2021-2022学年海南省海口某中学高一（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年海南省海口中学高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.（）分）

1.己知集合时={x|M+2x-8W0},N={x\^-<0},则MnN=()

A.{x|-4<%<3}B.{x|-4<x<-2]

C.{x|-2<%<2}D.[x\2<x<3}

2.已知复数z=色三产（i为虚数单位），则下列说法正确的是（）

A.z的虚部为4

B.复数z在复平面内对应的点位于第三象限

C.z的共朝复数2=4-2i

D.|z|=2V5

3.设a,。是两个不同的平面，I,m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A.若I1a,Z1/?,a///?

B.若a1氏Ica,me/?,则，1m

C.若ml。，aLp,则m〃a

D.若a“B，且l与a所成的角和m与口所成的角相等，则〃/m

4.某企业三月中旬生产4、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统

计员制作了如下的统计表格.由于不小心，表格中4、C产品的有关数据已被污染看

不清楚，统计员记得4产品的样本容量比C产品的样本容量多10件，根据以上信息,

可得C产品的数量是（）

产品类别ABC

产品数量（件）1300

样本容量（件）130

A.900件B.800件C.90件D.80件

5.若s讥2a=渔，sinQ?—a）=逗，且。€色,汨，夕E[兀，?]，则a+S的值是（）

A.—B.-C.三或生D,二或空

444444

6.在扇形。力B中，AAOB=60°,|函|=1，C为弧⑪上的一个动点，且无=%就+

y3瓦则x+4y的取值范围为（）

A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]

7.已知四面体ABCD的所有棱长均为2,M,N分别为棱力D,BC的中点，尸为棱4B上

异于4,B的动点.有下列结论：

①线段MN的长度为鱼；

②若点G为线段MN上的动点，则无论点尸与G如何运动，直线FG与直线CD都是异

面直线：

③异面直线MN和CD所成的角为会

④FM+FN的最小值为2.

其中正确的结论为()

A.①③④B.②③C.②③④D.①④

8.若函数f(X)对任意的x6R恒有/(久+2)=/(-x),且对任意的%1，x26(l,+oo),

01_%2)[/01)-/(小)]>0•设a=/(log32)，t>=f(^)<C=/(Ve)(e«2.718),

则()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.a<c<b

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为PM2.5日均值在

354。/机3以下，空气质量为一级，在35〜754g/Tn3,空气质量为二级，超过754。/63

为超标.如图是某地12月1日至10日Pgs的日均值(单位：4。/册)，则下列说法正

A.这10天中P“2.5日均值的平均值是48.8

B.这10天PM/日均值的80%分位数为60

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C.从PM2.5日均值看，前5天的日均值的方差大于后5天日均值的方差

D.从PM2.5日均值看，前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差

10.已知函数=sin(3x+9)(3>0,\(p\<》的部分图像如图所示，则下列结论正

确的是()

A.函数f(久)的图象可由y=s勿2x的图象向左平移;个单位得到

B.x=-詈是f(x)图象的一条对称轴

C.若-/(%2)1=2,则|%2一%11的最小值为兀

D.直线y=9与函数y=f(x)在［0,等］上的图象有7个交点

11.已知等边三角形4BC的边长为6,M,N分别为4B,4c的中点，如图所示，将AAMN

沿MN折起至△4MN,得到四棱锥A-MNCB,则在四棱锥A-MNCB中，下列说

法正确的是()

A.当四棱锥A-MNCB的体积最大时，二面角4-MN-B为直二面角

B.在折起过程中，存在某位置使BN，平面ANC

C.当四棱4-MNCB体积的最大时，直线4B与平面MNCB所成角的正切值为包

7

D.当二面角4一MN-B的余弦值为:时，△4'NC的面积最大

12.已知定义在R上的函数/'(》)满足：2/(x)/(y)=/(%+y)+/(%-y)»某同学由此前

提条件出发,然后又补充了一个附加条件，再经过推理，他得出下列四个选项结论，

其中可能正确的有()

A.若"0)=0时，是奇函数且一定是单调增函数

B.若/(0)=1,/(%)是偶函数且有最大值为1

C.若展)=%则氏)=当

D.若/⑴=：，W(100)=-i

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知a€R,命题p：”存在xCR,使/一ax—3aW0"的否定为,若p为

假命题，则a的取值范围为-

14.如图，为测量山高MN,选择4和另一座的山顶C为测量观测点，从4点测得M点的

仰角NM4M=60°,C点的仰角NC4B=45。以及NM4C=75°；从C点测得NMC4=

60°,已知山高BC=1000m,则山高MN=m.

