微积分8-3三重积分

第三节一、三重积分的概念

二、三重积分的计算三重积分第十章一、三重积分的概念

类似二重积分解决问题的思想,采用引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量

M.密度函数为定义.

设存在,称为体积元素,

若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如下列“乘中值定理.在有界闭域上连续,则存在使得V为的体积,

积和式”极限记作二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:方法1.投影法(“先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度≈记作方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度≈记作投影法方法3.三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:当被积函数在积分域上变号时,因为均为为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.小结:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.其中

为三个坐标例1.

计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面例2.计算三重积分解:

用“先二后一”

y=0,z=0和x+y+z=1所围成的四面体.解:在xy面上的投影区域为Dxy:0y

1x,0x

1.沿z

轴方向,下方曲面:z=0,上方曲面:z=1xy.y0zx111Dxyx+y=1x+y+z=1练习1类似,解:若先对z

积分,由于沿z

轴方向的下方曲面和上方曲面均由两片曲面组成,且在xy面上投影区域相对复杂.积分较繁.改为先对y

积分.y0zx1练习2沿y

轴方向,求在xz面上的投影区域Dxz

.故Dxz

:y0zx1消去y,1x+y=1yozx1z=xy.关于利用对称性积分.

设有界闭区域的形状关于xoy面对称,且

f(x,y,z)=f(x,y,z),若f(x,y,z)=f(x,y,z),其中1是中处于xy面上方部分.

类似可得关于xoz面对称,而f(x,y,z)关于y

是奇,偶函数的结论,以及关于yz

面对称,而f(x,y,z)关于x

是奇,偶函数的结论.2.利用柱坐标计算三重积分

就称为点M

的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.其中为例3.计算三重积分所解:

在柱面坐标系下及平面由柱面围成半圆柱体.例4.

计算三重积分解:

在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=

其中由x2+y2=2z及z=2所围成.

求解：一般,若的表达式中含有x2+y2,则可考虑用柱面坐标积分.令x=rcos,y=rsin,z=z,

且

z

2,0

r

2,

0

2.xzyx2+y2=2zx2+y2=4或r=2o2练习4

注：常用的二次曲面有,球面,椭球面,柱面.a(x2+y2)=z(旋转抛物面),ax2+by2=z(椭圆抛物面),a2(x2+y2)=z2(圆锥面).3.利用球坐标计算三重积分

就称为点M

的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面Cr=常数:

=常数:S球面S半平面P动点M(r,,)yz

x0MP

=常数:锥面C.

rdrdrsinxz

y0圆锥面rd球面r圆锥面+d球面r+dr元素区域由六个坐标面围成：drsind球面坐标下的体积元素半平面及+d；

半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+drdrdxz

y0

drdrsind.r2sin

drdd如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.例5.计算三重积分解:

在球面坐标系下所围立体.其中

与球面

求由半径R的球面x2+y2+z22Rz=0和半顶角为的圆锥面ctg2(x2+y2)=z2围成的立体的体积V,其中位于圆锥面上方,球面下方.解:

,用球面坐标求这个三重积分.令x=rsincos,y=rsinsin,z=rcos.则由公式知：0yzx练习1x2+y2+z22Rz=0的球面坐标方程为r22Rrcos=0,即:r=2Rcos,ctg2(x2+y2)=z2的球面方程为ctg2(r2sin2cos2+r2sin2sin2)=r2cos2,即:=.由前面的(2)及的形状知,0r2Rcos,

0,因在xy面投影区域为圆,故02..0yzx的体积

一般,若的表达式中含x2+y2+z2,则可考虑用球面坐标.用两种方法计算其中解：利用函数与域的对称性，练习2用柱坐标：

解：用球坐标：

用两种方法计算其中练习3思考.求曲面所围立体体积.解:

由曲面方程可知,立体位于xOy面上部,利用对称性,所求立体体积为yOz面对称,并与xOy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于

xOz

内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;1.

将用三次积分表示,其中由所提示:思考与练习六个平面围成,2.设计算提示:利用对称性原式=奇函数3.