山西省运城市南社中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析

山西省运城市南社中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为

（）A． B． C． D．参考答案：A2.椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B略3.设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab的图形是(

)

A

B

C

D参考答案：B4.函数的定义域是 （

）

A． B．

C．

D．

参考答案：B略5.直线（t为参数）的倾斜角为（）A．20° B．70° C．110° D．160°参考答案：C【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】设直线的倾斜角为α，由直线（t为参数），可得tanα=﹣tan70°，利用诱导公式即可得出．【解答】解：设直线的倾斜角为α，由直线（t为参数），可得tanα=﹣tan70°=tan110°，可得倾斜角α=110°．故选：C．【点评】本题考查了参数方程的应用、直线的倾斜角与向斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.参考答案：C7.点P极坐标为，则它的直角坐标是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由题意设点，由点极坐标可得解得即可得到答案。【详解】根据题意设点，因为点极坐标为，所以解得，所以故选B.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。8.已知,则（）A． B． C．

D．

参考答案：B略9.下列命题为真命题的是()A．若，则B．若，则C．若，则

D．若，则

参考答案：D10.是成立的

A.不充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分不必要条件

D.充要条件参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上．若，，，，则球的体积为________．参考答案：【分析】先由题意得到四边形为正方形，平面的中心即为球的球心，取中点，连结，求出半径，进而可求出球的体积.【详解】因为，，，所以，在直三棱柱中，，所以四边形为正方形，因此平面的中心即为球的球心，取中点，连结，易知平面，且，所以球的半径等于，因此球的体积为.故答案为

【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记棱柱的结构特征，以及球的体积公式即可，属于常考题型.12.将函数的图象C1沿ｘ轴向右平移2个单位得到C2，C2关于ｙ轴对称的图象为C3，若C3对应的函数为，则函数=

.参考答案：(或等价形式)

13.若数列的前n项和为，则通项公式_________参考答案：14.已知，若∥，则的值为（

）A．1

B．－1

C．2

D．－2参考答案：B略15.若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围_______参考答案：[1,)略16..已知函数,,且时,恒成立,则a的取值范围为___________.参考答案：(1,2]17.则常数T的值为

．参考答案：3

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上，O为AC与BD的交点。（1）求证：平面；

（2）当E为PB中点时，求证：//平面PDA;（3）当且E为PB的中点时，求与平面所成的角的大小。参考答案：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，又平面AEC

∴平面.（2）∵四边形ABCD是正方形，，在中，又

//，又//平面PDA，（3）∵，，又所以，可以D为坐标原点建立如图的空间直角坐标系D-xyz。设AB=1.则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，），从而，，，设平面PBC的一个法向量为。由得令z=1，得。设AE与平面PBC所成的角，则与平面PBC所成的角的正弦值为。19.在平面直角坐标系中，的两个顶点的坐标分别为，三个内角满足.（1）若顶点的轨迹为，求曲线的方程；（2）若点为曲线上的一点，过点作曲线的切线交圆于不同的两点（其中在的右侧），求四边形面积的最大值.参考答案：解：（1）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理.∵，∴.∵

∴

即.由椭圆定义知，B点轨迹是以C，A为焦点，长半轴长为2，半焦距为，短半轴长为，中心在原点的椭圆（除去左、右顶点）.∴B点的轨迹方程为.（2）易知直线的斜率存在，设，，，即，因为,设点到直线的距离为，则，，，由，，，，.而，，易知，，，时取到，.20.设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8在x=1及x=2时取得极值．（1）求a，b的值；（2）求曲线f（x）在x=0处的切线方程．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）由已知得f′（x）=6x2+6ax+3b，函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8在x=1及x=2时取得极值，可得，由此能求出a，b的值．（2）确定切线的斜率，切点坐标，即可求曲线f（x）在x=0处的切线方程．【解答】解：（1）∵函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c，∴f′（x）=6x2+6ax+3b，∵函数f（x）在x=1及x=2取得极值，∴f′（1）=0，f′（2）=0．即，解得a=﹣3，b=4；（2）由（1）得f（x）=2x3﹣9x2+12x+8，f′（x）=6x2﹣18x+12，∴f（0）=0，f′（0）=12．∴切线的斜率k=12．切点为（0，8）由直线方程的点斜式得切线方程为：y﹣8=12x，即12x﹣y+8=0．21.某厂拟在2014年通过广告促销活动推销产品.经调查测算，产品的年销售量（假定年产量=年销售量）万件与年广告费用万元满足关系式：（为常数）.若不做广告，则产品的年销售量恰好为1万件.已知2014年生产该产品时，该厂需要先固定投入8万元，并且预计生产每1万件该产品时，需再投入4万元，每件产品的销售价格定为每件产品所需的年平均成本的1.5倍（每件产品的成本包括固定投入和生产再投入两部分，不包括广告促销费用）.（Ⅰ）将2014年该厂的年销售利润（万元）表示为年广告促销费用（万元）的函数；（Ⅱ）2014年广告促销费用投入多少万元时，该厂将获利最大？参考答案：（Ⅰ）由题意得当时即∴

…………………2分∴∴…6分∴所求的函数解析式为

…………………7分（Ⅱ）由（1）得

………………8分∵

∴

∴当且仅当即时取等号.

…………12分∴当2014年广告促销费用投入1万元时，该将获利最大.

……13分

略22.（本小题满分10分）如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，，，，．（I）求证：B