【2022高考数学一轮复习(步步高)】第二章 §2.2 第2课时 奇偶性、对称性与周期性

222222第课时

奇偶性、称性与周期题型一函数奇偶性的判定例判下函数的奇偶性：f()＝3＋x－；2f()＝；－－，f()＝>0f()＝log(x＋x＋1)．解

(1)

x2x±3(){33}(x)x30.(xfx)f(x()(1,0)∪lg∴x2<0∴2∴f(x.xlg[1lg∵(xfx)x∴f(x)f)∞0)∪∞)∵x<0x>0f()(x2

xx

x(xx>0f()(x2

xx2()(x(x∴f()f)fx)log[log(2

x

2211112222333344422111122223333444log(2

x)log(2

x)fxf()思维升华判函数的奇偶性，中包括两个必备条件定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，以首先考虑定义域；判断(x)f－x)是否具有等量关系判奇偶性的运中以转化为判断奇偶性的等价等量关系fx)f(－x＝0(奇函数或f(－f－x)＝偶函数)是否成立．跟踪训练(1)下列函数是偶函数的()Af()＝x

－sinxBf()＝3

－C．f(x)＝x＋tanD．()＝x·ln(x2

＋1－x答案D解析ABD设函数fx)(x的定义域为Rf(x是奇函数()是偶函数下结论正确的()Af()g(x)是偶函数Bf)(x是奇函数C．fx()是偶函数D．(|x|)()是奇函数答案解析x)()g(x∴(xf(x(xf())F()∴(x)A)fx)()|∴(x)fx(xf(xgx)|fx)gxx))B)fx()∴(xf)|g)fx)|gx)()∴(x)C)(|xgx)∴(xf(|x()(|x|)g()x)

411411x∴(x)D题型二函数奇偶性的应用命题点利用奇偶性求参的值例若数f)＝x＋

为偶函数，则a的值为．答案

解析方法一()∵()∴()()∴(x)3

ax3

a1

∴2

x12x1

1∴a方法二)f()∴(f(1)f(a(1)∴1命题点利用奇偶性求解式例全国)f(x)奇函数，且当x≥0时fx)＝

－，则当x<0时f(x)于()Ax

－1

Be

＋1C．e－1答案D解析x<0x>0∵x≥0fx)x1∴()e∵(x)∴()fx1.命题点利用奇偶性求函值

D．＋例已函f()＝3m＝

＋5若fx在区间[－，]上的最大值为M最小值为，则＋

minminmin023πminminmin023π答案解析gxax

bx

gx)x∈[]g(x)()0f()g)2∴()g()∴gx)g)24.思维升华利函数奇偶性可以决以下问题求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的数值．求解析式待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上用奇偶性的定义求出．求解析式中的参数利用待定系数法求解根据f()±－)到关于参数的恒等式由系数的对等性得方程(组，进而得出参数的值．画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图．求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊构的函数值．跟踪训练(1)已知函数(x是定义在R上奇数，且当≥0时f(x)＝x＋，则f－1)的值为()AbB－－．－2D．2答案解析∵x)∴(0)020

b0∴b1∴(f(1)(211b已知函数f)＝asinx＋tanx＋1若f(a)＝－，则(－a)＝答案解析gxsintangx)(x)1∵()ga)2∴(a∴(a(a1(a1题型三函数的周期性、对称性命题点函数的周期性x例5已知函数fx)任意x∈，都有f＋2π＝fx，当x∈(0，)时，f(x＝2sin，f

3

等于()

023π674πffπ023π674πffπ22B.C．1D.32答案解析f(2)fxf(2π.f

3

π×f

xx∈(0π)fxππf西模已知定义在R上函数(x)足fx)－f＋，当x∈时，f)

＋logx，则f(2等()A5C2D．－5答案D解析∵x)fx∴()4f(0)f(2)(222)5.思维升华函周期性常用结论对fx)义域内任一自变量的值x：若f(＋)＝－()，则T＝2(a>0)．若f(＋)＝，则＝2(a>0)f若f(＋)＝－，＝(>0)．f若f(＋)＋()＝，则T＝a>0c常数．命题点函数的对称性例多)已知函数f(x的定义域为R对任意都有f＋＝(2－x)且－)＝()，则下列结论正确的是()Af()的图象关于x＝对Bf()的图象关于(2,0)对称C．f(x)的最小正周期为D．＝fx＋4)偶函数答案ACD解析∵(2xfx)(xx2AB

＋＋2∵fx)x2(x)(4)f(f(x∴x4)f(x)∴T4C∵T4f)y(x4)D思维升华对性的三个常用结＋若函数fx)足f＋x)＝(－x)，则y＝()的图象关于直线x＝对．若函数fx)足f＋x)＝－(－x)，则y＝(的象关于点，对．若函数fx)足f＋x)＋(－x)＝c，则函数f()的图象关于点

，对．跟踪训练(1)设定义在R上函数f(x满足fx＋＝f(且当∈[0,3)时fx＝x－x

＋1则f＋f＋f＋…f(2＝________.答案解析∵x()∴x∈f(x)221∴(0)1(1)f∴(0)(1)f2∴(0)(1)ff×4696.已知函数f)的定义域为，且fx)为奇函数，其图象关于直线x＝2对．当x∈时，fx)2x，则f＝答案解析∵x)x∴()(4)f()∴()f(x)f(fx)T∵2022×8∴f(6)f(f(2)4.我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y＝()表示，抽象函数问题可全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体．例若数f

