2022-2023学年北京市东城区高三年级上册学期期末统一检测数学试题

东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测高三数学2023.1本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，则（A） （B）（C）（D）（2）在下列函数中，为偶函数的是（A）（B）（C）（D）（3）在的展开式中，若第3项的系数为10，则（A）（B）（C）（D）（4）在等比数列中，，，则（A） （B） （C） （D）北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一.其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为（A）（B）（C）（D）（6）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点，轴，垂足为．若的面积为，则（A） （B） (C) （D）（7）已知双曲线的左、右焦点分别为，其渐近线方程为，是上一点，且.若△的面积为，则的焦距为（A）（B）（C）（D）（8）在△中，“对于任意，”是“△为直角三角形”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当变化时，直线的斜率的取值范围是（A）（B）（C）（D）（10）如图，在正方体中，是棱上的动点，下列说法中正确的是①存在点，使得；②存在点，使得；③对于任意点，到的距离为定值；④对于任意点，△都不是锐角三角形.（A）①③（B）②③（C）②④（D）①④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）若复数满足，则（12）已知函数，则；若将的图象向左平行移动个单位长度后得到的图象，则的一个对称中心为.（13）经过抛物线焦点的直线与抛物线交于不同的两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，则点的纵坐标与点的纵坐标的大小关系为.(用“”“”“”填写）（14）设函数当时，的值域为__________；若的最小值为1，则的取值范围是___________.对于数列，令，给出下列四个结论：=1\*GB3①若，则；=2\*GB3②若，则；③存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立；④若对任意的，都有，则有.其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）如图，在锐角△中，，点在边的延长线上，且CD＝10.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求△的周长．（17）（本小题15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，为上一点，平面.（=1\*ROMANI）求证：为的中点；（=2\*ROMANII）再从条件=1\*GB3①、条件=2\*GB3②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.条件=1\*GB3①：；条件=2\*GB3②：.注：如果选择条件=1\*GB3①和条件=2\*GB3②分别解答，按第一个解答计分．（18）（本小题13分）“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间[7,9)，[9,11)，[11,13)，[13,15)，[15,17)，[17,19]，用频率分布直方图表示如下：假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.（Ⅰ）估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[13,17)的概率；（Ⅱ）从全校学生中随机选取3人，记ξ表示这3人一周参加课后活动的时间在区间[15,17)的人数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）设全校学生一周参加课后活动的时间的众数，中位数，平均数的估计值分别为a，b，c，请直接写出这三个数的大小关系.(样本中同组数据用区间的中点值替代）（19）（本小题14分）已知椭圆的离心率为，长轴长与短轴长的和为，，分别为椭圆的左、右焦点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为椭圆上一点，.若，，成等差数列，求实数的取值范围.（20）（本小题15分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求的极值；（Ⅲ）证明：当时，曲线与曲线至多存在一个交点.（21）（本小题15分）已知数列，满足：，从中选取第项、第项、…、第项（），称数列为的长度为m的子列．记为所有子列的个数.例如，其.（Ⅰ）设数列，写出A的长度为3的全部子列，并求；（Ⅱ）设数列，，，判断的大小，并说明理由；（Ⅲ）对于给定的正整数，若数列满足：，求的最小值.东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准2023.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）C （3）B （4）D（5）D（6）D （7）C （8）A （9）B（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12）（答案不唯一）（13）（14）（15）=1\*GB3①=2\*GB3②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：又因为在锐角△ABC中，，所以．……6分（Ⅱ）因为，所以.在△中，由余弦定理得所以△的周长为．………13分（17）（共15分）解：（=1\*ROMANI）在△中，过点作//交于点，连接.因为//，所以//，所以，，，四点共面.因为//平面，平面，平面平面，所以//所以四边形是平行四边形.所以所以为的中点.………………6分（=2\*ROMANII）选条件=1\*GB3①：.因为底面为正方形，所以.又，，所以平面.所以.如图建立空间直角坐标系，因为底面是边长为2的正方形，，则，，，，所以，，.设平面的一个法向量为，则即令，则.于是.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角为的正弦值为.…………15分选条件=2\*GB3②：.如图，连接.因为底面是边长为2的正方形，所以，.因为，，所以.所以.因为，，所以平面所以.以下同选条件=1\*GB3①.…15分（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，可得学生一周参加课后活动的时间位于区间[13,17)的频率为，因此估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[13,17)的概率为．…3分（Ⅱ）从全校学生中随机选取1人，其一周参加课后活动的时间在区间[15,17)的概率为．因此ξ．则的分布列为：0123．…10分（Ⅲ）c<b<a．…13分（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题设，解得所以椭圆的方程为.…5分（Ⅱ）设为椭圆上一点，则有．由，，成等差数列，得即由，则.又在椭圆上，有，故，因为，所以.即，所以所以实数的取值范围是.…14分（共15分）解：（Ⅰ）因为所以.所以，所以曲线在点处的切线方程为.…4分（Ⅱ）令，得.当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，在时取得极小值.所以函数的极小值为，不存在极大值.…9分（Ⅲ）令，其定义域为.令，，所以在上单调递增.当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增；当时，，即，取得极小值.，因为，所以，，所以.因此，当时，，所以，，即，，曲线与曲线无交点；当时，，所以存在且仅存在一个，使得，对且，都有，即.所以当时，曲线与曲线有且仅有一个交点；故当时，曲线与曲线至多存在一个交点.…15分（共15分）解：（Ⅰ）由的定义以及，可得：A的长度为3的子列为：，的长度为的子列有个，的长度为的子列有个，所以.…5分（Ⅱ）理由如下：若是的一个子列，则为的一个子列.若与是的两个不同子列，则与也是的两个不同子列.所以.同理，所以.同理所以有…10分