第14-2章-稳定状态模型

dtdxdtdxnii：解（积分）曲线与轨线的关系

稳状模虽动过的化律般用微分方程立的态模来述但对某实问，建模的主目的不是寻求动过个时性是究某意义稳定状特，特是时充长后态程的变化趋。譬在什情况下述程变会来接某些确定的值，什么况下又越越离些值导过程不稳定为了析这稳定与稳的律常不需求分程而以利微分程稳性论直接研究平状态稳定就了本先绍衡态稳性概念，然后举几这方的模子§1微方稳性论介定1称个常微分方（组是的，如方（组中

Fx,t)F()

(t)F(xt))N，在F中显时间量

t

。

（1）下仅虑统，样系统称为。定2系F(x（dt的相空间是以x,)坐的空R，特，当n2，相空为面。空中的集{()x()满足(in}称系（2的，有线相空间中的布图为图。．．．．．定3相空间中满

F)

的

x

称系（2）的奇可是立，可是续的点集。如，统167/17

i0(ti0()

axbycxdy

（当

adbc0

时有个连的奇的合当

adbc

时

是这系的一奇。面考虑孤立奇。为知道时有孤奇，出述理Fx)

定1F()是实解析函数且在处Jacobian矩

是统（2）的奇点。若(j是奇（行式为）的，则是系的立点。定4设x是）奇，（i）是稳如对于任意给0，存在，使如果，则|x(t,t)(,tx)对所有的都成。010（ii是渐稳定的，如果是定的且lim)xt这，果系的始态近于奇点，轨线所有时t仍然接它，于是说x是定另方面如时这轨趋于x，则x是近定。0定5一奇点不是稳的，称这奇点稳的对常数次性统3有述理（。(tdt()

axcx

（定2设

(t)

是统的解则（i）如果系统（）的数阵的一切征根实都负，系（3）的零解（点（，0）是其一奇点）是渐近稳定实全）（ii）如果

A

的征中少一根实是正的，则系统（3）的零解不定的（实部有正）（）果A一特征的实都不正，有实，（或）则系（）的解能是定的也能不定，

111n但不是近定（无正实部，必零111n定2告诉我们系统（）的零解是近定的充分必条件

A

的切征的部是的。(类似Hurwitz判据)对非性统一不能出其积分曲或轨，也不能接出点稳性为克服这一难在点近一线系来似个线系统，用这近似统的来给出个点稳解。定6

设

是（2

dxdt

F(x

的个立点称统在x点几是性如果Fx的矩阵是奇的即x)。设

Fx)

在

0

的邻内续并直二连续偏导数则多函的Taylor公式，可

Fx)

展成

F)Ax(|x2

)

，其An1

n是个数阵这得的性系统称系

dxdt

F(x)

dx（的性似一开始，人以为可以线近系来替研的系统。但后人们现，种看法不的或少是全的，非线性统中许多质，在的性似不保。使象零解稳性这一个题，也在定件才可它线性似系代原统研。关这问，们下定：定3如系统（的解渐近定的或稳的则系的解是近定或不稳定的然如系（4）的解稳的则系的解是不定的即此时不能从线性169/17

dt()cdcxdydt()cdcxdy（）(t)axby系（）在其数矩阵A的行列0

的件，知

是统（3）的一平点，的稳性特方：det(

I)的

（征）定定4设性系统（）对应特方是p其)ad于O有下述论

。

和12

是的，当q关（i），是稳结点1（ii，O是稳定退结；1（，O是不稳定点；12（iv）O是稳退化点；12（v不稳鞍；1（vi）是定点1,2（vii是不定点1,2（viii稳、渐稳中。1,2定5设线性系统dy

ax,,y)

（）中

和

满条：（i）点

的邻内在续一偏数。（ii存常数使)x,y)limry2r0r1r0r1又系5的次近系统）特方的根有零部则式（3式奇不定。

的型同并相的定或

关李普夫数V数（P137）求线系的重方，最大缺点难以构造V函数！§2再资的理开渔资是种生源再资源要注意度开，不为一的“泽渔应该持稳的提追求最高产或优经效。这一可生源理开的模型，这模型建立般考虑没收的情况下资自然长模，然后再考虑收获略资增情的响。2.1资增长型考某鱼种的态在立模型之前做如的基假：（i）群数本身离散量谈到微。是，由于然加减的是一体或少数几个体与全数量相，种长是小。以，可以近地假鱼群数量随间续，至可地化。（假鱼生活一个定环中即增率与时间关（）群增是群个体死亡繁殖同作的结。（iv）资源有限的生存环境对种群的繁衍，生长有抑制作用，而这作与群数是正比的。记刻t渔中鱼为

