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文档简介
高中数学竞赛资料
一、高中数学竞赛大纲
全国高中数学联赛
全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全
日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的
要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试
全国高中数学联赛加试(二试)与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面
有所扩展;适当增加一些教学大纲之外的内容,所增加的内容是:
1.平面几何
几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点:旁心、费马点,欧拉线。几何不等式。几何极值问
题。几何中的变换:对称、平移、旋转。圆的嘉和根轴。面积方法,复数方
法,向量方法,解析几何方法。
2.代数
周期函数,带绝对值的函数。三角公式,三角恒等式,三角方程,三角
不等式,反三角函数。递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递
归数列的通项公式。
第二数学归纳法。平均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫
不等式,一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根。多项
式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,
多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代,简单的函数方程*
3.初等数论
同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余类,二次剩余,不定方程和
方程组,高斯函数[x],费马小定理,格点及其性质,无穷递降法,欧拉定
理*,孙子定理*。
4.组合问题
圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式。组合计数,组合几何。
抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、
凸包及应用*。
注:有*号的内容加试中暂不考,但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲
1、数
整数及进位制表示法,整除性及其判定;素数和合数,最大公约数与最
小公倍数;奇数和偶数,奇偶性分析;带余除法和利用余数分类;完全平方
数;因数分解的表示法,约数个数的计算;有理数的概念及表示法,无理数,
实数,有理数和实数四则运算的封闭性。
2、代数式
综合除法、余式定理;因式分解;拆项、添项、配方、待定系数法;对
称式和轮换对称式;整式、分工、根式的恒等变形;恒等式的证明。
3、方程和不等式
含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法,一元二次方程根的
分布;含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法;含字母系数的一元
一次不等式的解法,一元二次不等式的解法;含绝对值的一元一次不等式;
简单的多元方程组;简单的不定方程(组)。
4、函数
二次函数在给定区间上的最值,简单分工函数的最值;含字母系数的二
次函数。
5、几何
三角形中的边角之间的不等关系;面积及等积变换;三角形中的边角之
间的不等关系;面积及等积变换;三角形的心(内心、外心、垂心、重心)
及其性质;相似形的概念和性质;圆,四点共圆,圆嘉定理;四种命题及其
关系。
6、逻辑推理问题
抽屉原理及其简单应用;简单的组合问题简单的逻辑推理问题,反证法;
极端原理的简单应用;枚举法及其简单应用。
三、高中数学竞赛基础知识
第一章集合与简易逻辑
一、基础知识
定义1一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,
简称集,用大写字母来表示;集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表
示,元素X在集合A中,称X属于A,记为xeA,否则称x不属于A,记作尤仁4。
例如,通常用N,Z,Q,B,Q'分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数
集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集,用。来表示。集合分有限
集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内
并用逗号隔开表示集合的方法,如{1,2,3};描述法:将集合中的元素的
属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数},何%>0}分别表示有理
数集和正实数集。
定义2子集:对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都
是集合B中的元素,则A叫做B的子集,记为A=例如N=Z。规定空
集是任何集合的子集,如果A是B的子集,B也是A的子集,则称A与B相
等。如果A是B的子集,而且B中存在元素不属于A,则A叫B的真子集。
定义3交集,=且xeB}.
定义4并集,AU3={#vwA或veB}.
定义5补集,若A=则。|4={小€/,且x纪A}称为A在I中的补集。
定义6差集,A\3=NxeA,且。
定义7集合{也<%<。,X6氏”。}记作开区间(4功),集合
{乂。<x<b,XER,a<b}记作闭区间[a,b],R记作(-oo,+oo).
定理1集合的性质:对任意集合A,B,C,有:
(1)An(Buc)=(AnB)u(Anc);(2)
AU(BnC)=(AUB)n(AUC);
(3)GAUGB=G(AfW⑷GAPIG3=G(AUB).
【证明】这里仅证(1)、(3),其余由读者自己完成。
(1)若XGACKBUC),则xeA,且xeB或xeC,所以xe(AnB)或
xe(An。,即xe(AnB)U(AnC);反之,xe(AC1B)LKAflC),则
了6(4("]8)或了6(4("]。),即xeA且或xeC,即xeA且XG(BUC),
即xeAfRBUC).
