大连理工大学信号9-数字滤波器与数字滤波器设计

2023/2/5大连理工大学1第9章数字滤波器与数字滤波器设计大连理工大学硕士研究生校管课程信号处理与数据分析电子信息与电气工程学部邱天爽2013年11月

内容概要§9.1数字滤波器结构的表示方法§9.2无限冲激响应（IIR）数字滤波器§9.3有限冲激响应（FIR）数字滤波器§9.4IIR数字滤波器的设计§9.5FIR数字滤波器的设计§9.6IIR与FIR数字滤波器的比较2023/2/5大连理工大学3§9.1数字滤波器结构的表示方法2023/2/5大连理工大学4数字滤波器的概念数字滤波器（digitalfilter）是一个离散时间系统，通常它按照预定的算法，将输入的离散时间信号（discretetimesignal）或称为数字信号（digitalsignal）转换为所要求的输出离散时间信号或数字信号。在数字滤波器处理模拟信号（analogsignal）或连续时间信号（continuoustimesignal）时，首先须对输入模拟信号进行限带、采样和模数（A/D）转换，须满足采样频率大于信号中最高频率分量2倍的条件。在对信号进行数字处理后，若需要得到模拟输出信号，还需对数字信号进行数模（D/A）转换或平滑等处理。2023/2/5大连理工大学5数字滤波器的概特点相对于模拟滤波器而言，数字滤波器具有精度高、可靠性高、灵活性高、可程序控制调整、便于集成等显著优点。在语音、图像、雷达、声纳、工业过程检测控制和生物医学信号处理以及其它许多领域都得到广泛的应用。

2023/2/5大连理工大学6离散时间系统的表示【系统函数表示法】【系统差分方程表示法】

2023/2/5大连理工大学7【方框图或信号流图表示法】单位延迟乘系数

加法器2023/2/5大连理工大学8【例9.1】已知：画出方框图和信号流图：【解】2023/2/5大连理工大学9§9.2无限冲激响应（IIR）数字滤波器2023/2/5大连理工大学101.无限冲激响应滤波器的概念与特点系统的单位冲激响应是无限长的；系统函数在有限z平面上有极点存在；系统结构存在输入到输出的反馈，即递归型的。

2023/2/5大连理工大学112.IIR数字滤波器的直接型结构其中，表示将输入延时，组成M节延时网络；把各节抽头后加权（），然后相加，是一个横向结构网络；

表示将输出延时，组成N节延时网络；将各节抽头后加权（），结果相加。

2023/2/5大连理工大学12【直接I型结构】2023/2/5大连理工大学13【直接II型结构】2023/2/5大连理工大学143.IIR数字滤波器的级联型结构式中，，为实零点，为共轭零点；，为实极点，为共轭极点。若将实系数的两个一阶因子组成一个二阶因子，则：

每个一阶、二阶子系统称为一阶、二阶基本节。

2023/2/5大连理工大学15【一阶、二阶基本节的信号流图与级联结构】2023/2/5大连理工大学164.并联结构式中：，为实数；为共轭极点。2023/2/5大连理工大学175.转置定理若将线性时不变网络中所有支路方向倒转，并将输入和输出相互交换，则系统函数不变。

2023/2/5大连理工大学18§9.3有限冲激响应（FIR）数字滤波器2023/2/5大连理工大学191.概念与特点在有限个n值处不为0。在处收敛，即在有限Z平面上只有零点，全部极点都在处（因果系统）。结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈，但有些结构也包含反馈部分。

2023/2/5大连理工大学202.FIR滤波器的直接型结构2023/2/5大连理工大学213.FIR滤波器的级联型结构2023/2/5大连理工大学224.线性相位FIR滤波器结构FIR滤波器可具有线性相位（因其冲激响应有限长）若为实系统，，且满足：偶对称：奇对称：其对称中心在：，则具有严格的线性相位。问题：为什么满足上述条件的FIR滤波器具有线性相位？请自行验证。可考虑查找资料。2023/2/5大连理工大学23【若N为奇数】上式最后一项，令，再将m用n表示，有

