高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程第2章3

2．5圆锥曲线的统一定义[学习目标]1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．[知识链接]1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？答：eq\f(1,e).2．动点M到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？答：当F∉l时，动点M轨迹是圆锥曲线．当F∈l时，动点M轨迹是过F且与l垂直的直线．[预习导引]1．圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．0<e<1时，它表示椭圆；e>1时，它表示双曲线；e＝1时，它表示抛物线．2．对于椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)和双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，与F(c,0)对应的准线方程是l：x＝eq\f(a2,c)，与F′(－c，0)对应的准线方程是l′：x＝－eq\f(a2,c)；如果焦点在y轴上，则两条准线方程为y＝±eq\f(a2,c).要点一统一定义的简单应用例1椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上有一点P，它到左准线的距离等于，那么，P到右焦点的距离为________．答案8解析如图所示，PF1＋PF2＝2a＝10，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，而eq\f(PF1,＝e＝eq\f(4,5)，∴PF1＝2，∴PF2＝10－PF1＝10－2＝8.规律方法椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用．一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．跟踪演练1已知椭圆eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1上一点P到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P到左准线的距离．解方法一由eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得a＝2b，c＝eq\r(3)b，e＝eq\f(\r(3),2).由椭圆第一定义，PF1＋PF2＝2a＝4b，得PF1＝4b－PF2＝4b－b＝3b.由椭圆第二定义，eq\f(PF1,d1)＝e，d1为P到左准线的距离，∴d1＝eq\f(PF1,e)＝2eq\r(3)b，即P到左准线的距离为2eq\r(3)b.方法二∵eq\f(PF2,d2)＝e，d2为P到右准线的距离．e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴d2＝eq\f(PF2,e)＝eq\f(2\r(3),3)b.又椭圆的两准线的距离为2·eq\f(a2,c)＝eq\f(8\r(3),3)b，∴P到左准线的距离为eq\f(8\r(3),3)b－eq\f(2\r(3),3)b＝2eq\r(3)b.要点二应用统一定义转化求最值例2已知椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1内有一点P(1，－1)，F是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使MP＋2MF之值为最小．解设d为M到右准线的距离．∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(MF,d)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(MF,\f(1,2))＝d，即d＝2MF(如图)．故MP＋2MF＝MP＋MM′.显然，当P、M、M′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M的坐标为(eq\f(2,3)eq\r(15)，－1)．规律方法本例中，利用统一定义，将椭圆上点M到焦点F的距离转化为到准线的距离，再利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决．跟踪演练2已知双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右焦点为F，点A(9,2)，试在双曲线上求一点M，使MA＋eq\f(3,5)MF的值最小，并求这个最小值．解过M作MN垂直于双曲线的右准线l于N，由第二定义可知MN＝eq\f(MF,e)(如图)．又a＝3，b＝4，c＝5，e＝eq\f(5,3)，∴MN＝eq\f(3,5)MF，∴MA＋eq\f(3,5)MF＝MA＋MN，显然当M、N、A三点共线时MA＋MN＝AN为最小，即MA＋eq\f(3,5)MF取得最小值，此时AN＝9－eq\f(a2,c)＝9－eq\f(9,5)＝eq\f(36,5)，∴MA＋eq\f(3,5)MF的最小值为eq\f(36,5)，此时点M(eq\f(3\r(5),2)，2)．要点三圆锥曲线统一定义的综合应用例3已知A、B是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,\f(9,25)a2)＝1上的点，F2是右焦点，且AF2＋BF2＝eq\f(8,5)a，AB的中点N到左准线的距离等于eq\f(3,2)，求此椭圆方程．解设F1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF1＋BF1＝2a－AF2＋2a－BF2＝4a－(AF2＋BF2)＝4a－eq\f(8,5)a＝eq\f(12,5)a.再设A、B、N三点到左准线距离分别为d1，d2，d3，由梯形中位线定理有d1＋d2＝2d3＝3，而已知b2＝eq\f(9,25)a2，∴c2＝eq\f(16,25)a2，∴离心率e＝eq\f(4,5)，由统一定义AF1＝ed1，BF1＝ed2，∴AF1＋BF1＝eq\f(12,5)a＝e(d1＋d2)＝eq\f(12,5)，∴a＝1，∴椭圆方程为x2＋eq\f(y2,\f(9,25))＝1.规律方法在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．