(3)若xeC|AUGB,则xeGA或xeG8,所以无任4或所
以了任0(18),又xe/,所以xeG(APl8),即GAUG8屋G(Afi8),
反之也有C(ACB)qGAUqA
定理2加法原理:做一件事有〃类办法,第一类办法中有如种不同的
方法,第二类办法中有啊种不同的方法,…,第〃类办法中有此种不同的
方法,那么完成这件事一共有N=m1+m2+…+叫,种不同的方法。
定理3乘法原理:做一件事分〃个步骤,第一步有町种不同的方法,
第二步有吗种不同的方法,…,第〃步有外种不同的方法,那么完成这件
事一共有N=n/]•恤叫,种不同的方法。
二、方法与例题
1.利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合。
例1-{c^a-x1-y2,x,yeZ},求证:
(1)
(2)4Z—2eM,/eZ);
(3)若贝
[证明](1)因为左M—leZ,且兼一1=42一(%一1)2,所以2攵一leM.
(2)假设4Z—2eM(左eZ),则存在x,yeZ,<4A:-2=x2-/,由
于X-y和X+y有相同的奇偶性,所以/-y2=(尤一y)(无+y)是奇数或4的倍
数,不可能等于4攵-2,假设不成立,所以4Z-2定
(3)设〃=/一丁2,4=。2一/,了,又”,〃€2,贝|Jpg=(》2一/)(/一/)
=a1a'+y2b2-x2h~-y2a2=(xa-yb)2-(xb-ya)2eM
(因为M-yaeZ,xb-yaeZ)o
2.利用子集的定义证明集合相等,先证再证则八=8。
例2设A,B是两个集合,又设集合M满足
AC\M=BC\M=AC\B,A\JB\JM=A\JB,求集合M(用A,B表示)。
【解】先证若xe(AnB),因为AnM=AClB,所以
XGAC\M,xeM,所以(AplBqM;
再证Mq(AnB),若xeM,则xeAU8UA/=AU8.1)若XGA,则
xe4nM=ADB;2)若xwB,则xe8nM=AnB。所以Mq(AnB).
综上,M=A^B.
3.分类讨论思想的应用。
例3
A={J^X2-3x+2=0},B={x|x2-OY+4Z-1=0},C={X|X2-mx+2=Q],若
AL)JB=A,AdC=C,求a,机
【解】依题设,A={1,2},再由一一ax+a-1=0解得x=或x=l,
因为AU3=A,所以BqA,所以a—lwA,所以a—1=1或2,所以a=2
或3o
因为ADC=C,所以C=A,若。=0,则△=机2—8<0,即
-2^2<m<2yf2,若CH0,则leC或2eC,解得〃z=3.
综上所述,a=2或。=3;m=3或—2V2<m<2V2。
4.计数原理的应用。
例4集合A,B,C是1={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集,(1)
若AU8=/,求有序集合对(A,B)的个数;(2)求I的非空真子集的个数。
【解】(1)集合I可划分为三个不相交的子集;A\B,B\A,ACIB,/中
的每个元素恰属于其中一个子集,10个元素共有3"'种可能,每一种可能确
定一个满足条件的集合对,所以集合对有3nl个。
(2)1的子集分三类:空集,非空真子集,集合I本身,确定一个子集
分十步,第一步,1或者属于该子集或者不属于,有两种;第二步,2也有
两种,…,第10步,0也有两种,由乘法原理,子集共有少°=1024个,非
空真子集有1022个。
5.配对方法。
例5给定集合/={1,2,3,…的攵个子集:A,A2,---,4,满足任何两个
子集的交集非空,并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质,
求上的值。
【解】将I的子集作如下配对:每个子集和它的补集为一对,共得2"T对,
每一对不能同在这左个子集中,因此,k<2-';其次,每一对中必有一个在
这女个子集中出现,否则,若有一对子集未出现,设为GA与A,并设
AC\At=0,则AaGA,从而可以在々个子集中再添加GA,与已知矛盾,
所以左N2"T。综上,k=2"-'o
6.竞赛常用方法与例问题。
定理4容斥原理;用网表示集合A的元素个数,则
|AU同=网+|百一gn耳
|AU5uq=M+|目+|q—|An4一|Anq-Nnq+|AnBnq,需要xy
此结论可以推广到〃个集合的情况,即z
n〃______n
CJAI=2|AJ-ZIAAAJ—+(-i)"1QA.