15.已知四棱锥S-48C。中，底面48CD为正方形，侧面S48为等边三角形，AB=3,

则当四棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为.

16.已知函数〃约=七一2气芯>1),g(x)=W-k)g2%(x>l)的零点分别为a,巴

以下结论①a+0=a£；②a+2a=口+log?/?;③a+夕24；④a—0>—2正

确的是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.为普及抗疫知识，弘扬抗疫精神，某校组织了高一年级学生进行防疫知识测试.根

据测试成绩(总分100分)，将所得数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,100]分成6组，其频率分布直方图如图所示.

(1)求图中a的值；

(2)试估计本次防疫知识测试成绩的平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值

作代表)

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(3)该校准备对本次防疫知识测试成绩优异(将成绩从高到低排列，排在前20%的为

优异)的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？(结果保留一位小数)

18.已知函数/'(x)=2sina)xcosa)x+2>/3sin2ajx—V3(a)>0)的最小正周期为

(I)求函数/(x)的单调增区间；

(II)将函数/(x)的图象向左平移，个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)

的图象.若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值.

19.如图示，边长为4的正方形4BCD与正三角形4DP所在平面互相垂直，M、Q分别是

PC,力。的中点.

(1)求证：PA//^BDM

(2)求多面体P-ABCD的体积

(3)试问：在线段4B上是否存在一点N,使面PCN1面PQ8?若存在，指出N的位置，

若不存在，请说明理由.

20.记△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c.已知炉=ac,点。在边AC上,

BDsinZ.ABC=asinC.

(1)证明:BD=b；

(2)若4。=2DC,求cos/ABC.

21.如图，已知三棱柱ABC-AiBiG，平面A1/CG1平面ABC,/.ABC=90°,^.BAC

30°,44=aiC=AC,点E、/分别是棱月C、&&的中点.

(I)证明：EF1BC；

(H)求直线EF与平面&BC所成角的余弦值.

(HI)求二面角4-4C-B的正弦值.

22.已知函数/'(x)=—/+ax—L(a-1)2,a&R,函数g(x)=/nx.

4

(1)当a=5时，记不等式/(x)>0的解集为M,求函数y=g《)-g(ex),X6M的

值域(e是自然对数的底数)：

(2)当a<1时，讨论函数/i(x)=­(x)+y(x)-g(x)|的零点个数.

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答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：集合M=(x\x2+2x-8<0}={x|-4<x<2},

N=(X\^<0]={X\-2<X<3],

则MnN={x|-2<xW2}.

故选：C.

求出集合M,N,利用交集定义能求出MnN.

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题.

2.【答案】D

【解析】解：•••z==352-1+»=型=(2+^)[=_4+23

2

I7-I-I-I

.•.Z的虚部为2,故A错误；

复数z在复平面内对应的点位于第二象限，故B错误；

z的共筑复数为一4-2人故C错误；

\z\=4尸+22=2V5,故D正确.

故选：D.

利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个选项得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其

几何意义，是基础题.

3.【答案】A

【解析】解：若l_La,11/3,由直线与平面垂直的性质可得。〃£,故A正确；

若a工B,Iua,mu0,则〃/m或2与?n相交或1与m异面，相交与异面时也不一定垂直，

故8错误；

若m1S，a1则znua或m〃a,故C错误；

若a〃夕，且L与a所成的角和m与£所成的角相等，则〃/m或心与zn相交或[与ni异面，故。

错误.

故选：A.

