在其中﹐就如鸡蛋黄在鸡蛋内部一样。不过﹐浑天说并不认为“天球”就是宇宙的界限﹐它认为“天球”之外还有别的世界﹐即张衡所谓:“过此而往者﹐未之或知也。未之或知者﹐宇宙之谓也。宇之表无极﹐宙之端无穷。”(《灵宪》)公元2世纪古希腊托勒密的地心说:大地是宇宙的中心。毕达格拉斯和亚里士多德在两千多年前就确信地球是圆的。公元前200年，才由古希腊学者埃拉托色尼量算出地球的周长加以实证。中世纪西方人的地球概念模型和宇宙观古印度人的地球概念

护持神毗瑟拿化身为大海龟，海龟的硬壳背上站着几头大象,大象驮着半圆形的大地，大象动一动便引起地震。海龟又站在作为水的象征的眼镜蛇身上。半圆形的大地中央须弥山耸峙,日月绕山运行,当日头投入山后，就呈现出黑暗之夜。古印度人的大地形状概念模型——为了了解地球的形状，让我们由远及近地观察一下地球的自然表面。浩瀚宇宙之中:

地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。机舱窗口俯视大地:

地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面

——

珠穆朗玛峰与太平洋的马里亚纳海沟之间高差近20km。结论：

地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。1.2地球的物理表面当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面。它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面。它所包围的形体称为大地体。大地水准面是地球形体的一级逼近。在测量和制图中用旋转椭球体来代替大地体，这个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。

它是一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。1.3地球的数学表面椭球体

三要素:

长轴a（赤道半径）、短轴b（极半径）和椭球的扁率fEquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorabWGS[worldgeodeticsystem]84ellipsoid:a=6378137m

b=6356752.3m

equatorialdiameter=12756.3km

polardiameter=12713.5km

equatorialcircumference=40075.1km

surfacearea=510064500km2

a-b6378137-6356752.3f=——=————————

a63781371—=298.257f对

a，b，f

的具体测定就是近代大地测量的一项重要工作。

通过数学方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点间的偏差，从数学上给出对地球形状的三级逼近。对地球形状abf测定后，还须确定大地水准面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体——

参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。

由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故地球椭球体的元素值有很多种。1952年前采用海福特（Hayford）椭球体

1953—1980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台）自1980年开始采用

GRS1975（国际大地测量与地球物理学联合会IUGG1975推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点。陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点——大地原点。

地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面坐标系统的建立。§2地球坐标系与大地定位2.1坐标系一、地理坐标系二、平面坐标系(高斯)三、空间直角坐标系（WGS84）一、地理坐标

——用经纬度表示地面点位的球面坐标。①天文经纬度②大地经纬度①天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。天文纬度：在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。②

大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度l、大地纬度.大地经度λ

：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。大地纬度

：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。二、平面直角坐标系三、空间直角坐标系2.2

中国的大地坐标系统1.中国的大地坐标系1980年以前：采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台）

；1980年选用1975年国际大地测量协会推荐的参考 椭球：ICA-75椭球参数

a=6378140m

b=6356755m

f=1/298.2572.中国的大地控制网平面控制网:按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为四等。

由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地平面控制网国家测绘局高程控制网

:

按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。中国高程起算面是黄海平均海水面。1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推

算，称为1956年黄海高程系。1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》其比《黄海平均海水面》上升29毫米。

青岛观象山水准原点高程控制网国家测绘局国家测绘局绝对高程相对高程国家水准原点

国家测绘局GPS控制网国家测绘局

2.3全球定位系统-GPS

授时与测距导航系统/全球定位系统(NavigationSatelliteTimingandRanging/GlobalPositioningSystem--GPS)：是以人造卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、实时动态定位、定时及导航服务。

1.GPS系统由三个独立的部分组成空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星。它们在高度20200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上，轨道倾角55°，两个轨道面之间在经度上相隔60°，每个轨道面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地球上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数；监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。 用户设备部分：GPS接收机——接收卫星信号，经数据处理得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点的距离和航向或提供图示。2.GPS系统定位原理数据，组成3个方程式，就可以解出观测点的位置（X,Y,Z）。考虑到卫星的时钟与接收机时钟之间的误差，实际上有4个未知数，X、Y、Z和钟差，因而需要引入第4颗卫星，形成4个方程式以求解，从而得到观测点经纬度和高程。