i=li=l详j\^i<j<k<nz=l
定义8集合的划分:若A】UA?U…UA“=/,且
AjAA;=0(1<i,j<n,i^j),则这些子集的全集叫I的一个〃-划分。
定理5最小数原理:自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理6抽屉原理:将加"+1个元素放入〃(〃>1)个抽屉,必有一个抽屉
放有不少于m+1个元素,也必有一个抽屉放有不多于m个元素;将无穷多
个元素放入〃个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。
例6求1,2,3,…,100中不能被2,3,5整除的数的个数。
【解】记/={L2,3,…,100},4=印。父00,且》能被2整除(记为2忖},
5={^1<X<100,^X},C={A|1<X<100,5|X},由容斥原理,
rinn"|「-
|AUBUC|=|A|+|B|+|C|-|AnB|-|BnC|-|CnA|+|AnBnC|=号+号+
1001001001-0-0+--1-0-0=74,所以不能被2,3,5整除的数有
56元1530
|/|TAU8UC=26个。
例7S是集合{1,2,2004}的子集,S中的任意两个数的差不等于
4或7,问S中最多含有多少个元素?
【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知
每相邻两个数至多有一个属于S,将这11个数按连续两个为一组,分成6
组,其中一组只有一个数,若S含有这11个数中至少6个,则必有两个数
在同一组,与已知矛盾,所以S至多含有其中5个数。又因为2004=182x11+2,
所以S一共至多含有182x5+2=912个元素,另一方面,当
S={*=1Lt+//=1,2,4,7,10/K2004,KeN}时,恰有同=912,且S满足题
目条件,所以最少含有912个元素。
例8求所有自然数〃(〃22),使得存在实数%,%,…,凡满足:
{,—ay|}|l<i<j<n}={1,2,.
【解】当〃=2时,ax=0,a2=1;当几=3时,ax=0,«2==3;
当"=4时,a{=0,a2=2,%=5,4=1。下证当〃25时,不存在q,生,・・・,々〃
满足条件。
令0=/<a2<---<an,则%="。;1).
所以必存在某两个下标i</,使得W=所以
a“一l=a"T一叫=a,i或a“一1=0“-%,即a?=1,所以
n(n-1),3n(n-l),
««=-2一,%=凡-1或4=--一,4=1。
(i)若)="。;一",%-i=%T,考虑。“一2,有a“-2=a吁2或
an-2=an-a2,即生=2,设%_2=%-2,贝!]a“_|一。"一?=%-%-i,导致
矛盾,故只有%=2.
=
考虑an-3,a“-3a“_2—3—an—4,即的=3,a"_3=a“_2,
则a”—1—2=2=a2—。(),推出矛盾,I又4=3,则a“—a“_]=1=生—。2,
又推出矛盾,所以*_2=々,"=4故当〃25时,不存在满足条件的实数。
(ii)若fl4——,=1,考虑一2,有%•-2=*_]或
a“—2=ctn—生,即。3=2,圮时。3—。2—“2—”|,推出矛盾9故a“_]=a“—2。
考虑a”—3,有a”-3=a“_2或a”一3=a”—的,即的=3,于是
。3—。2—aa-i,矛盾°因此。”-2=—3,所以a“_]—。”-2=1=%-%,
这又矛盾,所以只有4_2=/,所以〃=4。故当〃25时,不存在满足条件
的实数。
例9设人={1,2,3,4,5,6),B={7,8,9,……,n),在A中取三
个数,B中取两个数组成五个元素的集合A,,
i=l,2,…,20,HPlA.|<2,1<z<JK20.求〃的最小值。
【解】〃min=6
设B中每个数在所有片中最多重复出现攵次,则必有人《4。若不然,
数加出现女次(%>4),则弘>12.在阳出现的所有Aj中,至少有一个A中
的数出现3次,不妨设它是1,就有集合{1,
at,a1,m,bx}{l,a3,a4,/n,&2},{\,a5,a6,m,b3},其中《£A,14i46,为满足题
意的集合。见必各不相同,但只能是2,3,4,5,6这5个数,这不可能
所以ZW4.
