2019年教师资格考试数学学科知识及教学能力模拟试题及答案

2019年教师资格考试数学学科知识及教学能力模拟试题

1极限hmx(e^-1)的值是()。

I・工-＞一

A.-1

B.0

C.1

D.正无穷

2.设f(x)是R上的函数，则下列叙述正确的是()。

A.f(x)f(-x)是奇函数

B.f(x)|f(x)|是奇函数

C.f(x)-f(-x)是偶函数

D.f(x)+f(-x)是偶函数

3定积分，16+6工一工2也的值是().

25

A.7"

25

B.2H

5,经过圆/+2/+/=。的圆心，与直线1+y=。垂直的直线方程是（兀

A.x+y+1=0

B.x-y-1=0

C.x+y-1=0

D.x-y+1=0

7.下列内容属于《义务教育数学课程标准（2011年版）》第三学段〃数与式〃的是（）。

①有理数②方程③实数④代数式⑤整式与分式

A.①②③④B.①②④⑤C.①③④⑤D.①②③⑤

q设a、b为实数.0VaVb,证明在开区间（a,b）中存在有理数（提示：取-<b-aK

10.

ir

已知矩阵^1=，求曲线yZ-H+y=o在矩阵对应的线性变换作用下得到的曲线

,01.

方程。

11.

射手向区间［0,1］射击1次，落点服从均匀分布，若射中［0,玄］区间，则观众甲中奖；若射中

Dr,京］区间，则观众乙中奖。若甲中奖和乙中奖这两个事件是独立的，求z的值。

12.《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了"四基"的课程目标，"四基"的内容是

什么?分别举例说明"四基"的含义。

13.数学新课程提倡教师要成为学生数学学习活动的组织者、引导者与合作者，请解释教

师的引导作用主要体现在哪些方面？

三、解答题（本大题共1小题。10分）

14.设函数f（x）=xlnx。

⑴画出函数f（x）的草图。（6分）

（2）

*1

若=1,x,>0，求函数g（x）,x2=-的最大值（提示：利用函数

/（公的凸性）。（4分）

四、论述题（本大题共1小题。15分）

15.简述义务教育数学课程中设置”综合与实践”内容的必要性，并举例说明“综合与实

践”的教学特点。

五、案例分析题（本大题共1小题，20分）阅读案例。并回答问题。

16.案例:

下面是"零指数幕"教学片断的描述，阅读并回答问题。

片断一：观察下列式子，指数有什么变化规律？相应的幕有什么变化规律？猜测2°=?

24=16

23=8

22=4

21=2

2。=?

上面算式中，从上向下每一项指数减1,森减半，猜测2°=1.

片断二：用细胞分裂作为情境，验证上面的猜测：一个细胞分裂一次变为2个，分裂2次

变

为4个，分裂3次变为8个，……那么，一个细胞没有分裂时呢？

片断三：应用同底数幕的运算性质：2m4-2n=2^"（m,n为正整数，相＞n）,我们可以尝

试帆="的情况，有234-23=2A3=2°。根据2?+2,=8+8=1,得出：2°=1。

片断四：在学生感受“20=1”的合理性的基础上，做出零指数瓶的“规定”，即优=l（a¥O）。

验证这个规定与原有“幕的运算性质”是无矛盾的，即原有的泰的运算性质可以扩展到零指

数赛。

问题：

（1）请确定这四个片断的整体教学目标；（6分）

（2）验证运算法则a"1=a"•a"（m,nCZ，）可以拓展到自然数集；（5分）

（3）这四个片断对数学运算法则的教学有哪些启示?（9分）

六、教学设计题（本大题共1小题.30分）

17.初中"正数和负数"（第一节课）设定的教学目标如下:

