《圆锥曲线》答案版

65-《圆锥曲线》三、解答题1.如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线上的射影依次为点D、E。（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；（2）（理）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。（文）若为x轴上一点,求证:解：（1）易知（2）先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交于FK中点N,且猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点证明：设，当m变化时首先AE过定点N∴KAN=KEN∴A、N、E三点共线同理可得B、N、D三点共线∴AE与BD相交于定点(文)解：（1）易知（2）(文)设∴KAN=KEN∴A、N、E三点共线2.如图所示，已知圆定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足的取值范围。解：（1）∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|又∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆且椭圆长轴长为∴曲线E的方程为（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得由设又整理得又又当直线GH斜率不存在，方程为即所求的取值范围是APQFOxy3.设椭圆C：APQFOxy⑴求椭圆C的离心率；⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程.解：⑴设Q（x0，0），由F（-c，0）（0，b）知设，得因为点P在椭圆上，所以整理得2b2=3ac，即2(a2－c2)=3ac，,故椭圆的离心率⑵由⑴知，于是F（－a，0），Q△AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a所以，解得a=2，∴c=1，b=，所求椭圆方程为4.设椭圆的离心率为e=（1）椭圆的左、右焦点分别为F1、F2、A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.（2）求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M（2，）处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，而且OQ1⊥OQ2．（1）椭圆的方程为（2）解:过圆上的一点M（2,）处的切线方程为2x+y－6=0. 令，,则 化为5x2－24x+36－2b2=0,由⊿>0得： 由知，,即b=3∈（,+∞），故b=35.已知曲线上任意一点P到两个定点F1(-，0)和F2(，0)的距离之和为4．（1）求曲线的方程；（2）设过(0，-2)的直线与曲线交于C、D两点，且为坐标原点），求直线的方程．解：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，其中，，则．所以动点M的轨迹方程为．（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，∵，∴．∵，，∴．∴．…①由方程组得．则，，代入①，得．即，解得，或．所以，直线的方程是或．6.已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．（Ⅰ）当m＋n>0时，求椭圆离心率的范围；（Ⅱ）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．解：（Ⅰ）设F、B、C的坐标分别为（－c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂线分别为，．联立方程组，解出，即，即（1＋b）（b－c）>0，∴b>c．从而即有，∴．又，∴．（Ⅱ）直线AB与⊙P不能相切．由，＝．如果直线AB与⊙P相切，则·＝－1．解出c＝0或2，与0＜c＜1矛盾，所以直线AB与⊙P不能相切．7.有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B.（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积【解】（1）设M∵点M在MA上∴①同理可得②由①②知AB的方程为易知右焦点F（）满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（）（2）把AB的方程∴又M到AB的距离∴△ABM的面积8.已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程； （Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．【解】（Ⅰ）点A代入圆C方程，得．∵m＜3，∴m＝1．圆C：．设直线PF1的斜率为k，则PF1：，即．∵直线PF1与圆C相切，∴．解得．当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）．2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2．椭圆E的方程为：．（Ⅱ），设Q（x，y），，．∵，即，而，∴－18≤6xy≤18．