20个4中,B中的数有40个,因此至少是10个不同的,所以〃216。
当〃=16时,如下20个集合满足要求:
{1,2,3,7,8},{1,2,4,12,14},{1,2,5,15,16},{1,
2,6,9,10),
{1,3,4,10,11},(1,3,5,13,14),(1,3,6,12,15},{1,
4,5,7,9),
{1,4,6,13,16},(1,5,6,8,11),{2,3,4,13,15},{2,
3,5,9,11),
⑵3,6,14,16),(2,4,5,8,10),{2,4,6,7,11),{2,
5,6,12,13},
{3,4,5,12,16},{3,4,6,8,9),{3,5,6,7,10},{4,
5,6,14,15}o
例10集合{1,2,…,3n}可以划分成〃个互不相交的三元集合{x,y,z}
其中x+y=3z,求满足条件的最小正整数
【解】设其中第i个三元集为{七,y,z,.},,•=1,2,…,〃,则
1+2+…+3〃=£4z,.,
所以3〃(3;+1)=4£z,。当〃为偶数时,有冈3〃,所以北8,当〃为奇
2i=i
数时,有8|3〃+1,所以〃25,当〃=5时,集合{1,11,4},{2,13,5},
{3,15,6},{9,12,7},{10,14,8}满足条件,所以”的最小值为5。
第二章二次函数与命题
一、基础知识
1.二次函数:当a关0时,yuax^+bx+c或f(x)=ax:'+bx+c称为关于x的
二次函数,其对称轴为直线x=-2,另外配方可得f(x)=a(x-xM+f(x。),其
2a
b
中X="—,下同。
02。
2.二次函数的性质:当a>0时,f(x)的图象开口向上,在区间(-8,
x。]上随自变量x增大函数值减小(简称递减),在[x。,-8)上随自变量增
大函数值增大(简称递增)。当a<0时,情况相反。
3.当a>0时,方程f(x)=0即ax'+bx+cR…①和不等式ax'+bx+c)。…②
及ax,bx+cVO…③与函数f(x)的关系如下(记△=t>2-4ac)。
1)当△>()时,方程①有两个不等实根,设X1,X2(XKX2),不等式②和不
等式③的解集分别是{x|x<X|或x>xj和{xX1<X<X2},二次函数f(x)图象与X
轴有两个不同的交点,f(x)还可写成f(x)=a(x-Xi)(x-x2).
2)当△=()时,方程①有两个相等的实根不等式②和不
2a
等式③的解集分别是{xk#-2}和空集0,f(x)的图象与X轴有唯一公共
2a
点。
3)当△<()时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是R和
0.f(x)图象与x轴无公共点。
当a<0时,请读者自己分析。
4.二次函数的最值:若a〉0,当x=x<>时,f(x)取最小值f区卜,"。",
4a
若a<0,则当x=x()=-2时,f(x)取最大值f(x())=^^~~—.对于给定区间[m,n]
2a4a
上的二次函数f(x)=ax"bx+c(a>0),当x()G[m,n]时,£(*)在[111,n]上的最
小值为f(Xo);当x0<m时。f(x)在[m,n]上的最小值为f(m);当x0>n时,f(x)
在[m,n]上的最小值为f(n)(以上结论由二次函数图象即可得出)。
定义1能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题,“萝卜好大”不
是命题。不含逻辑联结词“或”、“且“、“非”的命题叫做简单命题,由简单
命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。
注1“p或q”复合命题只有当p,q同为假命题时为假,否则为真命
题;“P且q”复合命题只有当p,q同时为真命题时为真,否则为假命题;p
与“非p”即“p”恰好一真一假。
定义2原命题:若p则q(p为条件,q为结论);逆命题:若q则p;
否命题:若非p则q;逆否命题:若非q则非p。
注2原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。
注3反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否
命题。
定义3如果命题“若p则q”为真,则记为pnq否则记作pwq.在命
题''若p贝(]q"中,如果已知p=>q,则p是q的充分条件;如果q=>p,则称
P是q的必要条件;如果pnq但q不=>p,则称p是q的充分非必要条件;
如果p不=>q但p=>q,则p称为q的必要非充分条件;若pnq且qnp,
则P是q的充要条件。
二、方法与例题
1.待定系数法。
例1设方程x2-x+l=0的两根是a,B,求满足f(a)=B,f(B)=
a,六1)=1的二次函数f(x).
【解】设f(x)=ax2+bx+c(ak0),
则由已知f(a)=B,f(B)=a相减并整理得(a-p)[(a+0)a+b+l]=O,
因为方程x?-x+l=O中△/(),
所以am,所以(a+B)a+b+l=O.
又a+B=1,所以a+b+l=O.
又因为f(l)=a+b+c=l,
所以cT=l,所以c=2.
又b=-(a+l),所以f(x)=ax,-(a+l)x+2.
再由f(a)=B得aaJ(a+1)a+2=0,
所以aa2-aa+2=a+B=1,所以aa2-aa+1=0.
即a(a2-a+l)+l-a=0,即l-a=0,
所以a=l,
所以f(x)=x2-2x+2.
2.方程的思想。
例2已知f(x)=ax?-c满足-4Wf(l)WT,TWf(2)W5,求f⑶的取
值范围。
【解】因为-4Wf6=a-cWT,
所以lW-m)=c-aW4.