由直线与平面垂直的性质判断4由平面与平面垂直分析两平面内直线的位置关系判断

B-,由线面、面面垂直分析线面关系判断C；由线面角相等分析空间两直线的位置关系

判断D.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与

思维能力，是基础题.

4.【答案】B

【解析】解：根据题意，抽取的样本比例是黑=总，

样本容量为3000x2=300；

设C产品抽取的样本数为X,则4产品抽取样本数为x+10,

(%+10)4-x+130=300,

解得久=80；

C产品的数量是80+卷=800(件).

故选：B.

先求出抽取的样本容量是多少，再列一元一次方程，求出C产品的样本数，从而求出C产

品的数量来.

本题考查了抽取样本的应用问题，是基础题目.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，考查转化思想与综合

运算能力，属于中档题.

依题意，可求得cosQ?-a)与cos2a的值，再利用a+夕=2a+(/?-a),以及两角和的

余弦公式，即可求得答案.

【解答】

解：•・•a€弓，扪，

:.2a6[p27r],

又0<sin2a=~<

52

・•・2aG即aW(居

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"_ae©，詈）,

・•・cos2a=—“一sin22a=———;

又sinQ5-a)=噜，

A—a6(p7r),

・•・cos(S-a)=—yjl—sin2(jff—a)=一^^，

・•・cos(a+3)=cos[2a4-(/?-a)]

=cos2acos(B—a)—sin2asin(。—a)

2V53V10V5A/10

=__x(-^cF)_Tx_ib-

—__—V2.

2

又a€(居,,06[兀,堂，

...。+/?)€(等,2兀),

二a+A=广，

故选人

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查平面向量基本定理，考查数学运算能力，属于中档题.

以。为原点，。4所在直线为x轴，以。8所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则根据

题意可知4(1,0),设C(cos8,sin。)，根据贝?=乂②？+y而把x、y用J表示，

然后可求得x+4y的取值范围.

【解答】

解：如图所示，以。为原点，。4所在直线为x轴，以。8所在直线为y轴，建立平面直角

坐标系，

则根据题意可知4(1,0),设C(cos8,s讥8),0°<0<60°.

_»_,__(cos6=x+(x=cos9——sind

■■■~0C=xOA+y'OB，•­、区，二《、后3>x+4y=cosO+

sine=y=2sin0

V2W3

点C在弧48上由aTB运动，。在［0。,60。］上逐渐变大，COS9变小，sin。逐渐变大，sind

系数较大，

二当。=0。时x+4y取得最小值1,当。=60。时x+4y取得最大值cos60。+?sin60。=

4.

.•・x+4y的取值范围是［1,4］.

故选：B.

7.【答案】A

.1用

(2,T)

【解析】解：连接力N,DN,四面体力BCD^^B>C(cosftsin0)

的所有棱长均为2,则AN=ON=V5,

且MN1AD,

所以MN=VT=I=V2,故①不正确；

取4B的中点F,CD的中点E,

FM//BDS.FM=^BD,NE//BD,

NE=-BD,

2

所以FM〃NE,FM=NE,

所以四边形FNEM是平行四边形，MN与EF相交于点G,所以此时FG与CD相交，不是异

面直线，故②不正确；

取BD的中点，连接HN,HM,

M,N分别为棱AD,BC的中点，所以MH=：AB=1,HN=，D=1,NH//CD,

所以为异面直线MN和CD所成的角，又MH?+NH2=MN2,

故为等腰直角三角形，所以异面直线MN和CO所成的角为j故③正确；

将面4B。、面4BC展开为一个平面，如下图：

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当M,F,N共线时，MF+FN最小为MN=2,故④正确.

故选：A.

①连接AN,DN,易知△力ND为等腰三角形，即MNJ.AD,即可求MN的长；

②构造平行四边形FNEM,探讨它们的关系可判断；

③取B0的中点，连接HNd,HM,可证为等腰直角三角形，从而可得结论；

④将面AB。、面48c展开为一个平面，判断NF+FN最小的情况即可.

本题考查了正四面体的性质、异面直线所成的角，外接球的体积及将展面开求线段的最

小值，属于中档题.