通过测量卫星信号到达接收机的时间延迟，即可算出用户到卫星的距离。再根据三维坐标中的距离公式，利用3颗卫星的3.常用GPS测量模式

常规静态测量：采用两台(或两台以上)GPS接收机，分别安置在一条或数条基线的两端，同步观测4颗以上卫星，每时段根据基线长度和测量等级观测45分钟以上的时间。常用于建立全球性或国家级大地控制网、地壳运动监测网。

快速静态测量：这种模式是在一个已知测站上安置一台GPS接收机作为基准站，连续跟踪所有可见卫星。移动站接收机依次到各待测测站，每测站观测数分钟。这种模式常用于控制网的建立及其加密、工程测量、地籍测量等。这种方法要求在观测时段内确保有5颗以上卫星可供观测；流动点与基准点相距应不超过20km。静态测量模式准动态测量

在一已知测站上安置一台GPS接收机作为基准站，连续跟踪所有可见卫星。移动站接收机在进行初始化后依次到各待测测站，每测站观测几个历元数据。这种方法不同于快速静态，除观测时间不一样外，它要求移动站在搬站过程中不能失锁，并且需要先在已知点或用其它方式进行初始化（采用有OTF功能的软件处理时例外）。

这种模式可用于开阔地区的加密控制测量、工程定位及碎部测量、剖面测量及线路测量等。要求在观测时段内确保有5颗以上卫星可供观测；流动点与基准点相距应不超过20km。动态测量模式实时动态测量：DGPS和RTK

在一个已知测站上架设GPS基准站接收机和数据链，连续跟踪所有可见卫星，并通过数据链向移动站发送数据。移动站接收机通过移动站数据链接收基准站发射来的数据，并进行在机处理，从而实时得到移动站的高精度位置。DGPS通常叫做实时差分测量，精度为亚米级到米级，这种方式是基准站将基准站上测量得到的RTCM数据通过数据链传输到移动站，移动站接收到RTCM数据后，自动进行解算，得到经差分改正以后的坐标。RTK

则是以载波相位观测量为根据的实时差分GPS测量，它是GPS测量技术发展中的一个新突破。它的工作思路与DGPS相似，只不过是基准站将观测数据发送到移动站（而不是发射RTCM数据），移动站接收机再采用更先进的在机处理方法进行处理，从而得到精度比DGPS高得多的实时测量结果。这种方法的精度一般为2cm左右。3.1地图投影的概念3.2地图的比例尺3.3地图投影变形3.4地图投影分类§3地图投影

3.1地图投影的概念

地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。地图投影所依据的是地球椭球面（或球面），因此把地球椭球面（或球面）为投影的原面；将地球表面的点、线、面描写即投影于其上的承受面，叫做投影面。

地图投影的原理:是在原面与投影面之间建立点、线、面的一一对应关系。由于地图通常是表示在平面上，因而投影面必须是平面或可展曲面。在可展曲面中可作为投影面的，只有圆柱和圆锥面。

一、几何透视法建立在透视学原理基础上。小区域范围：垂直投影较大区域范围：半球、全球

几何透视投影的不足几何透视法只能解决一些简单的由球面到平面的变换问题，具有很大的局限性，而且难于纠正投影变形，精度较低。

二、数学解析法在地球椭球面与投影面之间建立点与点的函数关系，通过数学的方法确定经纬线交点位置的一种投影方法。多数的数学解析法是在透视投影的基础上，建立球面与投影面之间点与点的函数关系的，因此两种投影方法有一定联系。x=f1(j,l)

y=f2(j

,l)上式是地图投影的基本公式，根据投影的性质和条件的不同，投影公式的具体形式是多种多样的。三、地图投影的研究对象和基本任务：研究对象：研究将球面描写到地图平面上的理论、方法及应用，以及地图投影的变形规律。不同地图投影之间的转换和图上量算等问题。基本任务：将制图区域（曲面）按照一定的数学法则转换为地图平面。四、地图投影的意义地图投影是地图的数学基础，起着基础和骨架作用，正是地图投影才使得地图具有严密的科学性和精确的可量测性，这是地图区别与照片、风景画等的重要特征。地图投影系统是实现空间信息定位的基础，是地球空间数据的基础框架，是空间信息可视化的基础。

3.2地图的比例尺一、地图比例尺内涵根据地图投影变形情况，地图比例尺分为：主比例尺

：

在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。局部比例尺：在投影面上有变形处的比例尺。二、地图比例尺的表示

