高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程抛物线 课时提升作业(十七)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十七)抛物线及其标准方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2023·安徽高考)抛物线y=14x2=-1 =-2=-1 =-2【解析】选=14x2⇔x22.(2023·大连高二检测)点M(5，3)到抛物线y=ax2准线的距离为6，那么抛物线的方程是()=12x2 =12x2或y=-36x2=-36x2 =112x2或y=-136【解析】选D.分两类a>0，a<0可得y=112x2，y=-136x3.抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是()A.|a|4 B.|a|2【解析】选B.因为y2=ax，所以p=|a|2，即焦点到准线的距离为4.(2023·青岛高二检测)已知等轴双曲线C与抛物线x2=4y有一个共同的焦点，则双曲线C的方程为()=1 x22=1 y22【解析】选A.抛物线x2=4y的焦点为(0，1)，由题意，得双曲线的焦点为(0，1)，所以设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0，b>0)，且a=b,5.(2023·重庆高二检测)O为坐标原点，F为抛物线C：y2=42x的焦点，P为C上一点，若|PF|=42，则△POF的面积为() B.2 3 【解题指南】由|PF|=42及抛物线的定义求出点P的坐标，进而求出面积.【解析】选C.抛物线C的准线方程为x=-2，焦点F(2，0)，由|PF|=42及抛物线的定义知，P点的横坐标xP=32，从而yP=±26，所以S△POF=12|OF|·|yP|=12×2×2二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2023·邢台高二检测)若点P到直线y=-1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________.【解析】由题意可知点P到直线y=-3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P的轨迹是以点(0，3)为焦点，以y=-3为准线的抛物线，且p=6，所以其标准方程为x2=12y.答案：x2=12y7.若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________.【解析】由抛物线方程y2=-2px(p>0)，得其焦点坐标为F(-p2，0)，准线方程为x=p2，设点M到准线的距离为d，则d=|MF|=10，即所以p=2，故抛物线方程为y2=-4x.将M(-9，y)代入抛物线方程，得y=±6，所以M(-9，6)或M(-9，-6).答案：(-9，-6)或(-9，6)【补偿训练】(2023·皖南八校联考)若抛物线y2=2x上一点M到坐标原点O的距离为3，则点M到抛物线焦点的距离为________.【解析】设M(x，y)，则由y得x2+2x-3=0.解得x=1或x=-3(舍).所以点M到抛物线焦点的距离d=1--12=答案：38.已知F是抛物线y=14x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是________【解析】由y=14x2得x2=4y，所以F(0，1).设线段PF的中点M(x，y)，P(x0，y0)，则即x0=2x,y0=2y-1.又P(x0故4x2=4(2y-1)，得x2=2y-1.答案：x2=2y-1三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2023·吉林高二检测)已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：x2+(y+3)2=1外切，求动圆圆心M的轨迹方程.【解题指南】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，-3)的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是一条抛物线，其方程易求.【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，-3)的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，y=3为准线的一条抛物线，其方程为x2=-12y.10.某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米.一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？【解题指南】先建立平面直角坐标系，确定抛物线的方程，由对称性知，木船的轴线与y轴重合，问题转化为求出x=2时的y值.【解析】以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系(如图).设抛物线的方程是x2=-2py(p>0)，由题意知(4，-5)在抛物线上，故：16=-2p×(-5)⇒p=85则抛物线的方程是x2=-165设水面上涨，木船两侧面与抛物线形拱桥接触于B，B′时，木船开始不能通航.设B(2，y′)，所以22=-165y′⇒y′=-54，即水面与拱顶相距为+故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2米时，木船开始不能通航.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2023·武汉高二检测)若点P到点F(0，2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2，则点P的轨迹方程为()=8x =-8x=8y =-8y【解析】选C.由题意知点P到点F(0，2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2，因此点P到点F(0，2)的距离与到直线y+2=0的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，y=-2为准线的抛物线，其方程为x2=8y.2.已知点A(2，0)，抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|=()∶5 ∶2 ∶5 【解题指南】利用射线FA的斜率和抛物线的定义求解.【解析】选C.射线FA的方程为x+2y-2=0(x≥0).由条件知tanα=12，所以sinα=5由抛物线的定义知|MF|=|MG|，所以|FM||MN|=|MG||MN|=sinα=二、填空题(每小题5分，共10分)3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是________.【解析】依题意得F(p2，0)，设P(y122p，y1)，Q(y222p，y2)(y1≠y2).由抛物线定义及|PF|=|QF|，得y122p+p2=y222p+p2，所以y12=y22，所以y答案：2±34.(2023·延边高二检测)已知抛物线y=18x2与双曲线y2a2-x2=1(a>0)有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则OP【解析】抛物线y=18x2，即x2=8y的焦点为F(0，2).所以a2=22-12=3，故双曲线的方程为y23y≥3.OP→=(x，y)，OP→·FP→=x2+y(y-2)=x2+y2-2y=y23+y2-2y-1==43y-3因为y=34<3，故函数t=43y-342-74在[3，+∞)上单调递增，当y=3时，取得最小值，最小值为43×(3)2-2×3-1=3-2答案：3-23三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2023·温州高二检测)已知点A(0，4)和抛物线y2=2px(p>0)的焦点F，若线段FA的中点B在抛物线上，求B到该抛物线准线的距离.【解析】依题意可知F的坐标为(p2所以B的坐标为(p4，2)代入抛物线方程得p=22所以抛物线准线方程为x=-2，所以点B到抛物线准线的距离为22+2=36.抛物线y2=2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y=2x，斜边长为513，求此抛物线方程.【解析】设抛物线y