QC
又-1Wf(2)=4a-cW5,f(3)=-f(2)--f(1),
33
所以§X(-l)+-^f(3)^-x5+-x4,
3333
所以TWf(3)W20.
3.利用二次函数的性质。
例3已知二次函数f(x)=ax、bx+c(a,b,cGR,a/0),若方程f(x)=x
无实根,求证:方程f(f(x))=x也无实根。
【证明】若a>0,因为f(x)=x无实根,所以二次函数g(x)=f(x)-x图象
与x轴无公共点且开口向上,所以对任意的xWR,f(x)-x>0即f(x)>x,从而
f(f(x))>f(x)o
所以f(f(x))>x,所以方程f(f(x))=x无实根。
注:请读者思考例3的逆命题是否正确。
4.利用二次函数表达式解题。
例4设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)=x的两根x”X2满足
0<Xi<x2<—,
a
(I)当xG(0,xj时,求证:x<f(x)<Xi;
(ID设函数f(x)的图象关于x=x。对称,求证:x0<^-.
2
【证明】因为xi,X2是方程f(x)-x=0的两根,所以
f(x)-x=a(x-xi)(x-x2),
即f(x)=a(x-xi)(x-x2)+x.
(I)当x£(0,x)时,x-Xi<0,x-x2<0,a>0,所以f(x)>x.
其次f(X)-X1=(X-X1)[a(x-x2)+l]=a(x-Xi)[x-x2+-]<0,所以f(x)<Xi.
综上,x<f(X)<Xi.
:r
(II)f(x)=a(x-xi)(x-x2)+xax2+[l-a(xi+x2)]x+axix2,
所以x0=“a-1=百上火
22a
XA---------
~a
所以Xo<£.
5.构造二次函数解题。
例5已知关于x的方程(ax+D'aYa-x9,a>l,求证:方程的正根比1
小,负根比T大。
【证明】方程化为2a2x2+2ax+「a2=0.
构造f(x)uZaV+Zax+l-a。,
f⑴=(a+l)z>0,f(-l)=(a-l)2>0,f(0)=l-a2<0,即△>(),
所以f(x)在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。
即方程的正根比1小,负根比T大。
6.定义在区间上的二次函数的最值。
例6当x取何值时,函数y='”厂:取最小值?求出这个最小值。
(1+1)2
【解】y=l-,令一5——=u,贝!]0<u<lo
+1(x2+1)x2+1
+史1
11O
且当〃=一即x=±3时,y„=—.
10mi20
例7设变量x满足x2+bxW-x(b〈T),并且x'bx的最小值是-,,求
2
b的值。
【解】由x,+bxW-x(b〈T),得OWxW-(b+1).
i)--<-(b+l),即bW-2时,x?+bx的最小值为-£,-£=—2,所以
2442
b2=2,所以。=±五(舍去)。
ii)>_(b+l),即b>-2时,x"+bx在[0,-(b+1)]上是减函数,
2
1Q
所以x+bx的最小值为b+l,b+l=-—,b=--.
22
综上,b=--.
2
7.一元二次不等式问题的解法。
22
例8已知不等式组/一'+“一”<°①②的整数解恰好有两个,求
x+2a>l
a的取值范围。
【解】因为方程x'-x+a-aW)的两根为Xi=a,x2=l-a,
若aWO,则x〈X2.①的解集为a<x〈l-a,由②得x>l-2a.
因为l-2ael-a,所以aWO,所以不等式组无解。
若a>0,i)当O<a<L时,xKx2,①的解集为a<x〈ba.
2
因为因a〈x<l-a〈l,所以不等式组无整数解。
ii)当a=,时,a=l-a,①无解。
2
iii)当a>L时,a>l-a,由②得x>L2a,
2
所以不等式组的解集为l-a<x<a.
又不等式组的整数解恰有2个,
所以a-(1-a)>1且a-(1-a)W3,
所以l〈a<2,并且当l〈aW2时,不等式组恰有两个整数解0,1。
综上,a的取值范围是l〈aW2.
8.充分性与必要性。
例9设定数A,B,C使得不等式
A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)20①
对一切实数x,y,z都成立,问A,B,C应满足怎样的条件?(要求写出
充分必要条件,而且限定用只涉及A,B,C的等式或不等式表示条件)
【解】充要条件为A,B,C与0且A2+B2+C2W2(AB+BC+CA).