8.【答案】A

【解析】解：因为/'(x+2)=f(—x),所以x=1,是f(x)的-一条对称轴，

/(log32)=/(2-log32)=/(log3|);

又因为对任意的与，X2G(1,+00),均有(%1-*2)[/(%1)-/(%2)]>0,

所以/(x)在(1,+8)上单调递增；

1=log33<log31=log3g<log3V27=log335=|,|>|)

所以f(log3即a<b；

vJf(后即3<也

所以/《)</(代)，即b<c；

综上所述：a<b<c.

故选：A.

由抽象函数满足的关系式可确定x=1是"乃的一条对称轴且在(1,+8)上单调递增；结

合对数函数单调性可比较出log3£三和府的大小关系，由函数单调性可得a，b，c之间

关系.

本题考查了函数的单调性、对称性，得出函数在(1,+8)上单调递增是关键点，难点在

于比较10g3|,三和心的大小，属于中档题.

9.【答案】AD

【解析】解：力、这10天中P“2.5日均值的平均值为(30+32+34+40+41+45+48+

60+78+80)x^=48.8,故A正确；

B、将10天中PM25日均值按从小到大排序为30,32,34,40,41,45,48,60,78,

80,

根据80%分位数的定义可得，这10天中PM2.5日均值的80%分位数是誓=69,故B

错误；

C、因为前5天的数据较为集中，后5天的数据较为分散，所以由折线图和方差的定义可

知，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的方差，故C错误；

D、前5天的日均值的极差为41-30=11,后5天的日均值的极差为80-45=35,故

。正确；

故选：AD.

根据平均数，百分位数，方差，极差的定义，一一判断即可.

本题考查频率分布折线图的应用，属于基础题.

10.【答案】BD

【解析】解：根据函数/(%)=sin(a)x+0)(3>0,阳<；)的部分图像，

可得4=1,=S+g［3=2.

4(0126

再根据五点法作图，可得2x^+0=a=sin(2x+§.

由y=sin2x的图像向左平移泠单位得到y=sin(2x+号的图像，故A错误；

令”=-詈，求得=1-为最大值，可得直线％=-詈是f(x)的图像的一条对称轴,

故2正确；

若1/(与)一/(乂2)1=2,则%-勺1的最小值为半个周期，即拉§=泉故C错误；

在［0,等］上，2x+=e直线y=:与函数y=f(x)在［0,等］上的图像有7个交点,

故。正确，

故选：BD.

由函数的图像的顶点坐标求出4,由周期求出3,由五点法作图求出3的值，可得函数的

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解析式，再利用正弦函数的图像和性质，得出结论.

本题主要考查由函数y=Asin(3x+(p)的部分图像求解析式，由函数的图像的顶点坐标

求出4由周期求出®,由五点法作图求出9的值，正弦函数的图像和性质，属于基础题.

11.【答案】ACD

【解析】解：如图，取MN中点F,易得A'FJ.MN,由于四边形BCNM的面积为定值,

要使四棱锥4-MNC8的体积最大，即高最大，

当A'F_1面8。2”时，此时高为AF最大，二面角4-MN-B为直二面角，A正确；

若BN，平面4NC,则BNL4W,又BN=一32=3®A'N=3,

则4B=\/A'N2+NB2=6，

又ZB=6,A'B<6,故BNJ.AN不成立，即不存在某位置使BN_L平面4'NC,B错误;

由上知，当四棱锥4-MNCB体积的最大时，

即二面角A'-MN-B为直二面角，

此时直线AB与平面MNCB所成角即为NA'BF,易得四边形BCNM为等腰梯形，

取BC中点0,易得F0J.BC,且尸。=延，

2

故BF=\lBD2+DF2=心+(誓)2=号，又4'F1BF,

3——

故tan乙4'BF=箸=焉="，C正确；

2

A'

如图，取MN中点F,易得4F1MN,取BC中点D,

易得F01MN,故乙4'FD即为二面角A'-MN-B的平面角，即COSNA'FD",

故=4，F2+DF2-24F・DF-COSN4'FD,又4'F=FD=越，解得4。=3,

2

又4E=A'C,A'D1BC,

故4c2=y/A'D2+DC2=3应，乂A，N=CN=3,

此时△A'NC为等腰直角三角形，面积最大为：A'N-NC=£故。正确.

