组合数学 常系数线性非齐次递推关系

组合数学常系数线性非齐次递推关系第一页，共十八页，2022年，8月28日3.3.1非其次递推关系常系数线性非其次递推关系

an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k＋F(n)()

其中c1,c2,…,ck是实数常数，ck≠0；

F(n)是只依赖于n且不恒为0的函数。相伴的齐次递推关系

an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k()第二页，共十八页，2022年，8月28日3.3.1非其次递推关系定理

若an＝x(n)为递推关系(3.3.1)相伴的齐次递推关系()的通解，an＝y(n)为递推关系()的一个特解，则an＝x(n)＋y(n)为递推关系()的通解。第三页，共十八页，2022年，8月28日3.3.1非其次递推关系定理

设常系数线性非齐次递推关

an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k＋F(n)

其中c1,c2,…,ck是实数常数，ck≠0；且F(n)＝(btnt＋bt-1nt-1＋…＋b1n＋b0)Sn

其中b1,b2,…,bt和S是实数常数。当S是相伴的线性齐次递推关系的特征方程的m(m≥0)重根时，存在一个下述形式的特解：

an＝nm(ptnt＋pt-1nt-1＋…＋p1n＋p0)Sn

其中p1,p2,…,pt为待定系数。第四页，共十八页，2022年，8月28日3.3.2举例

解递归解(1)相伴齐次递推关系an＝an-1(☆)(☆)的特征方程x－1＝0(☆)的特征根x＝1(☆)的通解an＝a×1n＝a(a为任意常数)第五页，共十八页，2022年，8月28日3.3.2举例(2)由于F(n)＝n＝n×1n且s＝1是(☆)的1重根，所以得(＊)的一个特解形如an＝n1(p1n＋p0)1n(p1,p0为待定系数)代入a1＝1，a2＝3得第六页，共十八页，2022年，8月28日3.3.2举例故得(＊)的一个特解

an＝n1(n＋)1n＝n2＋

n

(3)(＊)的通解

an＝a＋n2＋

n(a为任意常数)

代入a1＝1得a＝0

(4)求得递归的解an＝n2＋

n第七页，共十八页，2022年，8月28日3.3.2举例例3.3.2解Hanoi问题的递归，即解(1)相伴齐次递推关系an＝2an-1(☆)(☆)的特征方程x－2＝0(☆)的特征根x＝2(☆)的通解an＝a×2n(a为任意常数)第八页，共十八页，2022年，8月28日3.3.2举例(2)由于F(n)＝1＝1×1n且s＝1是(☆)的0重根，所以得(＊)的一个特解形如an＝n0×p×1n＝p(p为待定系数)代入(＊)得p＝－1故得(＊)的一个特解an＝－1第九页，共十八页，2022年，8月28日3.3.2举例

(3)(＊)的通解

an＝a×2n－1(a为任意常数)

代入a1＝1得a＝1

(4)求得递归的解an＝2n－1第十页，共十八页，2022年，8月28日3.3.2举例定理若an＝x(n)和an＝y(n)分别是递推关系

an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k＋F1(n)an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k＋F2(n)

的解，其中c1,c2,…,ck(ck≠0)是实数常数，F1(n)与F1(n)是只依赖于n且不恒为0的函数，

则an＝x(n)＋y(n)为递推关系

an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k＋F1(n)＋F2(n)

的解第十一页，共十八页，2022年，8月28日3.3.2举例

解递归解(1)相伴齐次递推关系an＝3an-1(☆)(☆)的特征方程x－3＝0(☆)的特征根x＝3(☆)的通解an＝a×3n(a为任意常数)第十二页，共十八页，2022年，8月28日3.3.2举例(2)分别求an＝3an-1＋3×2n(

)an＝3an-1－4n(△)的一个特解(

)的一个特解形如b×2n(b为常数)

将其代入(

)得b＝－6

故求得(

)的一个特解an＝－6×2n类似求得(△)的一个特解an＝2n＋3故求得(＊)的一个特解an＝－6×2n＋2n＋3第十三页，共十八页，2022年，8月28日3.3.2举例

(3)(＊)的通解

an＝a×3n－6×2n＋2n＋3(a为任意常数)

(4)代入a1＝8得a＝5。故求得递归的解