先证必要性,①可改写为A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2^0②
若A=0,则由②对一切x,y,z《R成立,则只有B=C,再由①知B=C=O,
若AHO,则因为②恒成立,所以A>0,A=(B-A-02(y-z)2-4AC(y-z)2^0m
成立,所以(B-A-C)-4ACWO,即A2+B2+C2^2(AB+BC+CA)
同理有B20,C20,所以必要性成立。
再证充分性,若ANO,B20,C^O3.A2+B2+C2^2(AB+BC+CA),
1)若A=0,则由B2+C?W2BC得(B-CVWO,所以B=C,所以△=(),所以②
成立,①成立。
2)若A>0,则由③知△或(),所以②成立,所以①成立。
综上,充分性得证。
9.常用结论。
定理1若a,bGR,aj-bIW|a+b|WIa'+b.
【证明】因为-|a|WaW|a|,—|b|WbW|b|,所以-(|a|+|b|)Wa+bW
|a|+|b|,
所以|a+b|W|a|+b(注:若m>0,贝!J-mWxWm等价于|x|Wm).
又|a|=|a+b-b|W|a+b|+1-b|,
即|a|-|b|W|a+b|.综上定理1得证。
定理2若a,bWR,则a'b'eZab;若x,yGR',则x+y»
(证略)
注定理2可以推广到n个正数的情况,在不等式证明一章中详细论证。
第三章函数
一、基础知识
定义1映射,对于任意两个集合A,B,依对应法则f,若对A中的任
意一个元素x,在B中都有唯一一个元素与之对应,则称f:A-B为一个映
射。
定义2单射,若f:A-B是一个映射且对任意x,yGA,xwy,都有
f(x)#f(y)则称之为单射。
定义3满射,若f:A-B是映射且对任意yWB,都有一个xWA使得
f(x)=y,则称f:A-B是A到B上的满射。
定义4一一映射,若f:A-B既是单射又是满射,则叫做一一映射,
只有一一映射存在逆映射,即从B到A由相反的对应法则〃构成的映射,
记作f-1:A-*Bo
定义5函数,映射f:A-B中,若A,B都是非空数集,则这个映射为
函数。A称为它的定义域,若xdA,yGB,且f(x)=y(即x对应B中的y),
则y叫做x的象,x叫y的原象。集合{f(x)|x£A}叫函数的值域。通常函数
由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围,
如函数y=3&T的定义域为{x|x》O,xGR}.
定义6反函数,若函数f:A~B(通常记作y=f(x))是一一映射,则
它的逆映射「二A-B叫原函数的反函数,通常写作丫=H&).这里求反函数
的过程是:在解析式y=f(x)中反解x得乂=『(y),然后将x,y互换得y=f-1(x),
最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如:函数y=—1—的反函数是
1-X
y=l-—(x*0).
x
定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。
定理2在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函
数。
定义7函数的性质。
(1)单调性:设函数f(x)在区间I上满足对任意的心,x2ei并且xKxz,
总有f(x))<f(x2)
(f(x)>f(x2)),则称f(x)在区间I上是增(减)函数,区间I称为单调
增(减)区间。
(2)奇偶性:设函数y=f(x)的定义域为D,且D是关于原点对称的数
集,若对于任意的xWD,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)是奇函数;若对任意
的xGD,都有f(-x)=f(x),则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对
称,偶函数的图象关于y轴对称。
(3)周期性:对于函数f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x
取定义域内每一个数时,f(x+T)=f(x)总成立,则称f(x)为周期函数,T称
为这个函数的周期,如果周期中存在最小的正数T。,则这个正数叫做函数f(x)
的最小正周期。
定义8如果实数a<b,则数集{x[a<x<b,xGR}叫做开区间,记作(a,b),
集合{x|aWxWb,x@R}记作闭区间[a,b],集合{x[a<xWb}记作半开半闭区
间(a,b],集合{x|aWx〈b}记作半闭半开区间[a,b),集合{x|x>a}记作开
区间(a,+8),集合{xlxWa}记作半开半闭区间(-8,a].