则的取值范围是[0，36]．的取值范围是[－6，6]．∴的取值范围是[－12，0]．9.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点与点的距离为。（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率的直线：，使直线与椭圆相交于不同的两点满足，若存在，求直线的倾斜角；若不存在，说明理由。【解】（1）依题意，设椭圆方程为，则其右焦点坐标为 ，由，得，即，解得。又∵，∴，即椭圆方程为。（2）由知点在线段的垂直平分线上，由消去得即（*）由，得方程（*）的，即方程（*）有两个不相等的实数根。设、，线段的中点，则，，，即，∴直线的斜率为，由，得，∴，解得：，即，又，故，或，∴存在直线满足题意，其倾斜角，或。10.椭圆方程为的一个顶点为，离心率。（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆相交于不同的两点满足，求。【解】（1）设，依题意得即 ∴，即椭圆方程为。（2）∴，且点线段的中点，由消去得即（*）由，得方程（*）的，显然方程（*）有两个不相等的实数根。设、，线段的中点，则，∴，即，∴直线的斜率为，由，得，∴，解得：，11.已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．(1)若椭圆的离心率，求的方程；（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．【解】（1）当时，∵，∴，∴，，点,，设的方程为由过点F,B,C得∴①②③由①②③联立解得，，∴所求的的方程为（2）∵过点F,B,C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为④∵BC的中点为，∴BC的垂直平分线方程为⑤由④⑤得，即∵P在直线上，∴∵∴由得∴椭圆的方程为12.已知直线与曲线交于不同的两点，为坐标原点．（Ⅰ）若，求证：曲线是一个圆；（Ⅱ）若，当且时，求曲线的离心率的取值范围．【解】（Ⅰ）证明：设直线与曲线的交点为∴即：∴在上∴，∴两式相减得：∴即：∴曲线是一个圆（Ⅱ）设直线与曲线的交点为，∴曲线是焦点在轴上的椭圆∴即：将代入整理得：∴，在上∴又∴∴2∴∴∴∴∴∴∴13.设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较y轴于点M，若，求直线l的方程．【解】（1）由题设知由于，则有，所以点A的坐标为，故所在直线方程为，所以坐标原点O到直线的距离为，又，所以，解得，所求椭圆的方程为．（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，则有，设，由于，∴，解得又Q在椭圆C上，得，解得，故直线l的方程为或，即或．14.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点的切线方程为为常数）.（I）求抛物线方程；（II）斜率为的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足，求证线段PM的中点在y轴上；（III）在（II）的条件下，当时，若P的坐标为（1，－1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.【解】（I）由题意可设抛物线的方程为, ∵过点的切线方程为, ∴抛物线的方程为（II）直线PA的方程为, 同理,可得. 又 ∴线段PM的中点在y轴上.（III）由 ∵∠PAB为钝角，且P,A,B不共线, 即 又∵点A的纵坐标 ∴当时，； 当 ∴∠PAB为钝角时点A的坐标的取值范围为15.已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且设点P的轨迹方程为c。（1）求点P的轨迹方程C；（2）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点（M、N不在坐标轴上），点Q坐标为求△QMN的面积S的最大值。【解】（1）设（2）t=2时，16.设上的两点，已知，，若且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由解：（Ⅰ）椭圆的方程为（Ⅱ）由题意，设AB的方程为由已知得：(Ⅲ)（1）当直线AB斜率不存在时，即,由得又在椭圆上，所以所以三角形的面积为定值（2）.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b所以三角形的面积为定值.17.如图，F是椭圆(a>b>0)的一个焦点，A,B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l1：相切．（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）过点A的直线l2与圆M交于PQ两点，且，求直线l2的方程．【解】(1)F(-c，0)，B(0,)，∵kBF=，kBC=-，C(3c，0)且圆M的方程为(x-c)2+y2=4c2，圆M与直线l1：x+u+3=0相切，∴，解得c=1，∴所求的椭圆方程为(2)点A的坐标为(-2，0)，圆M的方程为(x-1)2+y2=4，过点A斜率不存在的直线与圆不相交，设直线l2的方程为y=k(x+2)，∵，又，∴cos<MP，MQ>=∴∠PMQ=120°，圆心M到直线l2的距离d=，所以，∴k=所求直线的方程为x×2+2=0．18.如图，椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.