①通过丰富实例，进一步体会负数的含义；

②理解相反意义的量，体会数的扩充过程；

③用负数表示现实情境中的量，体会数学应用的广泛性。

完成下列任务：

（1）根据教学目标①，给出至少三个实例，并说明设计意图；（5分）

（2）根据教学目标②，给出至少两个实例，并说明设计意图；（5分）

（3）根据教学目标③，设计两个问题，让学生用负数表达，并说明设计意图；（5分）

（4）相对小学阶段的负数教学，本节课的教学重点是什么?（5分）

（5）作为初中阶段的起始课，其难点是什么?（5分）

（6）本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响?（5分）

2013年上半年教师资格考试

数学学科知识与教学能力（初级中学）试题精选参考答案及解析

一、单项选择题

1.C

【解析】本题属于“8•0”型的极限题，可先变形，再利用洛必达法则求解。即

有limx(e*-1)=lim=lim—--=lim=lime，=1。故

A8-81/X-t…dZ…5

选Co

2.D【解析】逐项分析。A项,令F(x)=f(x)f(-x),则解-x)=f(-x)f(x)=F(x),所以f(x)f(-

x)是偶函数，A项错误；B项无法判断奇偶性；(:项中的函数是奇函数，C项错误；D项正

确。故选D。

3.A

【解析】、/解+6工一3dx==J(x-312+52dx，令0—3=5sin/，则上

r2

式变形为［1t>/5-(5sinz)d(5sinz)=J52cos?£山=(cos2z+l)dz=

--(ysin2z+i)|-x=孕A。故选A。

WM‘4

5.D【解析】将圆的方程x2+2x+y2=0整理成标准形式为(x+1)2+y2=1,所以圆心坐

标为(-1,0)。与直线x+y=O垂直的直线方程斜率应为1,排除A、C项；B项不过(-1,

0)点，排除B项。故选D。

7.C【解析】第三学段"数与式”包含的内容有有理数、实数、代数式、整式与分式四

个部分，方程不属于。故选C。

8.C【解析】孙思邈是我国唐朝时期伟大的医学家和药物学家，被后人誉为“药王"。故

选C。

二、简答题

9.

解:令集合=（上,2,工,3,…€Z）0

\nnnnI

取勿足够大，使得上<：6—。,即nuV3+1V而0

n

则可知存在整数加式皿+1Vm+1，从而有因<m0

综上可知MVmm+1<而•由此导出na<m<nb，即aV%<6,其中町是

nn

有理数。

10.

/11\1/I一

解：“=（oJ=（0］）。曲线式一H+>=0在矩阵MI对应的线性

.，_/f

变换是切变变换.对应的坐标变换为「:工一,，整理得『="二’，代人曲线；/_

（y=yIy=y

工+y=°中可得（y，）2一7一/+y，=0，整理得（y'）2-y=。,分别再用工少代替了'，

y得所求曲线方程为式一工=o。

11解：根据题意，观众甲中奖的概率P（甲）=4，观众乙中奖的概率P（乙）=

H，甲乙同时中奖的概率P（甲乙）=■|"一H.若甲中奖和乙中奖这两个事件是独立的，则

有p（甲乙）=p（甲）p（乙），即一工=，〈•1•一工）,解得了=看.