代入线性相位奇偶对称条件：，有

当奇对称时，有：

2023/2/5大连理工大学24【信号流图，N为奇数】

程佩青书图5.262023/2/5大连理工大学25【若N为偶数】对上式最后一项令，再将m用n表示，有

代入线性相位奇偶对称条件：，有

其中：+对应于偶对称，对应于奇对称。

2023/2/5大连理工大学26【信号流图，N为偶数】

程佩青书图5.272023/2/5大连理工大学27【最小相位系统的概念】一个稳定的、因果的离散时间系统，其极点必须位于单位圆内，而对零点没有特殊要求，可以在单位圆内、单位圆外和单位圆上。如果一个离散系统的极点和零点都在单位圆内，则称为最小相位系统。相反，若系统的零点都在单位圆外，则称为最大相位系统。若单位圆内外均有零点，则称为混合相位系统。2023/2/5大连理工大学28【最小相位系统的性质】在一组具有相同幅频响应的因果且稳定的滤波器集合中，最小相位滤波器具有最小的相位偏移。最小相位系统单位脉冲响应的能量集中在n的较小范围内，且具有最小的延迟。仅当给定因果稳定系统是最小相位系统时，其逆系统才是因果的且稳定的。任何一个非最小相位系统的系统函数均可以由一个最小相位系统和一个全通系统的级联而成。2023/2/5大连理工大学29§9.4IIR数字滤波器的设计2023/2/5大连理工大学301.滤波器一般问题【模拟频率与数字频率】模拟频率：数字频率：二者关系：，式中为采样周期，是采样频率。2023/2/5大连理工大学31【数字滤波器频率响应的周期性】2023/2/5大连理工大学32【理想低通滤波器的逼近误差容限】2023/2/5大连理工大学33数字滤波器的设计步骤1°按任务要求，确认滤波器性能要求；2°用一个因果、稳定的系统函数去逼近这一性能要求；3°利用有限精度算法实现该系统函数；4°实际的技术实现，包括软件、硬件、数字信号处理器等。2023/2/5大连理工大学342.IIR滤波器设计的冲激响应不变法【原理思路】该方法是用数字滤波器的单位冲激响应模仿模拟滤波器的单位冲激响应。对模拟滤波器的进行等间隔采样，使正好等于的采样值，即满足：2023/2/5大连理工大学35【公式推导】设连续信号（或系统）为，理想采样后的信号（系统）为。二者的拉普拉斯变换：

因：故：

2023/2/5大连理工大学36离散序列的z变换：比较上面二式，有：当时，上面即为s平面到z平面的映射，即：

因：故：其中：这样，s平面的一个水平条带相当于z平面辐角转了一周。每增加，则增加一个，即为多值映射（为采样频率）。2023/2/5大连理工大学37【s平面到z平面的映射】2023/2/5大连理工大学38由于时域采样，使信号的频谱周期性延拓，即：同样令在s域沿轴周期性延拓，即

进一步地：

2023/2/5大连理工大学39【映射】冲激响应不变法将的s平面变换成的z平面。即：

是一种多值映射，即是的周期函数。

2023/2/5大连理工大学40【混叠失真】：与的关系：即：是的周期性延拓。不产生混叠的条件：这样：2023/2/5大连理工大学41【模拟滤波器的数字化方法】：1°由：2°令：3°做z变换：

2023/2/5大连理工大学42【一个例子】：设单节点模拟滤波器，假定分母阶次高于分子阶次（一般可满足）。这样：

（A）且：令：2023/2/5大连理工大学43【一个例子】（续）：求的Z变换，有：

（B）比较（A）式与（B）式：2023/2/5大连理工大学44【评估】1°由S平面的单极点可推得Z平面处，为单极点。2°与的部分分式系数相同：均为。

3°若是稳定的，则也是稳定的（极点分析：，）；

4°上面的对应仅保证S平面与Z平面极点的代数对应，不保证整个S平面与Z平面的代数对应关系。5°与T成反比。若T很小，则增益太大，不好，故修正为：2023/2/5大连理工大学45【评估】（续）这样，说明：只适用于频率有限信号，不适用于高通、带阻滤波器。