【解】（1）如图建系，设椭圆方程为,则又∵即∴故椭圆方程为（2）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则设，∵，故，于是设直线为，由得∵又得即由韦达定理得解得或（舍）经检验符合条件ABMOyx19.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点.直线交椭圆于两不同的点.ABMOyx【解】20.设，点在轴上，点在轴上，且（1）当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；（2）设是曲线上的点，且成等差数列，当的垂直平分线与轴交于点时，求点坐标.【解】（1）设，则由得为中点，所以又得，，所以（）（2）由（1）知为曲线的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点到的距离等于其到准线的距离，即，所以，根据成等差数列，得，直线的斜率为，所以中垂线方程为，又中点在直线上，代入上式得，即，所以点.21.已知点是平面上一动点，且满足（1）求点的轨迹对应的方程；（2）已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，判断：直线是否过定点？试证明你的结论.【解】（1）设（5分）（6分）（9分）（11分）（13分））(15分)22.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．（1）求椭圆的方程：（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．【解】（1）设椭圆方程为将、、代入椭圆E的方程，得解得.∴椭圆的方程 （2），设边上的高为 当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为． 设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6．所以， 所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为 （3）法一：将直线代入椭圆的方程并整理．得．设直线与椭圆的交点，由根系数的关系，得．直线的方程为：，它与直线的交点坐标为同理可求得直线与直线的交点坐标为．下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：，因此结论成立．综上可知．直线与直线的交点住直线上． （16分）法二：直线的方程为：由直线的方程为：，即由直线与直线的方程消去，得 ∴直线与直线的交点在直线上．23.过直角坐标平面中的抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点。（1）用表示A，B之间的距离；（2）证明：的大小是与无关的定值，并求出这个值。解：（1）焦点，过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程是由（或)（2）∴的大小是与无关的定值，24.设分别是椭圆C：的左右焦点(1)设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程(3)设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为

试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。[解]：（1）由于点在椭圆上，2=4,椭圆C的方程为焦点坐标分别为（-1，0），（1，0）（2）设的中点为B（x,y）则点把K的坐标代入椭圆中得线段的中点B的轨迹方程为（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称设，得==故：的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，25.已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.（I）求椭圆的方程；（II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；（III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.解：（Ⅰ）∵∵直线相切，∴∴∵椭圆C1的方程是（Ⅱ）∵MP=MF2，∴动点M到定直线的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线∴点M的轨迹C2的方程为（Ⅲ）Q（0，0），设∴∵∴∵，化简得∴∴当且仅当时等号成立∵∴当的取值范围是26.如图所示，已知椭圆：，、为APQF1MNyOx其左、右焦点，为右顶点，为左准线，过的直线APQF1MNyOx两点，且有：（为椭圆的半焦距）（1）求椭圆的离心率的最小值；（2）若，求实数的取值范围；（3）若,，求证：、两点的纵坐标之积为定值；解（1）设直线与椭圆相交于，，因为；故，，由得：①；将代入得：；由题意得：代入①中，并化简得：因此，，；即椭圆的离心率的最小值为；（2）由得：；APQF1MNAPQF1MNyOx因为，故，所以的取值范围：（3）的方程为；因为；故，同理：；所以（为定值）27.已知椭圆的左焦点为，左右顶点分别为，上顶点为，过三点作圆，其中圆心的坐标为（1）当＞时，椭圆的离心率的取值范围（2）直线能否和圆相切？证明你的结论解（1）由题意的中垂线方程分别为，于是圆心坐标为=＞，即＞即＞所以＞，于是＞即＞，所以＜即＜＜（2）假设相切，则，，这与＜＜矛盾.