平面几何强化训练题集：初中分册数学练习题

目录

第1章全等三角形..........................................................1

第2章相似三角形.........................................................25

第3章圆的性质及应用.....................................................48

第4章面积问题与锐角三角函数.............................................74

第5章四点共圆...........................................................83

第6章三角形的“五心”...................................................96

第7章重要定理的应用....................................................105

第1章全等三角形

1.如图1.1所示，在AABC中，AB=AC,点。在川上，点E在AC的延长线上，BD=CE,延长CB

至点尸，使8F=CB.直线£3与。尸交于点P.求证：PB=PF.

2.如图1.2所示，点。在A48C内，DB=DC,过点B作乙4DB的平分线的垂线，垂足为点E,过点C

作NAOC的平分线的垂线，垂足为点尸.求证：EF//BC.

3.如图1.3所示，点。是AABC内部一点，AB=AC,

A

4.如图1.4所示，在凸四边形ABCQ中，BC=CD,AC平分NSW,试探究N5与NO的数量关系,

并证明你的结论.

A

5.如图1.5所示，在&4BC中，ABwAC.点。在NBAC的外角NCAE的平分线上，且。B=OC.求证:

ZABD=ZACD.

图1.5

6.如图1.6所示，在AABC中，点Q,E分别在边AC,Afi上，且4)=他，BD=CE.求证：AB=AC.

7.如图1.7所示，在AABC•中，点E,3分别在BC的延长线及反向延长线上，ZABD=2ZACE,AF

是角平分线.求证：AB-BF=AC.

2

A

图1.7

8.如图1.8所示，在AA8C中，NACB=NBAC+2NB,A£>_LBC于点£).求证：AB-BC=2CD.

9.如图1.9所示，在AA8C中，NA=3NC,8c=2A8.求证：ZBAC=90°.

10.如图1.10所示，在AABC中，AB=AC,点O是4c的中点，已知NABO=30。.求证：AA8C是等

边三角形.

11.如图1.11所示，在四边形A8C。中，ZB=2ZD.AC平分NBCD.求证：AB+BC=CD.

3

图1.11

12.如图1.12所示，在AA8C中，AB=AC,NA=20。，NABC的平分线交AC于点。.求证:

AD=BEU-BC

图1.12

13.如图1.13所示，在四边形A8C。中，AB=AD，NB=ND=90。.点E,尸分别在BC,CD±.,

求证：BE+DF=EF.

2

图1.13

14.如图1.14所示，在四边形ABCO中，AB=BC,NABC=NBC£>,延长BC至点G.点E在BC上，CF

平分"CG,且NAEF=48C.求证：AE=EF.

4

15.如图1.15所示，在R/A4BC中，ZC=90°,NA=30。，CE,AF是角平分线，点。在AC上，CD=CF.

求NCED.

A

16.如图1.16所示，在RtAABC中，NC=90°,N4=30°.点。，E,■分别在边AC，AB,BC上,AE=AC,

AF平分NBAC,CD=CFZCED.

17.如图1.17所示，在AA8C中，NB=2NC,点。为BC的中点，NBAO=2NCAO.求证：ZBAC=900.

5

B

图1.17

18.如图1.18所示，在“8C中，点。，E分别在8c的延长线及反向延长线上，ZABE=2ZACD,

ADJ.AC.求证：CD=2AB.

19.如图1.19所示，在四边形A8CO中，AE_L5。于点E,CF■!B。于点尸，点p为AC的中点.求证:

PE=PF.

图1.19

20.如图1.20所示，在锐角AABC中，点。是BC的中点，。后，人（;于点£,于点P,BE=CF.

求证：AB=AC.

6

A

21.如图1.21所示，在R/AABC中，斜边AB和直角边BC上各有一点。，E,使得AO=AC,CE=2BD.

CO_LOE.求证：AC=BC.

22.如图1.22所示，在等边&48c中，点。在边钻上，点E在CB的延长线上，满足4)=8".求证:

CD=ED.