故选：ACD.

由四棱锥A-MNCB的体积最大，即高最大即可判断4选项；令BN_L平面4NC,则BN1

A'N,推出矛盾即可判断B选项；由线面角的定义即可判断C选项；由面面角的定义求得

A'D=3,进而求出44WC为等腰直角三角形即可判断0选项.

本题主要考查二面角的相关问题，线面垂直的判定，空间想象能力的培养等知识，属于

中等题.

12.【答案】BCD

【解析】解：对于4,令％=0,则f(y)+/(-y)=0，则/(%)为奇函数，

令工=则即/故/(%)不一定是单调递增函数，选

1,y=o,/(1)+/(1)=0,'(1)=0,

项A错误；

对于B不妨取f(x)=cos%,满足2/(x)/(y)=/(%+y)+/(%-y),且f(0)=1,/(%)

为偶函数且最大值为1,选项3正确；

对于C,不妨取/(%)=cosx,满足2/(x)/(y)=/(%+y)+f(x-y),且若f(；)=则

/©)=¥，选项c正确；

对于D,由于/(l)=I，不妨取/(工)=cos(^x),满足2/(x)f(y)=/(x+y)+/(x-y),

且/'(100)=cos[?詈=cos等=-g,选项。正确.

故选：BCD.

对于4,令x=1,y=0可得/(I)=0,进而判断选项A错误；对于BC,取/(x)=cosx

即可判断；对于。，取/。)=cos©x)即可判断.

本题考查抽象函数及其运用，考查运算求解能力，解题的关键是寻找满足特征式的常见

函数，进而简化思维过程，提高解题效率，属于中档题.

13.【答案】任意x€R,使产—ax—3a>0(—12,0)

【解析】解：命题p：”存在x6R,使/一一3aW0”为特称命题,

所以命题P的否定为：任意xeR,使M-ax-3a>0；

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由P为假命题，则「P为真命题，

所以/=a2-4x(—3a)<0,解得—12<a<0,

故答案为：任意xeR,使/-ax-3a>0；(-12,0).

根据特称命题的否定为全称命题即可写出命题P的否定，p为假命题，则p为真命题，从

而可得出答案.

本题考查命题的否定，属于基础题.

14.【答案】1500

【解析】

【分析】

本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题.

△ABC中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得AC；在△力MC中，利用正弦定理

求得AM；再在Rt/kAMN中，根据MN=4M-sin4MAN,计算求得结果.

【解答】

解：在△ABC中，•••Z.BAC=45°,

/.ABC=90。,BC=1000,

AC==IOOOA/2,

Sin45°

又因为在44MC中,4MAe=75°,/.MCA=60°,

/.AMC=45°,

由正弦定理可得*-=幽史，

sin600sin450

解得4M=1000V3.

所以在RtAAMN中，

MNAM-sin^MAN=1000V3xsin600=1500.

故答案为1500.

15.【答案】217r

【解析】解：依题意可知，当侧面S4B1底面力BCD时，四棱锥S—4BCD的体积最大.

设球心为。，半径为R,正方形4BCD和△S48外接圆的圆心分别为。「。2，

正方形4BCD外接圆半径为则。/I平面4BCD,。。？J•平面S4B.

因为ASAB和正方形4BCD的边长均为3,设4B的中点为E,

所以001=02E=1SE=争0]B=q=

由勾股定理得R2=0B2=001+疗=(当)2+(誓)2=?

所以球。的表面积S=4TIR2—217r.

故答案为：217r.

根据题意可知侧面SABI底面力BCD,然后结合图形由底面外接圆半径、球心到底面的

距离和球的半径满足勾股定理可得.

本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题.