故直线不能与圆相切.28.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.第22题（I）证明:为定值;第22题（II）若△POM的面积为，求向量与的夹角；(Ⅲ)证明直线PQ恒过一个定点.解：（I）设点、M、A三点共线， (II)设∠POM=α，则 由此可得tanα=1. 又(Ⅲ)设点、B、Q三点共线， 即 即 由（*）式，代入上式，得 由此可知直线PQ过定点E（1，－4）.29.已知椭圆C：上动点到定点,其中的距离的最小值为1.（1）请确定M点的坐标（2）试问是否存在经过M点的直线,使与椭圆C的两个交点A、B满足条件（O为原点）,若存在,求出的方程,若不存在请说是理由。解析：设，由得故由于且故当时，的最小值为此时，当时，取得最小值为解得不合题意舍去。综上所知当是满足题意此时M的坐标为（1，0）。（2）由题意知条件等价于，当的斜率不存在时，与C的交点为，此时，设的方程为，代入椭圆方程整理得，由于点M在椭圆内部故恒成立，由知即，据韦达定理得，代入上式得得不合题意。综上知这样的直线不存在。30.已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；（Ⅱ）在轴上是否存在点，使的值与无关？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，将代入，消去整理得设则由线段中点的横坐标是，得，解得，适合.注意到是与无关的常数，从而有，此时综上，在轴上存在定点，使为常数.31.直线AB过抛物线的焦点F，并与其相交于A、B两点。Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点．O是坐标原点．(I)求的取值范围；(Ⅱ)过A、B两点分剐作此撒物线的切线，两切线相交于N点．求证：∥;(Ⅲ)若P是不为1的正整数，当，△ABN的面积的取值范围为时，求该抛物线的方程．解:(Ⅰ)由条件得，设直线AB的方程为则∴由韦达定理得从而有∴（Ⅱ）抛物线方程可化为∴切线NA的方程为：切线NB的方程为：从而可知N点、Q点的横坐标相同但纵坐标不同。∥又由（Ⅰ）知而又（Ⅲ）由由于从而又而而p＞0,∴1≤p≤2又p是不为1的正整数 ∴p=2故抛物线的方程：32.如图，设抛物线（）的准线与轴交于，焦点为；以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为.（Ⅰ）当时，求椭圆的方程及其右准线的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线经过椭圆的右焦点，与抛物线交于、，如果以线段为直径作圆，试判断点与圆的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）是否存在实数，使得的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由．【解】∵的右焦点∴椭圆的半焦距，又，∴椭圆的长半轴的长，短半轴的长.椭圆方程为.（Ⅰ）当时，故椭圆方程为，右准线方程为：.（Ⅱ）依题意设直线的方程为：，联立得点的坐标为.将代入得.设、，由韦达定理得，.又，.∵，于是的值可能小于零，等于零，大于零。即点可在圆内，圆上或圆外.（Ⅲ）假设存在满足条件的实数，由解得：.∴，，又.即的边长分别是、、.∴时，能使的边长是连续的自然数。33.已知点和动点满足：,且存在正常数，使得。（1）求动点P的轨迹C的方程。（2）设直线与曲线C相交于两点E，F，且与y轴的交点为D。若求的值。解：（1）在△PAB中，|AB|2=|PA|2+|PB|2－2|PA|·|PB|·cos2θ∴4=（|PA|+|PB|）2－2|PA|·|PB|（1+cos2θ）=（|PA|+|PB|）2－4m，∴（|PA|+|PB|=2），即点P的轨迹为椭圆，点P的轨迹C的方程为．（2）由（2m+1）x2+2（m+1）x+1－m2=0设E（x1，y1），F（x2，y2），D（0，1）则x1+x2=…………①x1·x2=…………②又，∴（x1，y1－1）=（2+）（x2，y2－1）∴x1=（2+）x2…………③将③代入①②得m=或m=－∵m＞0∴m=．34.已知椭圆的右准线与轴相交于点，右焦点到上顶点的距离为，点是线段上的一个动点.（I）求椭圆的方程;(Ⅱ)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点,使得,并说明理由.解：(1)由题意可知，又，解得，椭圆的方程为；（2）由（1）得，所以.假设存在满足题意的直线，设的方程为，代入，得，设，则①，，而的方向向量为,;当时,,即存在这样的直线;当时,不存在,即不存在这样的直线.35.已知椭圆C：(.（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为，求椭圆的标准方程；（2）在（1）的条件下，设过定点的直线与椭圆C交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率k的取值范围;（3）如图，过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆()相交于四点，设原点到四边形一边的距离为，试求时满足的条件.解：（1）（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：由得.,（1）又由∴所以（2）由（1）（2）得。（3）由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等。