23.如图1.23所示，在AABC中，ZA=100°,ZACB=30°,延长AC至点。，使CD=AB.求NCDB.

图1.23

7

24.如图1.24所示，在Rf&ABC中，N8AC=90°,点。，E分别在AB,AC上，NAOE=NAC8.从点

A,E分别引直线C。的垂线，分别交边BC于点尸，G.求证：BF=FG.

图1.24

25.如图1.25所示，在A4BC中，A8=AC,点。在射线.上，。£，4(7于点后，NCDE=NABC.

求证：BD=2AE.

图1.25

26.如图1.26所示，在R/A4BC中，ZACB=90°,NABC=30。.点。，E分别在BC,AC上，满足

ZBAD=40°,ZABE=20°ZADE.

图1.26

27.如图1.27所示，在菱形ABC。中，点E是AD的中点，点尸在AD上，满足8尸=CD+OF.求证:

ZABE^-ZFBC.

2

8

BD

图1.27

28.如图1.28所示，在AABC中，ZBAC=60°,NC=20。，点。在BC上，且NBA。=20。.求证:

AB+AD=DC.

BD

图1.28

29.如图1.29所示,在中，AB=AC,以点A为直角顶点，AC为一腰在AABC外侧作等腰RtAACD.

作CE〃AB,交4）于点E,与4c交于点尸.求证：AE+AF=CE.

图1.29

30.如图1.30所示，在A48c中，AZ）是角平分线，且AC=AB+BD,C。=A8+A。.求AA8C各角.

A'

图1.30

31.如图1.31所示，在&48c中，点。在BC上，点E在AC的延长线上,AC=AB=8力=DE,CD=CE.

求证：NA=100。.

9

A

E

图1.31

32.如图1.32所示，在所AABC中,NA=90。,NB=75。，点。为BC的中点，点E为AC上一点，AE=AB.

求ZBDE.

BD

图1.32

33.如图1.33所示，在AABC中，AB=AC,点。在AC上，AD=BD+BC,NBDC=60。.求证：

ABAC=20°.

A

1

BC

图1.33

34.如图1.34所示，在A4BC中，Zfi=45°,NC=3()o.B。是边AC上的中线.求483.

A

BC

图1.34

35.如图1.35所示，在凸四边形ABCD中，BC=CD,ZADB=30°,Z.ABD-ZDBC=60°Z.CAD.

10

A

C

图1.35

36.如图1.36所示，在用A4BC中，AB=AC,点P为三角形内一点，/尸8C=NPCA=30。.求N&4P.

A

图1.36

37.如图1.37所示，在MBC中，NBACZ2。，4B=AC,点。在8C的延长线上，BD=AB.作DE//AB,

交4c的延长线于点及求N的D.

A

图1.37

38.如图1.38所示，在A48C中，AB=AC，点D,E分别在边BC,AC上，满足A£)_LBE,AE=AD=CD.

求证：ZBAC=100°.

11

A

图1.38

39.如图1.39所示，在AA8C中，AB=AC,CH是腰钻上的高线，高足”在上，点。在CH上,

延长30,交AC于点E.已知至=3E,">=A£•.求证：ZB4C=80°.

图1.39

40.如图1.40所示，在AABC中，ZBAC=100°,AB=AC,点。在BC上，满足孔>=他.作,

交AC于点E.求NB£D.

图1.40

41.如图1.41所示，在A/18c中，Z/i=45°,NC=15。，点力在BC上，满足NCW=45。.求证：CD=2BD.

A

图141

42.如图1.42所示，在A4BC中，AB=AC,NBAC=100。，点p在AA8C内，^PAB=25°,ZPBA=30°.

求ZACP.

12

A

图1.42

43.如图1.43所示，在AA8C中，A8=AC,点。为AC或其延长线上的一点，满足NA£>B=60。，在直

线53上取点E,使CE=CB.连接求证：ZAEC=30°.

（注：若点。在CA的延长线上，则满足NAOB=120°.）

图1.43

44.如图1.44所示，在AABC中，ZACB>90°,NBAC及其外角的平分线分别交射线BC于点。，£.

