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文档简介

广东省梅州市宁塘中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知数列的前n项和为且成等比数列,成等差数列,则等于A.

B.

C.

D.参考答案:B依题意,得因为,所以,即,故数列等差数列;又由,,可得.所以数列等差数列是首项为2,公差为1的等差数列.所以即,故,故,,故,答案为B.2.函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.参考答案:D分析:先研究函数的奇偶性,再研究函数在上的符号,即可判断选择.详解:令,因为,所以为奇函数,排除选项A,B;因为时,,所以排除选项C,选D.点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复.3.已知向量,,则(

)A. B.

C.

D.参考答案:B4.一定是(

)A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.钝角三角形参考答案:B略5.已知三个命题:①关于的方程无实数根;②关于的不等式对于任意的恒成立;③函数在上单调递减.如果上述三个命题中两真一假,那么实数的取值范围是(

).

w.参考答案:D6.已知,若的充分条件,则实数取值范围是(

)A. B. C. D.参考答案:D略7.已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,3,4},B={2,3},则A(B)为

(A){3}

(B){0,2}

(C)

(D){1,4}参考答案:D略8.等差数列中,,则(

)A.

B.

C.5

D.参考答案:D9.已知向量=(3,1),=(﹣1,3),=m﹣n(m>0,n>0),若m+n∈[1,2],则的取值范围是()A. [,2]

B.[,2] C.[,]

D.[,2]参考答案:B【考点】简单线性规划;简单线性规划的应用;平面向量数量积的运算.【分析】根据题意,由向量的坐标运算公式可得=(3m+n,m﹣3n),再由向量模的计算公式可得=,可以令t=,将m+n∈[1,2]的关系在直角坐标系表示出来,分析可得t=表示区域中任意一点与原点(0,0)的距离,进而可得t的取值范围,又由=t,分析可得答案.【解答】解:根据题意,向量,,=(3m+n,m﹣3n),则==,令t=,则=t,而m+n∈[1,2],即1≤m+n≤2,在直角坐标系表示如图,t=表示区域中任意一点与原点(0,0)的距离,分析可得:≤t<2,又由=t,故≤<2;故选:B.10.函数的大致图象是(

)

参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程的解

.参考答案:12.规定满足“f(﹣x)=﹣f(x)”的分段函数叫“对偶函数”,已知函数f(x)=是对偶函数,则(1)g(x)=﹣x2+4x.(2)若f[﹣]>0对于任意的n∈N°都成立,则m的取值范围是.参考答案:m<5考点:函数奇偶性的性质.专题:新定义.分析:(1)先设设x<0,则﹣x>0,代入解析式求出f(﹣x),再由题意f(﹣x)=﹣f(x),求出g(x);(2)由(1)求出的解析式,分别求出函数值的范围,进而把条件转化为对于任意的n∈N°恒成立问题,即对于任意的n∈N°恒成立问题,分离常数m并把和式展开,利用裂项相消法进行化简,再求出此式子的最小值即可.解答:解:(1)由题意设x<0,则﹣x>0,∴f(﹣x)=x2﹣4x,∵f(﹣x)=﹣f(x),∴g(x)=﹣f(﹣x)=﹣x2+4x,(2)由(1)得,,∴当x<0时,f(x)=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4<0,当x≥0时,f(x)=x2+4x=(x+2)2﹣4≥0,∵对于任意的n∈N°恒成立,∴条件转化为对于任意的n∈N°恒成立,即m<10×=10()对于任意的n∈N°成恒立,令y=10(),即求y的最小值,则y=10×[(1)+()+…+(﹣)]=10(1﹣),∵1﹣≥1﹣=,∴y的最小值为5.综上可得,m<5.故答案为:﹣x2+4x;m<5.点评:本题以一个新定义为背景考查了恒成立问题,求和符号的展开,分离常数法和裂项相消法求和等,难度较大,考查了分析问题和解决问题的能力.13.已知圆心在x轴上,半径为的圆位于y轴右侧,且截直线x+2y=0所得弦的长为2,则圆的方程为

.参考答案:(x﹣2)2+y2=5

【考点】圆的标准方程.【分析】根据题意,设圆的圆心的坐标为(a,0),则圆的方程为(x﹣a)2+y2=5,(a>0),由点到直线的距离公式计算可得圆心到直线x+2y=0的距离,由此可得1+(a)2=5,解可得a的值,将a的值代入圆的方程可得答案.【解答】解:根据题意,设圆的圆心坐标为(a,0),则其标准方程为(x﹣a)2+y2=5,(a>0),则圆心到直线x+2y=0的距离d==a,又由该圆截直线x+2y=0所得弦的长为2,则有1+(a)2=5,解可得a=±2,又由a>0,则a=2,故要求圆的方程为(x﹣2)2+y2=5,故答案为:(x﹣2)2+y2=5.14.已知幂函数的图像不过坐标原点,则的值是___