当P在y轴上，Q在x轴上时，直线PQ的方程为，由d=1得，当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，，则直线RQ的斜率为，由，得(1)，同理(2)在Rt△OPQ中，由，即所以，化简得，，即。综上，d=1时a,b满足条件36.已知若过定点、以()为法向量的直线与过点以为法向量的直线相交于动点．(1)求直线和的方程;(2)求直线和的斜率之积的值，并证明必存在两个定点使得恒为定值；(3)在（2）的条件下，若是上的两个动点，且，试问当取最小值时，向量与是否平行，并说明理由。【解】（1）直线的法向量，的方程：，即为；…（2分）直线的法向量，的方程：，即为。（4分）（2）。（6分）设点的坐标为，由，得。（8分）由椭圆的定义的知存在两个定点，使得恒为定值4。此时两个定点为椭圆的两个焦点。（10分）（3）设，，则，，由，得。（12分）；当且仅当或时，取最小值。（14分），故与平行。（16分）37.已知点,点(其中)，直线、都是圆的切线．（Ⅰ）若面积等于6，求过点的抛物线的方程；（Ⅱ）若点在轴右边，求面积的最小值．解：(1)设，由已知，，设直线PB与圆M切于点A，又，(2)点B（0，t），点， 进一步可得两条切线方程为：，，，，， ，又时，，面积的最小值为38.我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。（1）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，试求d1·d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。（2）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线（m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，试求d1·d2的值。（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）。解：（1）；联立方程；与椭圆M相交。（2）联立方程组消去（3）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与椭圆相交的充要条件为：；直线L与椭圆M相切的充要条件为：；直线L与椭圆M相离的充要条件为：证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交命题得证。（4）可以类比到双曲线：设F1、F2是双曲线的两个焦点，点F1、F2到直线距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为：；直线L与双曲线M相切的充要条件为：；直线L与双曲线M相离的充要条件为：39.已知点为抛物线的焦点，点是准线上的动点，直线交抛物线于两点，若点的纵坐标为，点为准线与轴的交点．（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求的面积范围；（Ⅲ）设，，求证为定值．解：（Ⅰ）由题知点的坐标分别为，，于是直线的斜率为，所以直线的方程为，即为．（Ⅱ）设两点的坐标分别为，由得，所以，．于是．点到直线的距离，所以.因为且，于是，所以的面积范围是．（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得，，于是，（）.所以．所以为定值．40.已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.（I）求椭圆的方程；（II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；（III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.解：（Ⅰ）∵∵直线相切，∴∴∵椭圆C1的方程是（Ⅱ）∵MP=MF2，∴动点M到定直线的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线∴点M的轨迹C2的方程为（Ⅲ）Q（0，0），设∴∵∴∵，化简得∴∴当且仅当时等号成立∵∴当的取值范围是41.已知以向量为方向向量的直线过点，抛物线：的顶点关于直线的对称点在该抛物线的准线上．（1）求抛物线的方程；（2）设、是抛物线上的两个动点，过作平行于轴的直线，直线与直线交于点，若（为坐标原点，、异于点），试求点的轨迹方程。解：（1）由题意可得直线：①过原点垂直于的直线方程为②由①、②得∵抛物线的顶点（即原点）关于直线的对称点在该抛物线的准线上。∴，∴抛物线的方程为（2）设，，，由，得又，，解得③直线：，即④由③、④及，得点的轨迹方程为42.如图，设抛物线（）的准线与轴交于，焦点为；以、为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为.（Ⅰ）当时，求椭圆的方程及其右准线的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线经过椭圆的右焦点，与抛物线交于、，如果以线段为直径作圆，试判断点与圆的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）是否存在实数，使得的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由．解∵的右焦点∴椭圆的半焦距，又，∴椭圆的长半轴的长，短半轴的长.椭圆方程为.（Ⅰ）当时，故椭圆方程为，右准线方程为：.（Ⅱ）依题意设直线的方程为：，联立得点的坐标为.