)的定义域是[－1,1]，则f(log)的定义域为________．

222222答案

[24]解析yf

)≤x≤1∴

1

≤2

≤yf(logx)2

≤log≤∴2≤y(log)[4]例已函f()对任意正实数a，b都有fab＝)＋f(b)成立．求f(1)，f(－的值；求证：f

x

＝－f)；若f(2)＝，f＝(p为常)，求f的．解abf(1)(1)f(1)0ab1∴(1)(1)(1)∴(0.证明a，bxf(1)f

(x)∴f

fx)解a2(4)(2)f(2)2pabf(9)f(3)fa49f(4)f(9)2p2q.例3已函数y＝f(x)的定义域为R满fx＋y＝f(x)f(y

＝1>0时)>0.求f(0)的；判断函数的奇偶性并证明；判断函数的单调性，并解不等式f＋f(2＋x)<2.解

(1)f(0)(0)f∴(0)0.f()yxf(0)f(x()0∴()f(x)()R

112121211121112112f112121211121112112fff()Rx∈R<xx∴(xf(xf(x)(x)(x(xf(x)(x)>0∴(xff()∵f

∴f

f

2∴()f)(xx(22)<

y(x)Rx2x<，∈∞课时精练．重庆一中下列函数中，既是偶函数(，＋∞)上单调递增的是A＝－1B．y＋

)cosC．yx

D．y＝－答案Bk－2x．函数f(x)在义域上为奇函数，则实数的为)＋k·2xA2B．0C．1－1D答案解析f()k2(xfx)k·2x

2xk

k1k±1.

9x＋．南昌联考函数f(x)的图象)A关于轴称B关于轴称C．于坐标原点对称D．于线＝对称答案B1解析f)3xxfx3x∴()()f()．知函数fx)是定义在R上周期为奇函数，当0<<1时fx)，等于()A2B．0C．2．答案A解析∵f()∴(1)f1)(12)f(1)∴(1)0

－＋(1)f

1ff

2∴f

f(1)．(多选已知y＝()是定义在R上奇函数，则下列函数中为奇函数的()A＝f(|x|)C．yxf()

B＝(－x)D．y＝f(x)＋x答案BD解析f)(xAffx|)Bf[(x)]f)f)Cxf(x)·[fx)]()D(x()[()xBD选)若定义域为R的数fx)在(4上单调递减数＝f(x＋4)偶函数)Af(2)>C．f＝f答案解析∵fx4)

Bf＝D．(3)>

∴(4)f(4)∴y(x)x4∴(2)(6)ffy(x)(∞)∴(5)>f∴f(3)>f(6)．知f(x)2是定义[a1,2a]上的偶函数，那么a值是________．答案

解析

f)ax2

bxb[aa]a1a∴a，∴.≤0，．咸阳模拟已知函数f(x＝>0

为奇函数，则＝________.答案－解析ff(x)f(f(1)a1)函f(x)对∀∈R满足f(1)＝(1)＋2)－ff(0)＝1f＝答案解析∵x(x∴()4∴f∵∀∈Rfx)f(1x)∴()1∴(2)(0)1．知函数fx)＝x3＋，对任意的m∈[－2,2]f(－2)＋(恒成立，则x的值范围为．答案－2，解析Rf2)f(f(2)<fx)fx)xm∈[2,2]gm)22<<

＋x，x>011已知函数(x)＝x＝，，x

是奇函数．求实数m的；若函数fx)区间[－1－上单调递增，求实数取值范围．解

(1)<0x(xx)2

2()x

2xf()(xfx)x<0f)x2xxm2.

fx)[(x)()

1<a≤3a(1,3]设f(x是定义在R上奇数对任意实数有f＋＝－fx)当∈时()＝2－2

求证：f(x是周期函数；当∈时求f)解析式．证明∵f(x2)()∴(fxf)∴()4解∈∴x∈[2]∴4∈∴x)2(4x(4xx68.∵x)(x(x∴(x)2

6x∈f)x．f()＝

－a

为奇函数，则满足fx－1)>－2e2

的x的值范围是)

11223112231212A(－2＋∞C．(2，＋∞

B(－1，＋∞D．(3，＋∞)答案B解析∵x)∴(0)101∴()x∴()f(

2

e2

2e2

∴fxf∴x1>2>．知函数f(x)对任意实数满f－x＋f(x)＝2，若函数y＝的图象与y＋1有三个交点(x，)(x，，(x，，则y＋＋＝答案解析f()fx2f()(0,1)yx(y(x)x(0,1)(0,1)y23.．多选已知fx)是定义域为R的函数，且函fx＋2)为偶函数，则下列论正确的是()A函数＝f(x)图象关于直线x＝1称Bf(4)＝0C．f(x＋＝f(x)D．f(5)＝－1，则f＝－答案解析f)Rf()fx)(2)()x2(xf(4)(x4)()

1112121111212112121212f(fxfx)()Af)x2AB()Rff(x)xf(4)0BCfx)8fx8)()D，