定义9函数的图象,点集{(x,y)|y=f(x),xGD}称为函数y=f(x)的图
象,其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他
函数图象之间的关系(a,b>0);(1)向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象;
(2)向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象;(3)向下平移b个单位得到
y=f(x)-b的图象;(4)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称;(5)与函数
y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称;(6)与函数y=F(x)的图象关于直线
y=x对称;(7)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。
定理3复合函数y=f[g(x)]的单调性,记住四个字:“同增异减例
如y=一!一,U=2-X在(-8,2)上是减函数,y=L在(0,+8)上是减函数,
2-xu
所以y=—!—在(-8,2)上是增函数。
2-x
注:复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证,求导
之后是显然的。
二、方法与例题
1.数形结合法。
例1求方程=:的正根的个数.1k/
【解】分别画出丫=日-1|和丫=:的图象,由________Y^~>
图象可知两者有唯一交点,所以方程有一个正根。\
例2求函数'I
f(x)=-3x2—6x+13-yjx4-x24-1的最大值。
【解】f(x)=,(♦-2)2+(X-3)2-^(x2-I)2+(x-0)2,记点P(x,
x-2),A(3,2),B(0,1),则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。
因为|PA|-|PAW|AB=532+(2—当且仅当P为AB延长线与
抛物线y=x?的交点时等号成立。
所以f(x)*=J话.
2.函数性质的应用。
例3设x,y£R,且满足1,求x+y.
[(y_1尸+1997(y_1)=1
【解】设f(t)=t,1997t,先证f(t)在(-8,+oo)上递增。事实上,
若a<b,贝(If(b)-f(a)^,-a^+WO7(b-a)=(b-a)(b'+ba+a2+1997)>0,所以f(t)
递增。
由题设f(xT)=T=f(by),所以xT=l-y,所以x+y=2.
例4奇函数f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,Xf(l-a)+f(l-a2)<0,
求a的取值范围。
【解】因为f(x)是奇函数,所以f(1-1)=4(1-1),由题设
f(l_a)<f(a2_l)o
又f(x)在定义域(-1,1)上递减,所以TG-a〈a2-l〈l,解得(Ka<l。
例5设f(x)是定义在(-8,+8)上以2为周期的函数,对k£Z,用
。表示区间(2k-l,2k+l],已知当xGl。时,f(x)-x2,求f(x)在h上的解析
式。
【解】设xWh,则2k-"xW2k+l,
所以f(x-2k)=(x-2k)2.
又因为f(x)是以2为周期的函数,
所以当xGIk时,f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.
例6解方程:
(3x-l)(79X2-6X+5+1)+(2X-3)(74^12^+13+1)=0.
【解】令m=3xT,n=2x-3,方程化为
m(J//+4+l)+n(J/+4+1)=0.①
若m=0,则由①得n=0,但m,n不同时为0,所以mH。,n/0.
i)若m>0,则由①得n<0,设f(t)=t(J产+4+1),则f(t)在(0,+°°)
4
上是增函数。又f(m)=f(-n),所以m=-n,所以3xT+2x-3=0,所以x=—.
5
4
ii)若m<0,且n>0。同理有m+n=O,x=—,但与m〈0矛盾。
5
综上,方程有唯一实数解x=±
5
3.配方法。
例7求函数y=x+J2x+1的值域。
【解】y=x+j2x+l=l[2x+l+2j2x+l+l]-l
2
=—(5/2x+l+1)-1^—-1=--.
222
当x=-L时,y取最小值-L,所以函数值域是[-L,+8)。
222
4.换元法。
例8求函数y=(Jl+x+Jl-x+2)(J1-炉+1),xC[0,1]的值域。
【解】令Jl+x+Jl-X=u,因为xW[0,l],所以2Wu?=2+2Jl-FW4,
所以&WuW2,所以巫士2W"2W2,1<—<2,所以y="2,uk
2222
[V2+2,8]o
所以该函数值域为[2+及,8]o
5.判别式法。
/-3x+4
例9求函数y=的值域。
1+3尤+4
【解】由函数解析式得(y-l)x2+3(y+l)x+4y-4=0.①
当y#l时,①式是关于x的方程有实根。
所以△=9(y+l)2-16(y-l)220,解得
7
又当y=l时,存在x=0使解析式成立,
所以函数值域为[L,7]。
7
6.关于反函数。
例10若函数y=f(x)定义域、值域均为R,且存在反函数。若f(x)在
(-°°,+8)上递增,求证:y=fT(x)在(-8,+8)上也是增函数。
1
【证明】设x《X2,且yi=fT(x),y2=f(x2),则Xi=f(yJ,x2=f(y2),若
72丫2,则因为f(x)在(-8,+8)上递增,所以Xi》x2与假设矛盾,所以yi<y2o
即y=「'(x)在(-8,+8)递增。
例11设函数f(x)用叵豆,解方程:f(x)=fi(x).
V3x+2
71
【解】首先f(x)定义域为(-8,--)U,+8);其次,设Xi,X2
34
是定义域内变量,且xKx2<-2;但上1—史山=一5。2-修)_>0(
33X2+232+2(3X2+2)(3用+2)
所以f(x)在(-8,-2)上递增,同理f(x)在+8)上递增。
34
在方程f(x)=『(x)中,记f(x)=f-'(x)=y,则y20,又由「'(x)=y得
f(y)=x,所以x20,所以x,ye[-L,+°°).