将代入得.设、，由韦达定理得，.又，.∵，于是的值可能小于零，等于零，大于零。即点可在圆内，圆上或圆外.…8′（Ⅲ）假设存在满足条件的实数，由解得：.∴，，又.即的边长分别是、、.∴时，能使的边长是连续的自然数43.设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率且过椭圆右焦点的直线与椭圆C交于两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)是否存在直线，使得.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦，MNAB，求证：为定值．解：椭圆的顶点为，即，，所以，椭圆的标准方程为（2）由题可知,直线与椭圆必相交.①当直线斜率不存在时，经检验不合题意。②设存在直线为，且，.由得，，，=所以，故直线的方程为或7分（3）设,由（2）可得：|MN|==由消去y，并整理得：，|AB|=，∴为定值44.设是抛物线的焦点，过点M(－1，0)且以为方向向量的直线顺次交抛物线于两点。（Ⅰ）当时，若与的夹角为，求抛物线的方程；（Ⅱ）若点满足，证明为定值，并求此时△的面积解：（1）当时，直线AB的方程为，代入抛物线方程得：，由且得设A，则故，F，，又，故抛物线方程为（2）直线AB的方程为，代入抛物线方程得，A是线段MB的中点，故即，代入得，，（定值）。则45.已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足.（Ⅰ）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；（Ⅱ）设、为轨迹上两点，且>1,>0,，求实数，使，且.解：（Ⅰ）设点，由得.由,得，即.又点在轴的正半轴上，∴.故点的轨迹的方程是.（Ⅱ）由题意可知为抛物线：的焦点，且、为过焦点的直线与抛物线的两个交点,所以直线的斜率不为.当直线斜率不存在时，得，不合题意；当直线斜率存在且不为时，设，代入得，则，解得.代入原方程得，由于，所以，由,得，∴.46.已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，P为C上任一点，MN是圆的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为的直线恰好与圆相切。（1）已知椭圆的离心率；（2）若的最大值为49，求椭圆C的方程.解：（1）由题意可知直线l的方程为，因为直线与圆相切，所以=1，既从而（2）设则当此时椭圆方程为当解得但故舍去。综上所述，椭圆的方程为圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦（不是直径）的直径垂直于弦.类比推广到有心圆锥曲线：47.已知直线与曲线：交于两点，的中点为，若直线和(为坐标原点)的斜率都存在，则.这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.（Ⅰ）证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；（Ⅱ）利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：过点作直线与椭圆交于两点，求的中点的轨迹的方程；过点作直线与有心圆锥曲线交于两点，是否存在这样的直线使点为线段的中点？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）证明设相减得注意到有即（Ⅱ）①设由垂径定理，即化简得当与轴平行时，的坐标也满足方程.故所求的中点的轨迹的方程为；假设过点P(1,1)作直线与有心圆锥曲线交于两点，且P为的中点，则由于直线，即，代入曲线的方程得即由得.故当时，存在这样的直线，其直线方程为；当时，这样的直线不存在.48.椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率，过的直线与椭圆交于、两点，且，求面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程．解：设椭圆的方程为直线的方程为，，则椭圆方程可化为即，联立得（*）有而由已知有，代入得所以，当且仅当时取等号由得，将代入（*）式得所以面积的最大值为，取得最大值时椭圆的方程为49.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e=eq\f(\r(2),2)，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e,直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．（1）求椭圆方程；（2）若，求m的取值范围．