16.【答案】①②④

【解析】解：因为函数y=W的图象关于直线丁=

x对称，

a,0是函数y=2才和y=log2%的图象与函数y=

三的图象的交点的横坐标，

X—1

因此易知a=log20,0=2a.又0=合=1+三，

(a-1)05-1)=1,

即a/?=a+。，因而①，②均正确；

又a+/?=a+-j=a-l+-L+224,当且仅当a-1=二二，即a=2时等号成立，

厂a-1a-1a-1

但"2)=a-22=-2¥°，因而a#2,上式等号不成立，所以a+/?>4,③不正

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确.

记/'(|)=3—25=3—遮>0，f(2)——22=—2<0,因此|<a<2,

而函数/i(a)=a-/?=a-E=a-l-三在区间(1,+8)上单调递增，

所以/i(a)>/1(|)=:一2>-2,所以④正确.

故选：①②④.

函数'=W的图象关于直线旷=》对称，戊，0是函数y=2》和y=log2%的图象与函数

y=六的图象的交点的横坐标，则有a=log20，0=2%0=三=1+三,直接变

形判断①②；利用基本不等式判断③；由零点存在定理，可得|<a<2,构造函数

/i(a)=a-/?=a-l—W，确定单调性,再计算函数值九(|),最后利用单调性判断④.

本题考查了函数的零点、函数的单调性及对称性、基本不等式的应用，也考查了数形结

合思想，属于中档题.

17.【答案】解:⑴由(0.005+0.010+0.015x2+a+0.030)x10=1,解得a=0.025,

(2)45X0.05+55X0.15+65x0.3+75x0.25+85x0.15+95x0.1=71,故本次

防疫知识测试成绩的平均分为71,

(3)设受嘉奖的学生分数不低于支分，因为［80,90),［90,100］对应的频率分另U为0.15,0.1,

所以(90-x)X0.015=0.1,解得x=等b83.3.

故受嘉奖的学生分数不低于83.3分.

【解析】(1)由频率之和等于1得出a的值；

(2)由频率分布直方图数据计算平均数即可；

(3)设受嘉奖的学生分数不低于久分，由(90-%)x0.015=0.1得出支.

本题考查频率分布直方图，属于基础题.

18.【答案】解：(I)由题意，可得

/(%)=2sin(Dxcosa)x+2V3sin2a)x—V3

=sin2a)x—V3cos2a>x=2sin(2a)x—》

•••函数的最小正周期为兀，.•.普=?r,解之得3=1.

23

由此可得函数的解析式为f(x)=2sin(2%-=).

令2kn—<2%—<2kn+三,解之得ZCTT-^-<x<kn+—,kEZ

23L1212

••・函数f(x)的单调增区间是出兀一2而+蜘，kez.

(口)将函数f(x)的图象向左平移擀个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=/(无+》+

1的图象，

71

v/(x)=2sin(2x--)

・•・g(x)=2sin[2(x+-)--]4-1=2sin2x+1,

63J

令g(%)=0，得si/i2x=—i,可得2%=2kn+3或2%=2kn+—(kGZ)

266

解之得X=kn+工或X=k兀+詈(kez).

若y=g(x)在[0,句上至少含有10个零点，

则b的最小值为47r+

【解析】本题考查三角函数的性质以及零点，着重考查了二倍角公式、辅助角公式等知

识，属于中档题.

(I)根据二倍角公式与辅助角公式化简得/(X)=2s)(23%一》,利用周期公式算出3=

1,得函数解析式为/(X)=2sin(2x-$.再由正弦函数单调区间的公式，解关于X的不等

式即可得到函数〃X)的单调增区间；

(II)根据函数图象平移的公式，得出函数g(x)的解析式为g(x)=2s讥2x+1.由此解

g(x)=0解出久=/ot+"或x=卜兀+詈(keZ),即可算出b的最小值.

19.【答案】(1)证明：连接4c交BD于点。，连接MO,

由正方形ABCD知。为AC的中点，

为PC的中点，

•••MO//PA,

vMOu平面MB。，PAC平面MB。,

第18页，共23页

PA〃平面MBD;

(2)解：•.•平面ABC。与正三角形4DP所在平面互相垂直，平面4BCDn平面ADP=A。，

Q是4。的中点，

•••PQA.AD,PQu平面4DP,

PQJL平面ABCD,

由题易知PQ=2V3,

多面体P-4BC。的体积=工x4x4x273=—:

33

(3)解：存在点N,当N为4B中点时，平面PQB，平面PNC,

•••四边形力BCD是正方形，Q为AD的中点，;BQ1NC.