已知2AB=BD+BE,求证：ZACB=90°+-ZABC.

2

45.如图1.45所示，/为M8C的内心，点E,尸分别在3/,C7的延长线上，满足=".A。_L8C

于点。，交EF于点K.求证：AK^r（r为AA8C的内切圆半径）.

13

A

图1.45

46.如图1.46所示，在AA8C中，ZABC<60°,ZACfi=30°,点。在AABC内部，DB=DC,

ZABC+NDBC=60°.求ACAD.

47.如图1.47所示，在菱形ABC。中，乙48c=78。，点E为菱形内的一点，满足NEW=21。，ZEDA=9°.

求证：ABCE是等边三角形.

图1.47

48.如图1.48所示，以AB,AC为斜边在&ABC外侧分别作Rt\ABD,Rt\ACE,且ZABD=ZACE=30。,

点尸是BC的中点.求证：4无尸是正三角形.

图1.48

14

49.如图1.49所示，点。是AA8C内部一点，AB=AC,NO8C=NACO.点M是8c的中点，点E,F

分别在OB,DC上，且NEMF=9()。.求证：NEAF=-NBAC.

2

;A

BMC

图1.49

50.如图1.50所示，在A43C中，,48=AC,点。为BC或BC的延长线上的一点，满足NADB=60。.

延长45至E,使DE=DB,连接(求证：CE=AC.

A

/

E

(a)(b)

图1.50

51.如图1.51所示，在AABC中，ZB=30°,ZC=15°,AZ)是中线.求ND4C.

52.如图1.52所示，在AABC中，AB=AC,NBAC=80。，点。在8c上，NR4O=50。，点E在AC上,

15

NABE=30。，求/WE.

A

53.如图1.53所示，在AA8C中，NACB=2NABC,点Q,E都在BC上，点尸在AE上，满足CF，AE,

BFLFD,且NDFE=NABC.求证：I3D=2CD.

54.如图1.54所示，在AABC中，点E,£）分别在BC的延长线及反向延长线上.NA8£>=2NACE,

AEJ.BC,点M是8c的中点.求证：ME=-AB.

2

图1.54

55.如图1.55所示，在AA3C中，点。为4?的中点，点E为AC上的一点，且=.求证:

2

AE=BC+CE.

16

图1.55

56.如图1.56所示，。是OABC。的对角线的交点，AE为NBAC的平分线，交BC于点E.DH于

点”，交于点F,交AC于点G.求证：BF=2OG.

57.如图1.57所示，在OA8CO中，点E是/W的中点，8P_LCE于点P.求证：AP=AB.

58.如图1.58所示，在AABC中，点0是BC的中点，点E,尸分别在钻，AC上，BE=CF,AQ交

EF于点G,且点G是所的中点.求证：AB=AC.

59.如图1.59所示，4）是&4BC的边8C上的中线，点E,尸分别是AC,A£＞的中点，DH_LBF于

17

点”.求证：HE=-AB.

2

60.如图1.60所示，在&48c中，AB=AC,_LBC于点。，点E在54的延长线上，点尸在线段AC

上，AE=CF.求证：EF>AD.

:

BDC

图1.60

61.如图1.61所示，在四边形ABC。中，对角线AC与5。交于点。，且08=0。，BC,4）的中点分

别为点E,凡求证：AC平分线段EE

D

二

BEC

图1.61

62.如图1.62所示，在锐角A4BC中，A8>4C,点M为8c的中点,4短，8C于点。，于

点、E,交A£>于点尸.点尸为瓦'的中点.求证：APLBE.

18

A

63.如图1.63所示，在凸五边形A8CDE中，NABC=NAEQ=90。.点尸，G分别在边BC,上，满

足4尸J.BG,AGJ.EF.求证：AB=AE.

64.如图1.64所示，点A,。在直线8c的同侧，N8AC=N8OC=90。.点E,尸分别在3D,AC上,

满足。尸，CE.求证：AFAC=DEDB.