解：（1）设C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴a＝1，b＝c＝eq\f(\r(2),2)，故C的方程为：y2＋eq\f(x2,\f(1,2))＝1（2）由eq\x\to(AP)＝λeq\x\to(PB)得eq\x\to(OP)－eq\x\to(OA)＝λ（eq\x\to(OB)－eq\x\to(OP)），（1＋λ）eq\x\to(OP)＝eq\x\to(OA)＋λeq\x\to(OB)，∴λ＋1＝4，λ＝3设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,2x2＋y2＝1))得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2x1＋x2＝eq\f(－2km,k2＋2)，x1x2＝eq\f(m2－1,k2＋2)∵eq\x\to(AP)＝3eq\x\to(PB)∴－x1＝3x2∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－2x2,x1x2＝－3x\o\al(2,2)))消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（eq\f(－2km,k2＋2)）2＋4eq\f(m2－1,k2＋2)＝0整理得4k2m2＋2m2m2＝eq\f(1,4)时，上式不成立；m2≠eq\f(1,4)时，k2＝eq\f(2－2m2,4m2－1)，因λ＝3∴k≠0∴k2＝eq\f(2－2m2,4m2－1)>0，∴－1<m<－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)<m<1容易验证k2>2m2－2成立，所以即所求m的取值范围为（－1，－eq\f(1,2)）∪（eq\f(1,2)，1）2009032750.已知点A是抛物线y2＝2px（p>0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交于点K，已知｜AK｜＝｜AF｜，三角形AFK的面积等于8．20090327（1）求p的值；（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1，l2，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为G，H.求｜GH｜的最小值．解：（Ⅰ）设，因为抛物线的焦点，则，，而点A在抛物线上，.又故所求抛物线的方程为.6分（2）由，得，显然直线，的斜率都存在且都不为0.设的方程为，则的方程为.由得，同理可得.则=.（当且仅当时取等号）所以的最小值是8.51.已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足.（Ⅰ）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；（Ⅱ）设、为轨迹上两点，且>1,>0,，求实数，使，且.解：（Ⅰ）设点，由得.由,得，即.又点在轴的正半轴上，∴.故点的轨迹的方程是.（Ⅱ）由题意可知为抛物线：的焦点，且、为过焦点的直线与抛物线的两个交点,所以直线的斜率不为.当直线斜率不存在时，得，不合题意；当直线斜率存在且不为时，设，代入得，则，解得.代入原方程得，由于，所以，由,得，∴.52.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线L在y轴上的截距为m(m≠0)，L交椭圆于A、B两个不同点。（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。解：（1）设椭圆方程为,则.∴椭圆方程为（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m,又KOM=,，联立方程有，∵直线l与椭圆交于A．B两个不同点，（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可设，则由而故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.53.已知椭圆上的点到右焦点F的最小距离是，到上顶点的距离为，点是线段上的一个动点.（I）求椭圆的方程;(Ⅱ)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点,使得,并说明理由.解析：(1)由题意可知且，解得，椭圆的方程为；（2）由（1）得，所以.假设存在满足题意的直线，设的方程为，代入，得，设，则①，，而的方向向量为,;当时,,即存在这样的直线;当时,不存在,即不存在这样的直线54.已知椭圆的上、下焦点分别为，点为坐标平面内的动点，满足（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线的方程：（3）在直线上否存在点，过该点作曲线的两条切线，切点分别为，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，试说明理由。解：（1）因为为椭圆的上、下焦点，所以设。所以因为所以，整理可得所以所求动点的轨迹的方程为（2）（法一）设过点所作曲线的切线的斜率为，则切线方程为由可得：，所以或过点所作曲线的切线方程为和由和可分别解得：和所以直线的方程的方程为：（法二）设过点所作曲线的两切线的切点为，则记则，则两条切线的方程为即和即：因为两条切线均经过点，所以且所以直线的方程的方程为：（3）若存在，不妨设其坐标为，过点所作曲线的切线斜率为，则切线方程为，即由可得：因为直线和抛物线相切，所以设两条切线的斜率分别为，则因为所以所以两条切线垂直所以所以所以在直线上是存在点满足题意。55.已知抛物线的焦点为是抛物线上的两动点，且过两点分别作抛物线的切线，设其交点为（1）证明线段被轴平分（2）计算的值（3）求证解：（1）设由得直线的方程为：;直线的方程为：解方程组得由已知，三点共线，设直线的方程为：与抛物线方程联立消可得：所以点的纵坐标为-2，所以线段中点的纵坐标O即线段被轴平分。（2）=0而所以在直角中，由影射定理即得56.已知是椭圆的顶点（如图）,直线与椭圆交于异于顶点的两点,且．若椭圆的离心率是,且．（１）求此椭圆的方程；（２）设直线和直线的倾斜角分别为．试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．