()

，们以到

()

所足模：

xx()rx(1)

（6）其

r

(0)N0是有长，

是境许最鱼。分变量法求方（6解N(t)1()N0（）有个平衡点，xx，其中是稳的12在半内局定171/17

2

r212.2资开发型r21建一在捞况渔鱼遵从的方程分析量稳的件并在定前下讨论如何控捕捞持续量或经效达最。设位间捕量渔鱼

()

成比比例k表单时捕率可以一步分解分E称捕强度用以制参如海船数来度量

q

称捕系，表单强下捕率为便取

q

，是位间捕量

h(x)(t)hx)

常，示个定捕策，即要求捕者天能捞定数。这样，捕情况渔场量满足程

(t)rx(1)

（7）这一一非性程且黎卡提型的也称为模型希知渔的定量保稳定的条件即时间t足够以渔鱼

()

的向并由确最持产量。在平点有

dx

方程（有个平点

1

，

E(1)2

显，它均方的。在E的情况下，x是一平点7）式可改写为2(t)x)2xX

（8）0(x

t易，当0x时，(t)xx时，(即衡x是221不定，而是稳平解。在捕强度Er的情下渔2场量稳x的平因产量单位间捕量也2

r稳在Ex的水，此时可获得续收量。r2当，当E时，t)，场量将渐减，这1时捕其是竭而当谈上获持续量。如才做渔源持捕的条件下为们提最大收？数上，是(t)或()(1

()

)Ex()

的件极化期的收这的收益可理为产h(t则题可数地述下优化问题：

，约条为

(t)(1

maxExt)(t)(t

。两同r*x(t))这它以结E的二次函

h)NE)r

的大问题简的导难到大续捕捞强度为，大续产为

rN

。捞度E是得最持捕鱼的策。2.3经效益型当，鱼资的发利已经成为人经济动的部。目不追最的产量而是最的经收益因而一自的法是一分经济学行为鱼类源开利用的响如经效用捕所的入中扣除开后的润来量并简地鱼销单为常数

p

，位捞度如条海船的用常数c，那单位时间的和出分别(x)单时的润

，

cEpEx利是民关的点因在制定管理略时期望大的“益这时应解经利或收而是的量

h

。而讨的题变了使鱼量稳定

x(12

Er

)的束件的

R

。求173/17

max1Emax1()r的大。易出

(E)

达最的捞度r(1pN最利下渔稳鱼

)

max

c2p最利下场位间持产量为h

rNc2(1)4p2最可续收R

max

prNc)

与一型比可看，最大效益原下捕强度持产均减，渔的量有所增加并且减少增加的例着捞本c的增而变着售格p的长变小这然符实情的2.4种的相竞争型有乙个群当们自一个自然环中生时，量演均从Logistic规律记(t),x(t)是个群的量，12r,r是们的有长，是们的大容。1212于，于群有t(11)11其，(11)反由甲有资的消耗导致对它身N增的滞用1可释相N而言位量甲耗的N物（食总为当个种在同自环中存，考由乙耗一有资对甲的增长生的响，以合理在(11)再去项，项种乙数N于N而言成比于，种群甲增的方程为2

2

（对

（9）1222N12N(1（9）1222N12N(11122时111()rx(1)N2这里的意是单数量（相对而言消的供甲的1物为位量（对N）消的养的物量倍类1似，的在影了的长，种群乙方程该是对

()2)N12可相的释

（）2在个群相竞中，是两关的标。上面1对们解可，示消供甲资中乙消1多甲作应理。般说间有22定关，此们讨论,互独的情。1目是究个群互争结局，即t时，x(t),(t)12的向不要方组）（10，只需对它的平衡点进行稳性析为我解数程f(,x)x(12)12111xx,x)rx(12)N12得四平点别(N,0)N)，P122)122P(0,0)。4为析些的定，使相空间的技。首找出平上()或)(i的域。意，12iirx(11)(t)但使x0()，当仅N1xN2类地(t，当且仅1x120,xN这我得x平中直12175/17