.参考答案:1或2

略15.若等比数列{an}的公比为2,且a3﹣a1=6,则++…+=

.参考答案:1﹣【考点】数列的求和.【分析】等比数列{an}的公比为2,且a3﹣a1=6,可得a1(22﹣1)=6,解得a1.可得an=2n.再利用等比数列的求和公式即可得出.【解答】解:等比数列{an}的公比为2,且a3﹣a1=6,∴a1(22﹣1)=6,解得a1=2.∴an=2n.则++…+=+…+==1﹣.故答案为:1﹣.16.集合A={1,2,3,4},B={x|(x﹣1)(x﹣5)<0},则A∩B=.参考答案:{2,3,4}【考点】1E:交集及其运算.【分析】解关于B的不等式,求出A、B的交集即可.【解答】解:A={1,2,3,4},B={x|(x﹣1)(x﹣5)<0}={x|1<x<5},则A∩B={2,3,4};故答案为:{2,3,4}.17.已知向量=(1,2),=(λ,﹣1),若⊥,则|+|=.参考答案:【考点】平面向量的坐标运算.【分析】由⊥,求出=(2,﹣1),再由不、平面向量坐标运算公式求出=(3,1),由此能求出||.【解答】解:∵向量=(1,2),=(λ,﹣1),⊥,∴?=λ﹣2=0,解得λ=2.∴=(2,﹣1),=(3,1),∴||==.故答案为:.【点评】本题考查向量的模的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量垂直的性质和平面向量坐标运算公式的合理运用.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)图1是某斜拉式大桥图片,为了了解桥的一些结构情况,学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化,取其部分可抽象成图2所示的模型,其中桥塔、与桥面垂直,通过测量得知,,当为中点时,.(1)求的长;(2)试问在线段的何处时,达到最大.图1参考答案:(1)设,,,则,,由题意得,,解得.………6分(2)设,则,,,………8分,,即为锐角,令19.已知函数f(x)=sin2x﹣sin2(x﹣),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[﹣,]上的最大值和最小值.参考答案:【考点】复合三角函数的单调性;三角函数的周期性及其求法.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】(1)利用二倍角的余弦降幂化积,则函数的最小正周期可求;(2)由x的范围求得相位的范围,进一步求得函数的最值.【解答】解:(1)∵f(x)=sin2x﹣sin2(x﹣)=====.∴f(x)的最小正周期T=;(2)∵x∈[﹣,],∴2x∈[],则2x﹣∈[],∴[].故f(x)在区间[﹣,]上的最大值和最小值分别为.【点评】本题考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质,考查三角函数值域的求法,运用辅助角公式化简是解答该题的关键,是基础题.20.已知椭圆的离心率为,且过点.(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC、BD过原点O,若,

(i)求的最值.(ii)求四边形ABCD的面积;参考答案:解:(1)由题意,,又,…………2分解得,椭圆的标准方程为.………4分(2)设直线AB的方程为,设联立,得

----------①

………6分

=

……8分(i)

当k=0(此时满足①式),即直线AB平行于x轴时,的最小值为-2.又直线AB的斜率不存在时,所以的最大值为2.……………10分(ii)设原点到直线AB的距离为d,则.

即,四边形ABCD的面积为…………12分

略21.某校为了解2015届高三毕业班准备考飞行员学生的身体素质,对他们的体重进行了测量,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1:2:4,其中第二小组的频数为11.(Ⅰ)求该校报考飞行员的总人数;(Ⅱ)若经该学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人,设X表示体重超过60kg的学生人数,求X的数学期望与方差.参考答案:【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列.【专题】概率与统计.【分析】(Ⅰ)设该校报考飞行员的总人数为n,前三个小组的频率为p1,p2,p3,由已知求出,由此能求出n.(Ⅱ)一个报考学生的体重超过60公斤的概率为:p=,由题意知X服从二项分布,即:X~B(3,),能求出EX和DX.【解答】(本小题满分12分)解:(Ⅰ)设该校报考飞行员的总人数为n,前三个小组的频率为p1,p2,p3,则,解得,,,…由于,故n=55.…(Ⅱ)由(Ⅰ)知,一

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