①

数字式比例尺

：用阿拉伯数字表示，如1:10000或简写为1：1万也可以用分数表示1/10000。

②文字式比例尺：用文字注解的方式表示，

如百万分之一或“图上1cm相当实地10km”。注意：表示比例尺的长度单位，在地图上通常以cm计，在实地以m或km记，涉及航海方面的地图，实地距离则常常以nmail（海里）计。

③图解式比例尺：用图解加注记的形式表示。

直线比例尺 斜分比例尺（微分比例尺） 复式比例尺（经纬线比例尺）

1050102030405023.8m18.9m

④特殊比例尺

无级别比例尺（无极缩放）三、国家基本地图的比例尺系列数字比例尺文字比例尺图上1cm相当实地km数1：10000一万分之一0.11：25000二万五千分之一0.251：50000五万分之一0.51：100000十万分之一11：250000二十五万分之一2.51：500000五十万分之一51：1000000百万分之一10四、地图比例尺的作用比例尺决定着地图图形的大小反映地图的测量精度：比例尺越大，地图的量测精度越高。比例尺精度：图上0.1mm的地面水平长度。例：测制1：1万地形图时，实际水平长度的测量精度只有1m，即小于1m地物就不能正确表示。

问题：实地长度准确到5m，则地图比例尺不用小于？比例尺决定着地图内容的详细程度3.3地图投影变形一、投影变形的概念使用了地图投影的地图，虽然可以将地球表面完整地表示在平面上，但是这种“完整”，是通过投影范围内某一区域均匀拉伸和对另一区域的均匀缩小而实现的。地图投影变形是不可避免的，但是在掌握了地图投影的变形性质和规律之后，就可以对投影变形加以控制，以满足使用地图的要求。

二、变形椭圆 取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。为经线长度比；为纬线长度比微小圆→变形椭圆

该方程证明:地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即：以O'为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。代入：X2+Y2=1，得主方向：一组正交方向投影后仍然正交，称此两方向为主方向。长轴方向（变形比极大值）a短轴方向（变形比极小值）b经线方向长度变形比m纬线方向长度变形比n据阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2m·n·sinθ=a·b变形椭圆表示地图投影变形方法变形椭圆各方向上的半径长表明长度变化；变形椭圆的面积表明面积变化；变形椭圆的扁平表示角度变形的大小。一个变形椭圆能同时显示某点的各种变形，一组变形椭圆能揭示全制图区域变形变化规律。三、投影变形的性质和大小

长度比和长度变形：投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。

m表示长度比，Vm表示长度变形

长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。=0不变>0变大<0变小

面积比和面积变形：

投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比。

P

表示面积比

Vp

表示面积变形

P=a·b=m

·

n(q=90)

P=m

·

n

·sinq

(q≠90)面积比是变量，随位置的不同而变化。=0不变>0变大<0变小角度变形：投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。设A点的坐标为（x、y），A

′点的坐标为(x

′、y

′)将此式两边各减和加

tana

即：由上面两式，可以推演出：

显然当（a+a

′）=90°时，右端取最大值，则最大方向变形：以w表示角度最大变形：BB`μ`μ若已知

m,n,q，则：＝3.4地图投影分类

地图投影的种类已很多，当前一般按照两种标志分类：一是按投影的内在条件——投影的变形性质分类；一是按投影的外在条件——按投影的构成方法。

一、按投影变形性质分类名称概念性质等角投影在投影面上任意方向线的夹角同地球面相应的夹角相等。等面积投影投影面上的有限面积与地球面上相应面积相等。任意投影即不等角又不等面积的投影。

等角投影:投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零ω=0（或a=b，m=n）。

等积投影:投影面与椭球面上相应区域的面积相等即面积变形为零Vp=0（或

P=1，a=1/b）。

任意投影:投影图上，长度、面积和角度都有变形它既不等角又不等积。其中，等距投影是在特定方向上没有长度变形的任意投影（m=1）。等积投影、等角投影、等距投影形状不变面积不变特定方向距离不变二、按投影的构成方法分类几何投影：把地球椭圆面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面而得到的，根据几何面的形状，可进一步分为方位投影、圆柱投影和圆锥投影。