2x2x12N把面分为(t)()两区。似，进分112得（i(t)，当仅当2x10,N1（ii）()0当且当2x1120,N（）线

2将

（）N2平面分为()0和()0个域122两线12和13）之间的位置关系可以由下图的四种情况说。种能对于衡点的稳定说明下：（i）1分三区：

由图（知两线平

(x12

划S:(0,(t)1S:((t)22S:(t)0,(2可说明轨哪个出发，

（）（）（）时都向P(N,0)。若轨线从出发，由（14）式可知随着t的增轨向1右方动必进S；若线S发由式知2线下运，么或趋点，者S，进入是13不能。为如设线某时刻t经线（式入S，1则()，由式9（10）不难看出。11

r()1x(t)(t)112由15（16）知()，故t)表明x(t)在达到21小，这不能，为中(t)0，即x(t)一是加2的若线从出，（16）式可知轨线向左下方运动，那么它者向点，者进入，进S后根上面的分析1终将P综合上述分可画出线示图因为直）1式所在（12式轨方垂于轴在（）1上dx轨方平行轴。21（ii类的析可知P(0,)稳定。12（），稳定13（不定鞍。因轨的初位置1不，走也同趋或趋于P。根建过程中的122含，以P,点定生态上的义：23①味在供养的源竞中弱1于意味着在对供养乙的资源的竞争中甲强于乙于种2群终灭，群趋最容量，即(t),(t)趋向平衡1P(N,0)。11②情与正好反。1③：因为在竞甲资源乙较，而竞乙的1177/17

资中较于是以到个方存稳定的平衡P，3这种竞中少现情。④1

2

：作题§3Volterra模型意利物家D'Ancona曾致于类群相制约系的究在究程他意发现了第一世界战期地中海港捕的种类捕总量百分比资料从这资料中发各软掠鱼如鱼、鲢鱼等们称为捕者的一不很想鱼总获的百分比，1923年间意利姆收的食所占的比例明显增加年百比年百比

19141915191719181919192019221923他道捕的种的例本上代表了中海场中种类比。争捕量幅度下降，然使场中用鱼（饵增，此生鲨也随之增加但是获量下降为么使鱼比增，对捕食者而是对饵有呢？他法释个象于求于著名的意利数家V.Volterra，望立一食饵捕者统数模，量回这问。3.l形模型为立样模，们别x(t和(t)记食和食2者时t的数。为大海中鱼的资丰富可假如食饵独立生存则饵将以增长率r指数规律增长即有t)rt)。捕食者的存在使食饵的增长率降低设低程1度捕者量正，是x(t满足方程(t)x(r)（17比系反捕者取饵能力。

rtt()(e12捕者开饵法rtt()(e12(t)x(t，食为它提供食的作相当使亡2率低或之长设个作用与食数量正比于x(t)满(t)x()（）221比系数反食对食的养力方（17）和（）在有工获情下自环中饵捕者间制关，Volterra出的简单模型这模没引竞项3.2模分析这一非性型不求其解析解，以我还是过衡的定分，究(),t方（）（18）平点为

的化律容得当，平衡解

rr(0,0)P(19)21(0,0)我来是有意的这方程还一解x(C1(tx(t)C2。12因，x轴和轴都方程（17（18）轨。t)(r)（17）t)x(（182这味方（在t由第象限x0出的一解x(),xt在以一切间t都持第象内当x,x，程（17（）轨线是一阶程2dxr)1dxx()21的曲。分变方解rxr1

)

其c任常数因，程17）轨是式20）定的线，们证这曲线是封闭。179/17

rrrxrrrrxrx00000(x2e2)(x12)2

引1当x,x，程（20）定义一封闭曲线。2证我首来定当x,x函2

()e1

和

()x12

2的状利微分法以出和的形如图所。若们极值别作则不确定x、x足m12r)，2（21）1rx)（）m显，当20）式右端常数时轨才定。m当

c时，xm1122

，式（和（）（19）式比较可知化。

(xx)12

正平点

，以

是轨的为考c时(轨的状，我们只考虑mmc的情况，0先注意到程m

x00rxe2210000001x00rxe2210000001TT1

具有一个解

x111

和另一个解x''x11

。此当

'或'1

时方)x122rm没解。x'或x'时，个方具唯的1xx22

而对于

'xx''11

，则具有两解

x)

和'(较的解1当x'或1'()'(x2

(x)是较的总是x。1''时，都向x。此，当xx是数212时由20）定的曲都是闭。且这封曲线的一（

x11

和xx以，都不含（1722和）任何衡点所（））具有始件，x的所有的x(t)，(都是时间的周2函。就说17）（18）具初始条件x的一解x(t)，x(具有样性：12t)x(t)x(t)(t其中是一数1所用数实上捕食的百比每年的均。此为把些据同方程组（）（）结果行较对（）（的何解(t)x(，们2必算(t)x(t)的“平值值注的即还有准地得x(t)x(，们然够出些均。2引2x(t)x(（17）和）的周期解其2期Tx(t)x(的平均值定为2(t)，