4
若x#y,设x〈y,则f(x)=y〈f(y)=x,矛盾。
同理若x>y也可得出矛盾。所以x=y.
即f(x)=x,化简得3x'+2x"-4xT=0,
即(x-l)(3X4+5X3+5X2+5X+1)=0,
因为x20,所以3X'+5X、5X2+5X+1>0,所以X=L
第四章几个初等函数的性质
一、基础知识
1.指数函数及其性质:形如y=a*(a>0,aw1)的函数叫做指数函数,其
定义域为R,值域为(0,+8),当0〈a〈l时,y=a”是减函数,当a>l时,y=a*
为增函数,它的图象恒过定点(0,1)。
1m____1_m[
2.分数指数嘉:a"=后,=行,。一"=3。
a”^Jam
3.对数函数及其性质:形如y=logax(a>0,aH1)的函数叫做对数函数,
其定义域为(0,+8),值域为R,图象过定点(1,0)o当0〈a〈l,y=logax
为减函数,当a>l时,y=logaX为增函数。
4.对数的性质(M>0,N>0);
x
1)a=M<=>x=1ogaM(a>0,aw1);
2)loga(MN)=logaM+logaN;
M、
3)loga(—)=logaM-logaN;4)10gMflogaM;,
Na
5)loga=-1ogaM;6)alnguM=M;7)logab二"机”(a,b,c>0,a,cwl).
nlogca
5.函数y=x+3(a>0)的单调递增区间是(-8,-和距,+oo),单调递
X
减区间为[-右⑹和(0,、5]。(请读者自己用定义证明)
6.连续函数的性质:若a〈b,f(x)在[a,b]上连续,且f(a)•f(b)<0,
则f(x)=O在(a,b)上至少有一个实根。
二、方法与例题
1.构造函数解题。
例1已知a,b,c£(T,1),求证:ab+bc+ca+l>0.
【证明】设f(x)=(b+c)x+bc+1(xG(T,1)),则f(x)是关于x的一
次函数。
所以要证原不等式成立,只需证f(T)>0且f(l)>0(因为.
因为f(-l)=-(b+c)+bc+l=(l-b)(l-c)>0,
f(l)=b+c+bc+a=(l+b)(l+c)>0,
所以f(a)>0,即ab+bc+ca+l>0.
例2(柯西不等式)若冉,a?,…,a”是不全为0的实数,b(,b2,
GR,则(£>:).(力;也尸,等号当且仅当存在〃eR,使a尸〃",
1=1J=11=1
i=l,2,…,n时成立。
22
【证明】令f(x)=(a,)X-2(a;bt)x+b--(a,.x-bt),
/=1z=li=l/=!
因为fa”。,且对任意xWR,f(x)20,
/=]
_n_n_n
所以△=40。也)-4(£«;)5斤)力.
i=li=l/=1
展开得(£/)这"注电区也)2。
i=li=l/=!
等号成立等价于f(x)=0有实根,即存在〃,使ai=〃b,,i=l,2,…,n。
例3设x,yWR\x+y=c,c为常数且cW(0,2],求u=[x+!)y+lj
的最小值。
[解[u=fx+—Yy+—=xy+—+—+—>xy+—+2•/—•—
I认y)yXxyxyx
=xy+——+2.
孙
令xy=t,贝1]0<t=xy<"..=J,设f(t)=t+-,0<t^—.
44t4
2/2~
因为0〈c<2,所以所以f(t)在O,J上单调递减。
414
所以f(t)Mn=f(J)=J+2,所以U2J+:+2.
44c4c2
当*=丫=£时,等号成立.所以u的最小值为巨+:+2.
24c2
2.指数和对数的运算技巧。
例4设p,qWR'且满足log9p=logl2q=log16(p+q),求幺的值。
P
【解】令log9p=logi,q=logi6(p+q)=t,则p=9',q=12',p+q=16',
所以9t+12'=161,即1+0=停).
记x=2=*=(g),则l+x=x'解得x='*f.
又g>0,所以幺=生叵.
PP2
例5对于正整数a,b,c(aWbWc)和实数x,y,z,w,若a*=b'=c'=70",
且一+—+—=一,求证:a+b=c.
xyzw
【证明】由a"=b'=c'=70”取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
所以,lga=—lg70,
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