条件投影：根据制图的某些特定要求，选用合适的投影条件，利用数学解析法确定平面球面之间对应点的函数关系。

伪方位投影：在方位投影的基础上，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

伪圆柱投影：在圆柱投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。§4常用的几类地图投影4.1方位投影及其应用4.2圆柱投影及其应用4.3圆锥投影及其应用4.4高斯－克吕格投影及其应用4.1方位投影及其应用一、方位投影的概念、分类二、等面积方位投影三、等距离方位投影四、等角方位投影五、方位投影的分析和应用4.1方位投影及其应用一、方位投影的概念、分类1、定义：假设一个平面与地球面相切或相割，根据某种条件（如等面积）将地球上的经纬网投影到该平面上而得到。4.1方位投影及其应用一、方位投影的概念、分类2、分类：（1）根据球面与投影面的相对部位不同，方位投影有正轴投影、横轴投影和斜轴投影。还可以进一步分为切方位投影和割方位投影。

一、方位投影的概念、分类2、分类：（2）根据投影的变形性质，方位投影有等角投影、等面积投影和任意投影（其中主要是等距离投影）。二、等面积方位投影保持投影前后的面积相等等面积方位投影后面积没有变形，等高圈长度比都大于1，垂直圈长度比都小于1。三、等距离方位投影等距离方位投影的垂直圈没有长度变形，等高圈长度比和面积比都放大。四、等角方位投影等角正轴切方位投影特点：1.极点为中心；2.纬线为同心圆；3.经线为辐射的直线。4.中心部分变形较小，向外变形逐渐增大。用于编绘两极地区国际１：１００万地形图。五、方位投影的应用由于各种方位投影具有不同的特点，因而各有不同的用途，下面介绍一些实例：等角方位投影制作较大区域的地图、广播卫星、军事等面积方位投影近似圆形地图的区域图：普通地图、政治形势图；极区地图；赤道附近圆形区域地图等距离方位投影制作圆形区域地图：普通地图、政区图、自然地理图4.2圆柱投影及其应用一、圆柱投影的概念、种类二、等角正切圆柱投影（墨卡托投影）三、等面积和等距离圆柱投影四、圆柱投影的分析和应用4.2圆柱投影及其应用一、圆柱投影的概念、种类1.概念以圆柱面为投影面，按某种投影条件，将地球面上的经纬线网投影于圆柱面上，然后，沿圆柱面的某一母线切开展成平面的一种投影。4.2圆柱投影及其应用一、圆柱投影的概念、种类1.分类正轴、横轴和斜轴等角、等面积和任意投影

4.2圆柱投影及其应用二、等角正切圆柱投影（墨卡托投影）赤道没有变形，随着纬度升高，变形迅速增大。适合制作沿纬线延伸地图的地图等角航线：地球面上一条与所有经线相交成等方位角的曲线。请思考“等角航线”与“大圆航线”投影之后是什么样子的？？？4.2圆柱投影及其应用三、等面积和等距离圆柱投影4.2圆柱投影及其应用四、圆柱投影的应用等角航线高斯－克吕格投影4.3圆锥投影及其应用一、圆锥投影的概念、种类二、等角正圆锥投影三、等积圆锥投影和等距圆锥投影四、圆锥投影的分析和应用4.3圆锥投影及其应用一、圆锥投影的概念、种类1.概念：圆锥投影是假定的以圆锥面作为投影面，使圆锥面和地球体相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后把圆锥面沿一条母线间开展为平面而成，当圆锥面与地球相切时，称为切圆锥投影，当圆锥面与地球相割时，称为割圆锥投影。

4.3圆锥投影及其应用一、圆锥投影的概念、分类2.分类：按圆锥面与地球相对位置的不同，可分正轴、横轴、斜轴圆锥投影，但横轴、斜轴圆锥投影实际上很少应用。所以凡在地图上注明是圆锥投影的，一般都是正轴圆锥投影。

4.3圆锥投影及其应用二、等角正圆锥投影等角圆锥投影的条件是在地图上没有角度变形。等角圆锥投影：等角切圆锥投影、等角割圆锥投影。4.3圆锥投影及其应用三、等积圆锥投影和等距圆锥投影等积圆锥投影的条件：地图上面积比不变

等距圆锥投影的条件：经线投影后保持正长，即经线方向上的长度比是1，没有变形。

4.3圆锥投影及其应用四、圆锥投影的分析和应用圆锥投影的特点：纬线是同心圆弧，经线是放射状直线束，经纬线互相垂直，经纬线方向是主方向。等变形线是平行与纬线的同心圆弧，离开标准纬线越远变形越大。该投影适合绘制中纬度沿东西方向延伸地区的地图。圆锥投影和方位、圆柱投影之间的关系

方位投影和圆柱投影都可看成是圆锥投影的特例，圆锥体的顶角越大就越按近方位投影。当圆锥顶角为180度时，就是方位投影，相反如果圆锥体的顶角小到0度，则圆锥就变成了圆柱。就得到了圆柱投影。圆锥、圆柱和方位投影的经纬线形式虽不相同，但投影变形的规律无论是正轴、横轴和斜轴，变形的形式是相似的。变形的性质都能从纬线投影上的间距表现出来。判别以上投影的性质时，却可根据纬线间距的增大或减小和相等的情况来确定。1.

