高中数学人教A版第一章解三角形 课后提升作业三

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课后提升作业三解三角形的实际应用举例——距离问题(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.如图,在河岸AC测量河的宽度BC,测量下列四组数据,较适宜的是(),c,α ,c,α,a,β ,α,β【解析】选D.由α,β,b,可利用正弦定理求出BC.2.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4m,∠A=30°,则其跨度AB的长为() 3 3【解析】选D.由题意知,∠A=∠B=30°,所以∠C=180°-30°-30°=120°,由正弦定理得,sinCAB=即AB=AC·sinCsinB=4·sin120°3.已知A,B两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地的距离为() 35 7【解析】选D.由余弦定理得:AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=102+202-2×10×20×cos120°=700,所以AC=107(km).4.如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A—C—B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走(结果精确到(参考数据:2≈,3≈()A.3.4km 【解析】选A.过点C作CD⊥AB,垂足为点D.在Rt△CAD中,∠A=30°,AC=10km,CD=12AD=AC·cos30°=53km.在Rt△BCD中,∠B=45°,BD=CD=5km,BC=CDsin45°=5AB=AD+BD=(53+5)km,AC+BC-AB=10+52-(53+5)=5+52-53≈5+5××=.5.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等.灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,那么灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10° B.北偏西10°C.南偏东10° D.南偏西10°【解析】选B.如图,由已知得∠ACB=180°-(40°+60°)=80°,因为AC=BC,所以∠CAB=∠CBA=12又EC∥BD,所以∠CBD=∠BCE=60°,则∠ABD=60°-50°=10°,所以灯塔A在灯塔B的北偏西10°.6.(2023·厦门高二检测)甲船在岛B的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是()A.21.5分钟 B.157C.1507分钟 【解析】选C.如图所示,设甲船行至C点,乙船行至D点时甲、乙两船相距最近,它们所航行的时间是x小时,则CD2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)·6x·cos120°=28x2-20x+100,所以当x=514小时,即1507分钟时,CD27.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10m,吊杆AC=15m,吊索AB=519m,起吊的货物与岸的距离AD为()m 1523 3 【解析】选B.在△ABC中,AC=15m,AB=519m,BC=10m,由余弦定理得cos∠ACB=A=152+1所以sin∠ACB=32所以sin∠ACD=sin∠ACB=32AD=ACsin∠ACD=15×32=15【误区警示】解答本题若选择求∠ABC的余弦值,再解Rt△ABD求AD,则运算量较大,极易出错.8.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距()3 330 【解析】选D.设炮台顶部为A,两条船分别为B,C,炮台底部为D,可知∠BAD=45°,∠CAD=60°,∠BDC=30°,AD=30,分别在Rt△ADB,Rt△ADC中,求得DB=30,DC=303.在△DBC中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2DB·DCcos30°,解得BC=30.二、填空题(每小题5分,共10分)9.我舰在岛A南偏西50°相距12海里的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°方向以每小时10海里的速度航行,若我舰要用2小时追上敌舰,则速度为________海里/小时.【解析】如图所示,设我舰在C处追上敌舰,速度为v海里/小时.则在△ABC中,AC=10×2=20(海里),AB=12海里,∠BAC=120°,所以BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=784,所以BC=28(海里),则速度v=282答案:1410.如图,为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度,在海岸上选取距离1千米的两个观察点C,D,在某天10:00观察到该航船在点A处,此时测得∠ADC=30°,2分钟后该船行驶至B处,此时测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,则船速为________千米/分钟.【解析】在△BCD中,∠BDC=30°+60°=90°,CD=1,∠BCD=45°,所以BC=2.在△ACD中,∠CAD=180°-(60°+45°+30°)=45°,所以CDsin45°=AC在△ABC中,AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos60°=32所以AB=62,所以船速为622答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)11.如图,一人在C地看到建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西45°方向,此人向北偏西75°方向前进30km到达D处,看到A在他的北偏东45°方向,B在北偏东75°方向,试求这两座建筑物之间的距离.【解析】依题意得,CD=30,∠ADB=∠BCD=30°=∠BDC,∠DBC=120°,∠ADC=60°,∠DAC=45°.在△BDC中,由正弦定理得BC=DCsin∠BDCsin∠DBC=30sin30°在△ADC中,由正弦定理得AC=DCsin∠ADCsin∠DAC=30sin60°在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=(35)2+(10)2-2×35×10cos45°=25.所以AB=5,即这两座建筑物之间的距离为5km.12.如图,海中小岛A周围38海里内有暗礁,一船正在向南航行,在B处测得小岛A在船的南偏东30°,船行30海里后,在C处测得小岛在船的南偏东45°,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?【解析】在△ABC中,BC=30,∠ABC=30°,∠BCA=135°,所以∠A=15°.由正弦定理知,BCsinA=所以AC=30·sin30°=60cos(45°-30°)=15(6+2),于是,A到BC所在直线的距离为AC·sin45°=15(6+2)×22=15(3+1)≈显然大于38海里,所以船继续向南航行没有触礁的危险.【能力挑战题】如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.(1)求渔船甲的速度.(2)求sinα的值.【解析】(1)依题意,∠BAC=120°,AB=12海里,AC=10×2=20(海里),∠BCA=α.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos120°=784.解得BC=28(海里).所以渔船甲的速度为BC(2)