12.【答案要点］‘‘四基"的内容指的是数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动

经验。基础知识一般指数学课程中有关的基本概念、基本性质、基本法则和公式等。例如正

数与负数的概念、直角三角形三边之间的关系、有理数运算的基本法则、完全平方公式等。

基本技能包括基本的运算、测量、绘图等技能。例如利用科学记数法进行较大数字之间的运

算、正确使用尺规作图等。

基本思想主要指数学抽象思想、数学推理思想和数学模型思想。例如数的形成和发展，数的

范围的扩大都是抽象思想应用的过程；几何中的证明体现了数学推理思想；方程的应用体现

了数学模型思想。

基本经验是数学学习过程性目标的主要内容。例如在《义务教育数学课程标准（2011年版）》

提到，经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能；经

历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基

本技能；经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统

计与概率的基础知识和基本技能；参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法

等解决简单问题的数学活动经验。

13.【答案要点】教师要成为学生进行数学探究的组织者、引导者、合作者。教师应该为学

生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料;引导和帮助而不是代替学生发现和提出

探究课题，特别应该鼓励和帮助学生独立地发现和提出问题。

具体来讲，教师的引导作用主要体现在以下几个方面：

一、引导学生收集和利用资源

数学课程资源，是指依据数学课程标准所开发的各种教学材料以及数学课程可以利用的各种

教学资源、工具和场所。教师是课程的建设者与开发者，应该因地制宜，有意识、有目的地

开发和利用各种资源，使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方

面得到进步和发展。引导学生走出教科书，走出课堂，走出学校，到社会大环境中去学习、

去探索。从学生熟悉的生活情景出发，选择学生身边的、感兴趣的素材作为学习内容和工

具.让学生感受数学与日常生活的联系，从而激发学生学习数学的兴趣和动机。

二、引导学生突破思维的难点

要引导学生通过具体的实物理解抽象的数学意义，教师的引导很重要，特别是教师应该对学

生可能出现的思维难点，在进行教学设计时，就要考虑好，特别还要研究如何来引导学生突

破思维的难点，对数学的思维难点突破、引导的基本原则是，由简单情形开始设计一些思考

的台阶让学生慢慢上路，阶梯式提升难度。

三、引导学生在具体的问题情境中建构知识

主体教育论要求把教学活动看成是一种培养学生主体性的创造活动,教师把学生引入问题情

境所隐含的问题中，学生的学习自觉性、自主性和创造性就会充分发挥。在教学过程中，问

题情境的形成不是自发的，而是教师为把学生引入积极的思维状态而有目的的设置的。

四、引导学生对自己的学习行为进行反思

教育无痕，最有效的教育是自我教育。作为教师，在教学中应该引导学生对自己的成功和不

足进行及时反思，教给学生一些反思的方法，培养学生经常对学习情况进行反思的良好习惯,

使学生在不断反思中学习数学，掌握知识，并运用于实践。经常引导，长期训练，直到学生

能自觉反思，养成反思的习惯。这样学生的学习态度、情感会有很大改变，会更富于理性,

学习数学的能力也会得到提高。

三、解答题

14.⑴解：首先确定f(x)的定义域为(0,+8)。

令f(x)=0,解得x=。

=lim=lim一1仔2=lim(一］)=0。

X—0L01/TX-0-1/xx-*0

f(工)=inx+1，令f(l)=0,解得x=—♦/(-)———

eeeo

对函数/(x)=xlnx的单调性的分析如下：

①当OVzV^时，f(工)单调递减；②工时，/(z)单调递增。

ee

根据/Cr)的零点、单调性分析，可大致画出函数f(z)的草图如下：

(2)解：因为，(力=1>0(工>0),所以

X

/(X)=zlnz在定义域上是凸函数。

根据詹森不等式可得

f)

结合=1有

r-1

/田

nni

所以g(xx,Z2,…N)=—gijnz=—gf(%)4—Inno

四、论述题

15.【答案要点】综合实践活动是在教师引导下，学生自主进行的综合性学习活动，是基于

学生的经验，密切联系学生自身生活和社会实际，体现对知识的综合应用的实践性课程。它

包括研究性学习、社区服务与社会实践、劳动与技术教育等领域，并渗透信息技术教育。作

为一种独立形态的课程,综合实践活动课程超越具有严密的知识体系和技能体系的学科界限,

强调以学生的经验、社会实际和社会需要和问题为核心，以主题的形式对课程资源进行整合

的课程，以有效地培养和发展学生解决问题的能力、探究精神和综合实践能力。

作为一种独立形态的课程，综合实践活动课程尤其注重学生多样化的实践性学习方式，转变

学生那种单一的以知识授受为基本方式、以知识结果的获得为直接目的的学习活动，强调多

样化的实践性学习，如探究、调查、访问、考察、操作、服务、劳动实践和技术实践等。

作为一种独立的课程形态，综合实践活动课程强调超越教材、课堂和学校的局限，在活动时

空上向自然环境、学生的生活领域和社会活动领域延伸，密切学生与自然、与社会、与生活

的联系。

作为一种独立的课程形态，综合实践活动课程集中体现了新的课程管理和发展制度。在新一

轮基础教育课程改革中，综合实践活动课程是由国家统一制定课程标准和指导纲要，地方教

育管理部门根据地方差异加以指导，学校根据相应的课程资源，进行校本开发和实施。因而

综合实践活动课程不仅仅是哪一级的课程，它体现了三级课程管理制度的特征和功能。因而，

综合实践活动课程是最能体现学校特色、满足学生个性差异的发展性课程。

"综合与实践”的教学特点：

⑴目标的确立突出发展性

数学综合与实践活动的目标定位与学科教学有所不同，重在让学生积累基本的数学活动经验,

关注的是学生是否积极地参与活动，是否真正地动手操作，是否有效地数学思考等。

(2)内容的选择要体现综合性

即针对问题情境，让学生综合运用所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发

现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与生活

实际之间、数学与其他学科之间的联系，进而加深对所学数学内容的理解。这里的内容选择

可以是数学内部知识的综合，可以是观察物理、化学实验现象来探究数学规律，还可以是到

室外进行动手操作测量等。

(3)方法的选择要注重实践性

综合与实践活动的内容是丰富多彩的，是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，是对

数学知识的延伸与升华的过程。因此,数学综合与实践活动应让学生在各种各样的操作探究、

体验活动中，去经历知识的生成过程、发展过程，体会数学知识的来龙去脉，突出数学学习

的主体性，提高主动获取知识的能力。

(4)活动的开展要注重层次性

为了确保数学活动的有序有效，每一课题应围绕主题设计2、3个活动，并且以问题串的形

式设计，以便多角度、多方位地寻求解决问题的方法。一般来说，数学活动分为三个层次：

第一个层次是"做数学"的过程，学生通过猜测、探索，从现实问题情境中提炼数学问题，

发现问题及其规律性，对问题有整体的理解；第二个层次是在"做数学”的基础上进一步抽

象概括数学材料，并提炼数学原理、揭示数学规律；第三个层次是将"做数学”活动中所提

炼出来的原理或规律，进行验证、推广和应用。

五、案例分析题

16.【答案要点】(1)知识与技能目标：掌握整数指数导的运算性质，理解零指数幕的意义,

提高数学归纳总结的能力。

过程与方法目标：通过不同运算的探索，体会从特殊到一般的数学方法。

情感态度和价值观目标：培养学生观察分析的能力、利用已有知识探究问题的能力，加深对

类比推理和严谨推理的认识，培养学生数学思维能力。

(2)这里验证运算法则显然可用案例中的结论，即/=l(arO).

①当都等于0,左边a°+°==1,右边不•a°=1X1=1，左边等于右边，所以

a"+”=am-a"成立；

②当中有一个为0,不妨设沉=0，