第三课时、函数的单调性和最大小值

------函数的单调性书写单调区间时，注意区间端点的写法。对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点。但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点。单调区间之间必须用“，”隔开，或者用“和”连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，“且”连接。例2.指出下列函数的单调区间：

解：无单调减区间

无单调增区间归纳：函数的单调性k>0k<0yox22o4yx归纳：函数的单调性_______;_______.例2.指出下列函数的单调区间：xyy=-x2+21-1122-1-2-2O思考2：函数的单调区间呢？

思考1：函数的单调区间呢？解：的对称轴为练习：判断函数的单调区间。xy21o单调递增区间：单调递减区间：成果运用若二次函数

在区间

上单调递增，求a的取值范围。

oxy1xy1o解：二次函数的对称轴为,由图象可知只要，即即可.

若二次函数的单调增区间是,则a的取值情况是（）

变式1变式2请你说出一个单调减区间是的二次函数变式3请你说出一个在上单调递减的函数A.B.C.D.

讨论函数在(-2,2)内的单调性.变式4解：f(x)的开头方向向上，对称轴是x=a，（1）当a≤-2时，f(x)在(-2,2)单调递增；（2）当-2<a<2时，f(x)在(-2,2)没有单调性，但是f(x)在（-2,a）单调递减，在(a,2)单调递增；（3）当a>2时，f(x)在(-2,2)单调递减。变式5讨论函数f(x)=x2-2x+3在区间(a,a+3)上的单调性。例3.指出下列函数的单调区间：xyO思考1：思考2：函数的单调区间是什么？

的单调增区间是

归纳：在和上的单调性？_____________,解：没有单调增区间的单调区间，，证明：函数f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=由于x1,x2得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0所以f(x1)-f(x2)>0,

即f(x1)>f(x2)因此f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。取值定号变形作差下结论3．证明函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

例4、物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则由V1，V2∈

(0，+∞)得V1V2>0,由V1<V2，得V2-V1>0又k>0,于是

所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号变形作差结论☞判断函数在区间(0,1)上的单调性.解:设则f(x1)－f(x2)∵0＜x1＜x2＜1,∴1+x1x2＞0,x2－x1＞0,∴

f(x1)－f(x2)＞0.即f(x1)＞f(x2).故此函数在(0,1)上是减函数.例：已知函数f(x)是定义在（-∞，+∞）上的单调增函数，解不等式f(2x)<f(1+x)

例：已知函数f(x)是定义在（-1，1）上的单调增函数，解不等式f(2x)<f(1+x)

1.已知函数f(x)是定义在[-1,2)上的增函数，若f(a-1)>f(1-3a)，求实数a的取值范围。

是定义在R上的单调函数，且的图象过点A（0，2）和B（3，0）（1）解不等式（2）求适合的的取值范围三、归纳小结1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论2.直接利用初等函数的单调区间。------函数的最大（小）值下列两个函数的图象：图1ox0xMyyxox0图2M观察观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？思考设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？思考f(x)≤Mƒ(0)=1O122、存在0，使得ƒ(0)=1.1、对任意的都有ƒ(x)≤1.1是此函数的最大值知识要点M是函数y=f(x)的最大值（maximumvalue）：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在，使得.一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足：（1）对于任意的的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在 ，使得，那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimunvalue）.能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？思考2.函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

注意：1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；3.最大值和最小值统称为最值。探究:函数单调性与函数的最值的关系（1）若函数y=f(x)在区间[m，n](m<n)上单调递增，则函数y=f(x)的最值是什么？Oxy当x=m时，f(x)有最小值f(m)，当x=n时,f(x)有最大值f(n).(2)若函数y=f(x)在区间[m，n]上单调递减，则函数y=f(x)的最值是什么？Oxy当x=m时，f(x)有最大值f(m)，当x=n时，f(x)有最小值f(n).(3)若函数则函数y=f(x)在区间[m,n]上的最值是什么？Oxy最大值f(l)=h，有最小值f(m),f(n)中较小者.例3

“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果在距地面高度hm与时间ts之间的关系为:h(t)=-4.9t2+14.7t+18

，那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.

由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:

于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29m.例3

求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．

解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是所以，函数是区间[2,6]上的减函数.

因此,函数在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4.（二）判断函数的最大(小)值的方法

1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值

2.利用图象求函数的最大(小)值

3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b)

；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

例3写出函数的单调区间，并求出最值。例4已知二次函数（1）当