概念：

等角横切椭圆柱投影是以椭圆柱作为投影面，使地球椭球体的某条经线与椭圆柱相切，然后按照等角条件，将中央经线东西两侧各一定范围内的地区投影到圆柱面上，再将其展开平面而成。

该投影由德国高斯于19世纪20年代拟定，经克吕格1912年对投影公式加以补充，称为高斯－克吕格投影。4.4高斯－克吕格投影及其应用变形性质：等角投影几何概念：横切椭圆柱投影2.经纬线特征

中央经线和赤道为互相垂直的直线，其他经线均为凹向并对称于中央经线的曲线，其他纬线均为以赤道为对称轴的向两极弯曲的曲线，经纬线成直角相交。3.变形分布规律：

①中央经线没有长度变形。其余经线长度比均大于1，距中央经线愈远变形愈大；

②在同一条经线上，长度变形随纬度的降低而增大；

③在同一条纬线上，长度变形随距中央经线距离的增大而增大。最大变形在边缘经线与赤道的交点上；

投影带的划分为了保证地图的精度，采用分带投影方法，将投影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限度，把许多带结合起来，可以为整个区域的投影6°带是从0°经线起，自西向东；我国在东经72°—136°之间，包括11个带，即13—23带。3°带，是从东经1°30’的经线始。全球为120个带。上图为6°与3°带的中经及带号的关系。

中国国家基本比例尺地形图采用高斯-克吕格分带投影：

1∶1万（3°分带）

1∶2.5万、1∶5万、1∶10万、1∶25万、1∶50万（6°分带）5.坐标规定

中经为X轴，北正；赤道为Y轴，东正；交点为原点。我国在北半球，X皆为正。Y有一半为负。避免Y为负，将各带的Y值加500公里，即纵轴西移500公里。由于各带投影完全相同，为区别不同带的点，Y前需再加带号，称为通用坐标。6.

坐标网(1)经纬线网

经线和纬线构成的坐标网，又称地理坐标网。

作用：控制和确定地表各点和整体地形的实地位置。用于分析和计算投影变形；确定比例尺、量算不可缺少。

(2)方里网由平行于投影坐标轴的两组平行线所构成的方格网。又称直角坐标网。

作用：大比例尺地图上，方便展绘点位和读图上地理坐标

表示：1：1万—1：25万地图上绘出方里网

比例尺密度1:1万1:2.5万1:5万1:10万1:25万图上距离（cm)

10

4

2

2

4实地距离(km)

1

1

1

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10§5地图数学基础设计和地图投影变换

5.1地图定向5.2地图投影的识别和选择5.3地图投影的变换5.1地图定向1.真北方向2.磁北方向3.坐标北方向4.三北方向图真子午线磁子午线坐标纵线磁偏角子午线收敛角磁坐偏角5.2地图投影的选择和识别1.地图投影的选择（1）选择投影的一般原则经纬网形状简单制图区域内变形较小，且分布均匀前苏联科学家契比雪夫说过：能使制图区域边界保持同一长度比的投影是最合适的投影。（2）影响投影选择的基本因素地图内容及其用途制图区域大小制图区形状和地理位置其它因素：出版方式、资料情况2.地图投影的判别（1）通过判别经纬网的形状确定投影系统（2）根据经纬距的变化规律确定投影变形性质（3）通过简单的量算确定投影参数（4）间接判断：从投影选择的角度考虑经纬网形状判断注意事项直线与曲线圆弧与任意曲线圆弧与圆同心圆与同轴圆变形性质确定之前提同纬度带内梯形面积不等的投影肯定不是等积投影；经纬网不是处处正交的投影肯定不是等角投影；投影为直线的经线（中央经线）上纬距不等的投影肯定不是等距投影。另外，量算时应考虑制图和印刷误差

研究从一种地图投影变换为另一