2023/2/5大连理工大学46【例9.2】已知：试设计数字IIR滤波器。

【解】直接利用：，有：

设，有：2023/2/5大连理工大学47【例9.2】（续）频率响应：MATLAB编程：试用Matlab绘制上述模拟和数字滤波器的幅频特性和相频特性曲线，并进行对比分析。2023/2/5大连理工大学483.IIR滤波器设计的双线性变换法【冲激响应不变法的缺点】在时域对模拟滤波器进行模拟，会产生频率失真；原因：的映射是多值映射。【双线性变换法的原理】使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似。2023/2/5大连理工大学49双线性变换法的具体方法把整个S平面压缩到某一中间S1平面的一条横带里，宽度为。通过将此横带变换到整个Z平面，从而使S平面与Z平面一一对应，消除频率混叠。2023/2/5大连理工大学50S平面压缩方法【s平面s1平面】将S平面的轴压缩到平面s1的轴上，范围为：

，利用：这样：令，于是上式可写为：

2023/2/5大连理工大学51【s1平面z平面】利用将s1平面映射为z平面。为了使与的任一频率对应，引入待定常数C。

则：仍将代入上式，有称为双线性变换

2023/2/5大连理工大学52【C值的选取】1°当时，与在低频处有确切的对应关系；

2°当时，与在和处，频率相等。2023/2/5大连理工大学53【由

】方法1：方法2：将分解为并联形式或级联形式，每一级都是一阶或二阶的。

再对每个子系统采用双线性变换。2023/2/5大连理工大学54双线性变换法的优缺点避免了频率混叠。但和之间存在严重的非线性，可能会导致新问题。

例如：一线性相位的，经过双线性变换后，得到的有非线性相位，且幅频特性也会有畸变。

2023/2/5大连理工大学55双线性变换的频率预畸变2023/2/5大连理工大学56§9.5FIR数字滤波器的设计2023/2/5大连理工大学571.线性相位FIR滤波器的特点【线性相位条件】设FIR滤波器，其频率响应：

线性相位：2023/2/5大连理工大学58【线性相位条件】（续）FIR滤波器具有线性相位关系的充分条件：

即要求以为偶对称中心。2023/2/5大连理工大学59【线性相位条件】（续2）或：即要求以为奇对称中心。2023/2/5大连理工大学60【线性相位FIR滤波器频率响应的特点】记：

为偶对称：为奇对称：2023/2/5大连理工大学612.FIR滤波器设计的窗函数法（又称傅里叶级数法）【方法概述】1°给定要求的理想滤波器的频率响应

2°按设计一个FIR来逼近。

3°设计在时域进行。

2023/2/5大连理工大学62【设计原理】由：，有：由于是矩形的，可以推得无限长，非因果，需用来逼近。

逼近方法：截断，即：

其中：为截断窗函数。2023/2/5大连理工大学63【窗函数设计法举例】试设计理想矩形低通滤波器，满足线性相位，截止频率为。设群延迟为，即：则：满足线性相位。2023/2/5大连理工大学64【窗函数设计法举例】（续）是中心点为的偶对称无限长非因果序列，截断之，有：

其中，N为窗长，这样：2023/2/5大连理工大学65【加窗带来的问题及解决办法】问题：引起吉布斯现象；解决的办法：1°窗谱主瓣尽可能窄，获得较陡的过渡带；

2°尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度，使肩峰和波纹减少。

2023/2/5大连理工大学66几种常用的窗函数一般条件：设：，长度为N，即：主要考察的问题：窗函数的3dB带宽（B）；最大旁瓣峰值（A）；旁瓣谱峰渐进衰减速度（D）。一般要求：

2023/2/5大连理工大学67【矩形窗】

为过渡带宽度，为主瓣宽度。2023/2/5大连理工大学68【三角窗（Bartlett窗）】2023/2/5大连理工大学69【汉宁窗（Hanning）】式中：2023/2/5大连理工大学70【汉明窗（Hamming）】2023/2/5大连理工大学71【布莱克曼窗（Blackman）

】2023/2/5大连理工大学72【各种窗函数的冲激响应】2023/2/5大连理工大学73【各种窗函数的频率特性】2023/2/5大连理工大学74设计举例【例9.3】：给定采样频率：截止频率：阻带衰减不小于-50dB；给定的如图所示

2023/2/5大连理工大学75【解】1°求对应的数字频率通带截止频率和阻带截止频率分别为：2°设：则：2023/2/5大连理工大学76【解】（续）这样：其中，为线性相位所必须的位移；且满足

2023/2/5大连理工大学77【解】（续2）3°阻带衰减，过渡带

汉明窗的过渡