由(2)知，PQ1平面4BCZ),NCu平面4BCD,PQ1NC,

又BQCPQ=Q,PQ,BQu平面PQB,

NC，平面PQB,

vNCu平面PCN,

二平面PCN1平面PQB.

【解析】本题考查直线与平面平行的证明，考查四棱锥体积的求法，考查平面与平面垂

直的证明，属于中档题.

(1)连接AC交8。于点0,连接M。，由正方形4BCD知。为4c的中点，由M为PC的中点,

知M0〃PA,由此能够证明PA〃平面MB。；

(2)利用棱锥的体积公式，可得结论.

(3)存在点N,当N为48中点时，平面PQ8平面PNC.由四边形ABCD是正方形，Q为AD

的中点，知BQ1NC,由此能够证明平面PCN平面PQB.

b_c

20.【答案】解：(1)证明：由正弦定理知,2R,

sinZJlBCsxnLACB

b=2Rsinz.ABC,c=2RsinZ-ACB,

•・•b2—ac,

:.b•2Rsin乙ABC=a•2RsinZ.ACB,

^bsinZ-ABC=asinC,

•・•BDsinZ.ABC=asinC.

・•・BD=b；

(2)由⑴知BD=b,

-AD=2DC,

DC=”,

8。2+心-482_b2+©b)2_c2_13b2-九2

在△中,由余弦定理知,

ABDcosZ.BDA=2BDAD~2b-b—12b2

沙+亦一8小_炉+(驯2.210户一9a2

在4CBD中,由余弦定理知，COSZ.BDC=-6^2-

2BDCD2b-b

3

vZ.BDA+Z.BDC=7T,

・•・cosZ-BDA+cos乙BDC=0,

2222

nn13d-9c.10b-9a八

即--1-2Kb2----1-----6-bK2-=0，

得11炉=3c2+6a2,

,:b2=ac,

・•・3c2—llac+6a2=0,

・•・c=3a或c=|a，

在△ABC中，由余弦定理知，cos4aBe=M+'f2=a-c,

2aclac

当c=3a时，cosZ.ABC=7>1(舍)；

当c=|a时,cosZ-ABC=~

综上所述，cos乙4BC=W

【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理，难度不大.

(1)利用正弦定理求解；

(2)要能找到隐含条件：NBD4和480c互补，从而列出等式关系求解.

21.【答案】解：(I)证明：连接&E,如图所示，

因为=&C,点E是棱AC的中点，所以&E1AC,

又平面AACC11平面ABC,&Eu平面/“1，平面4遇"1n平面ABC=AC,

所以&EJ_平面4BC,

又4cu平面力BC,所以&E1AC,

以E点为坐标原点，平面ABC内过点E作AC的垂线为x轴，EC、E公所在直线分别为y、z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,

第20页，共23页

X

由题意知/ABC=90°,NB4C=30°,AtA=41c=AC,点E、F分别是棱4C、力】当的

中点，

设4遇=ArC=AC=4,则4E=EC=BE=2,AB-ACcos30°-2A/3>&E=

V42-22=2V3.

所以点B到x轴的距离为BEsin30。=1,点B到y轴的距离为ABsin30。=6，

则4(0,-2,0),C(0,2,0),%(0,0,2®

B(V3,l,0).B式祗3,2百)，F除|,2百)，

所以乔=(今|,2我)，BC=(-73,1,0).

因为而-BC=yx(-V3)+|x1+2A/3x0=0，所以EF1BC.

(n)设直线EF与平面&BC所成角为。，

由(I)得前=(-75,1,0)，曜=(0,2,-2百)，£F=(y,|,2V3).

所以I前I=j(y)2+(j)2+(2V3)2=715-

设平面4BC的法