跟踪演练3设P(x0，y0)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一点，F1为其左焦点．(1)求PF1的最小值和最大值；(2)在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,5)＝1上求一点P，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直．解(1)对应于F1的准线方程为x＝－eq\f(a2,c)，根据统一定义：eq\f(PF1,x0＋\f(a2,c))＝e，∴PF1＝a＋ex0.又－a≤x0≤a，∴当x0＝－a时，(PF1)min＝a＋eq\f(c,a)×(－a)＝a－c；当x0＝a时，(PF1)max＝a＋eq\f(c,a)·a＝a＋c.(2)∵a2＝25，b2＝5，∴c2＝20，e2＝eq\f(4,5).∵PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)，∴(a＋ex0)2＋(a－ex0)2＝4c2.将数据代入得25＋eq\f(4,5)xeq\o\al(2,0)＝40.∴x0＝±eq\f(5\r(3),2).代入椭圆方程得P点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),2)，\f(\r(5),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),2)，－\f(\r(5),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(3),2)，\f(\r(5),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(3),2)，－\f(\r(5),2))).1．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为________．答案－1<k<1解析由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋k>0，,1－k>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>－1，,k<1，))即－1<k<1.2．已知点F1，F2分别是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|eq\o(PF,\s\up6(→))1＋eq\o(PF,\s\up6(→))2|的最小值是________．答案2解析设P(x0，y0)，则eq\o(PF,\s\up6(→))1＝(－1－x0，－y0)，eq\o(PF,\s\up6(→))2＝(1－x0，－y0)，∴eq\o(PF,\s\up6(→))1＋eq\o(PF,\s\up6(→))2＝(－2x0，－2y0)，∴|eq\o(PF,\s\up6(→))1＋eq\o(PF,\s\up6(→))2|＝eq\r(4x\o\al(2,0)＋4y\o\al(2,0))＝2eq\r(2－2y\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))＝2eq\r(－y\o\al(2,0)＋2).∵点P在椭圆上，∴0≤yeq\o\al(2,0)≤1，∴当yeq\o\al(2,0)＝1时，|eq\o(PF,\s\up6(→))1＋eq\o(PF,\s\up6(→))2|取最小值为2.3．已知F1、F2是椭圆的两个焦点．满足eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案(0，eq\f(\r(2),2))解析∵eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，设点P为椭圆上任意一点，则OP>c恒成立，由椭圆性质知OP≥b，其中b为椭圆短半轴长，∴b>c，∴c2<b2＝a2－c2，∴a2>2c2，∴(eq\f(c,a))2<eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2).又∵0<e<1，∴0<e<eq\f(\r(2),2).4．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)，有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是________．答案eq\f(1,2)解析由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝c2，①,m2＋n2＝c2，②,c2＝am，③,2n2＝2m2＋c2，④))由②④可得m2＋n2＝2n2－2m2，即n2＝3m2，⑤⑤代入②得4m2＝c2⇒c＝2m，⑥⑥代入③得4m2＝am⇒a＝4m.所以椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).1.三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数．2．利用圆锥曲线的统一定义可实现曲线上的点到焦点的距离与到准线距离的相互转化．一、基础达标1．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝______.答案－1解析焦点为(1,0)，代入直线方程，可得a＝－1.2．已知椭圆的准线方程为y＝±4，离心率为eq\f(1,2)，则椭圆的标准方程为____________．答案eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)＝4，,\f(c,a)＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝1.))所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1.3．双曲线3x2－y2＝9，P是双曲线上一点，则P点到右焦点的距离与P点到右准线的距离的比值为________．答案2解析由统一定义，所求距离之比即为双曲线的离心率．双曲线方程可化为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1，得a2＝3，b2＝9，c2＝a2＋b2＝12，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(12),\r(3))＝2.4．椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到左准线的距离为________．