解：（１）由已知可得，所以椭圆方程为．（２）是定值．理由如下： 由（１），A2（2，0），B（0，1），且//A2B，所以直线的斜率． 设直线的方程为,， 即，且． ． 又因为， ＝ ． 又是定值．57.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．ABOMNQF过椭圆的右焦点F任做一与坐标轴不平行的直线与椭圆交于、两点，与所在的直线交于点Q.ABOMNQF（1）求椭圆的方程：（2）是否存在这样直线，使得点Q恒在直线上移动？若存在,求出直线方程,若不存在,请说明理由.解析：（1）设椭圆方程为将、、代入椭圆E的方程，得解得.∴椭圆的方程（也可设标准方程，知类似计分）可知：将直线代入椭圆的方程并整理．得设直线与椭圆的交点，由根系数的关系，得直线的方程为：由直线的方程为：，即由直线与直线的方程消去，得∴直线与直线的交点在直线上．故这样的直线存在58.已知方向向量为的直线过点和椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为．（I）求椭圆的方程；（II）若已知点，点是椭圆上不重合的两点，且，求实数的取值范围．（1）∵直线的方向向量为∴直线的斜率为，又∵直线过点∴直线的方程为∵，∴椭圆的焦点为直线与轴的交点∴椭圆的焦点为∴，又∵∴，∴∴椭圆方程为（2）设直线MN的方程为由，得设坐标分别为则(1)(2)＞0∴,∵，显然，且∴∴代入(1)(2)，得∵,得，即解得且.59.已知F1,F2是椭圆C:（a>b>0）的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足。（1）求椭圆C的方程。（2）椭圆C上任一动点M关于直线y=2x的对称点为M1（x1,y1）,求3x1-4y1的取值范围。解：（1）由已知，点P在椭圆上∴有①又，M在y轴上，∴M为P、F2的中点，∴.∴由，②解①②,解得（舍去），∴故所求椭圆C的方程为。（2）∵点关于直线的对称点为，∴解得∴∵点P在椭圆C:上，∴∴。即的取值范围为［－10，10］。60.已知均在椭圆上，直线、分别过椭圆的左右焦点、，当时，有.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值.解:(Ⅰ)因为，所以有所以为直角三角形；则有所以，又，在中有即，解得所求椭圆方程为(Ⅱ)从而将求的最大值转化为求的最大值是椭圆上的任一点，设，则有即又，所以而,所以当时，取最大值故的最大值为61.已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为。（I）求椭圆及双曲线的方程；（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为，在第二象限内取双曲线上一点，连结交椭圆于点，连结并延长交椭圆于点，若。求四边形的面积。解：（I）设椭圆方程为则根据题意，双曲线的方程为且满足解方程组得椭圆的方程为，双曲线的方程（Ⅱ）由（I）得设则由得为的中点，所以点坐标为，将坐标代入椭圆和双曲线方程，得消去，得解之得或（舍）所以，由此可得所以当为时，直线的方程是即，代入，得所以或-5（舍）所以轴。所以62.已知椭圆C，过点M(0,3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B.（Ⅰ）若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点,且(O为坐标原点).求当时，实数的取值范围.（Ⅰ）解：设A(x1,y1)，因为A为MN的中点，且M的纵坐标为3，N的纵坐标为0，所以，又因为点A(x1,y1)在椭圆C上所以，即，解得，则点A的坐标为或，所以直线l的方程为或.（Ⅱ）解：设直线AB的方程为或，A(x1,y1)，B(x2,y2)，，当AB的方程为时，，与题意不符.当AB的方程为时：由题设可得A、B的坐标是方程组的解，消去y得，所以即，则因为，所以，解得，所以.因为，即，所以当时，由，得，上述方程无解，所以此时符合条件的直线不存在；当时，，因为点在椭圆上，所以，化简得，因为，所以，则.综上，实数的取值范围为.63.已知椭圆C，过点M(0,1)的直线l与椭圆C相交于两点A、B.（Ⅰ）若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）设点，求的最大值.（Ⅰ）解：设A(x1,y1)，因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，所以，解得，又因为点A(x1,y1)在椭圆C上，所以，即，解得，则点A的坐标为或，所以直线l的方程为，或.（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则所以，则当直线AB的斜率不存在时，其方程为，，此时；当直线AB的斜率存在时，设其方程为，由题设可得A、B的坐标是方程组的解，消去y得所以，则，所以，当时，等号成立,即此时取得最大值1.综上，当直线AB的方程为或时，有最大值1.64.已知分别为椭圆的左、右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线，垂足为，线段的垂直平分线交于点M。(Ⅰ)求动点M的轨迹的方程；(Ⅱ)过点作直线交曲线于两个不同的点P和Q，设eq\o(F1P,\s\up7(→))＝eq\o(F1Q,\s\up7(→))，若∈[2，3]，求eq\o(F2P,\s\up7(→))eq\o(F2Q,\s\up7(→))的取值范围。解：(Ⅰ)设M，则，由中垂线的性质知||=化简得的方程为（另：由知曲线是以x轴为对称轴，以为焦