答案5解析依题意e＝eq\f(3,5)，所以点P到左准线的距离d＝eq\f(PF1,e)＝5.5．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(3)，右准线方程为x＝eq\f(\r(3),3)，则双曲线方程为__________．答案x2－eq\f(y2,2)＝1解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(3)，,\f(a2,c)＝\f(\r(3),3)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,c＝\r(3)，))所以b2＝3－1＝2.所以双曲线方程为x2－eq\f(y2,2)＝1.6．已知抛物线y2＝2px的准线与双曲线x2－y2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．答案(1,0)解析双曲线的左准线为x＝－1，抛物线的准线为x＝－eq\f(p,2)，所以eq\f(p,2)＝1，所以p＝2.故抛物线的焦点坐标为(1,0)．7．已知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，一条准线方程为y＝eq\f(9,5)，求该双曲线的标准方程．解由已知可设双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．由题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)＝\f(9,5)，,\f(a,b)＝\f(3,4)，,a2＋b2＝c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝16.))所以所求双曲线方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.二、能力提升8．已知点P在椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1上，F1、F2是椭圆的上、下焦点，M是PF1的中点，OM＝4，则点P到下准线的距离为________．答案eq\f(40,3)解析因为OM是△F1F2P的中位线，所以PF2＝2OM＝8.又e＝eq\f(3,5)，所以P到下准线的距离d＝eq\f(PF2,e)＝8×eq\f(5,3)＝eq\f(40,3).9．若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上横坐标为eq\f(3a,2)的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是________．答案(2，＋∞)解析由已知得(eq\f(3a,2)－eq\f(a2,c))e>eq\f(3a,2)＋eq\f(a2,c)，即3c2>5ac＋2a2，所以3e2－5e－2>0，解得e>2或e<－eq\f(1,3)(舍去)．10．在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为eq\r(2)，焦点到相应的准线的距离为1，则椭圆的离心率为________．答案eq\f(\r(2),2)解析设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则右焦点F(c,0)，右准线l：x＝eq\f(a2,c).把x＝c代入椭圆的方程得y2＝b2(1－eq\f(c2,a2))＝eq\f(b4,a2)，即y＝±eq\f(b2,a).依题设知eq\f(2b2,a)＝eq\r(2)且eq\f(a2,c)－c＝eq\f(b2,c)＝1，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(b2,a)·eq\f(c,b2)＝eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),2).11．已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解(1)椭圆的焦点为(eq\r(5)，0)，(－eq\r(5)，0)，它也是双曲线的焦点．设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．则由题设得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)－\f(4,b2)＝1，,a2＋b2＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝3，,b2＝2.))所以双曲线的标准方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1.(2)由(1)可知双曲线的右准线为x＝eq\f(a2,c)＝eq\f(3\r(5),5).它也是抛物线的准线，所以eq\f(p,2)＝eq\f(3\r(5),5)，故抛物线的标准方程为y2＝－eq\f(12\r(5),5)x.12．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e＝eq\f(\r(2),2)，点F2到右准线l的距离为eq\r(2).(1)求a、b的值；(2)设M、N是l上的两个动点，eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2N,\s\up6(→))＝0，证明：当|eq\o(MN,\s\up6(→))|取最小值时，eq\o(F2F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2M,\s\up6(→))＋eq\o(F2N,\s\up6(→))＝0.(1)解因为e＝eq\f(c,a)，F2到l的距离d＝eq\f(a2,c)－c，所以由题设得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,\f(a2,c)－c＝\r(2)，))解得c＝eq\r(2)，a＝2.由b2＝a2－c2＝2，得b＝eq\r(2).故a＝2，b＝eq\r(2).(2)证明由c＝eq\r(2)，a＝2得F1(－eq\r(2)，0)，F2(eq\r(2)，0)，l的方程为x＝2eq\r(2)，故可设M(2eq\r(2)，y1)，N(2eq\r(2)，y2)．由eq\o(F1M,\s\up6(→))·eq\o(F2N,\s\up6(→))＝0知(2eq\r(2)＋eq\r(2)，y1)·(2eq\r(2)－eq\r(2)，y2)＝0，得y1y2＝－6，所以y1y2≠0，y2＝－eq\f(6,y1).|eq\o