65.如图1.65所示，在AA8C中，AB=AC,

交BC于点。.求证：DE2-BE2=DF2-CF2.

19

A

BDC

图1.65

66.如图1.66所示,在RrAABC中,ZBAC=90°,于点。，设4）斗,&48C的外接圆半径、

内切圆半径分别为/?,r.求证：/?4（应-1）R+仿.

A

图1.66

67.如图1.67所示，在AABC中，点。，£分别为边AB,AC上的点，BD=CE.BE与CD交于点、0.

求证：AB=AC.

A

;

BC

图1.67

68.如图1.68所示，在&4BC中,ZABC=60°,N4CB=70。.点。，E分别在边AC,A8上，满足

NDBC=NECB=40°.求ZBDE.

20

A

图1.68

69.如图1.69所示，在A48C中，点。为BC的中点，点尸在八4的延长线上，点E，尸分别在边AB,

AC上，BE=CF,庄=所.求证：AB=AC.

70.如图1.70所示，线段AB与线段CO垂直相交，A8=C£>=a.求证：AD+BC>41a-

图1.70

71.如图1.71所示，己知AM=AN,BF=CE,FN=EM.求证：AB=4C.

21

A

图1.71

72.如图1.72所示，在M8C中，点。，E分别在4?,4c上，8。=CE.延长和反向延长BC至点G和

F,使BF=CG.已知NF=NG.求证：AB=AC.

73.如图1.73所示，在A4BC中，点£),E分别在A3,AC上，AD=AE,4DCB=NEBC.求证：AB=AC.

图1.73

74.如图1.74所示，在A43C中，AB>AC,P为三角形内的一点，NBA?<NCAP.求证:

AB-AC>PB-PC.

75.如图1.75所示，在凸四边形4BC。中，对角线4c与3。交于点。，AB+AC=D8+OC,OB>OC.

求证：0A>O£>.（改编题.原题的条件为AB=AC,本题改为OB>OC.）

22

A

76.如图1.76所示，在AABC中，AB=AC,点。为8c（或BC的延长线）上的一点，满足NAE>8=60。,

在AD（或AD的延长线）上取点E，使OE=OC.连接3E.求证：BE=AB.

77.如图1.77所示，在四边形A8CD中，AB=AC,NACO=NOBC=30。.求证：ZBAC=2ZCAD.

图1.77

78.如图1.78所示，在等边A4BC中，点。在边A3上，点E在C8的延长线上，满足AD=BE.点、F是CD

的中点.求证：AFLEF.

79.如图1.79所示，在AABC中，A8=AC,NBAC=80。，点。在BC上，NBA。=50。，点E在AC上,

ZABE=40°.求NADE.

23

A

80.如图1.80所示，在AA3C中，点加，N分别在钻，AC上，AM=AN,点£),E在8c上,

8O=CE＜」8C已知N8MD=NCNE,求证：AB=AC.

2

24

第2章相似三角形

1.如图2.1所示，在R/&4BC中，ABAC=90°,AD,8c于点。.求E,尸分别在射线4?，。上，满

BEAB

足"£＞尸=90。.求证：一

AF~AC

图2.1

2.如图2.2所示，在AABC中，AB=c,BC=a,AC=6.点£,。分别在BC的延长线及反向延长线

上，NA8D=2NACE.求证：c2-b2=ac.

图2.2

3.如图2.3所示，在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,延长BC至点。，使。=BC.点E在AC上,

AE=gAC.3E交相＞于点尸.求庄.

48=40延长5(7至点。，使C£＞=:8C，点E是AC的

4.如图2.4所示，在A4BC中，ZBAC=90°,

2

中点，BE与AD交于点、F.求〃\FE.

25

A

5.如图2.5所示，在AA8C中，点。在A3上，满足NA8=NB,点P是C。的中点，A尸交BC于点E，

EF//CD,交A8于点E.求证：EF2=CEBE.

6.如图2.6所示，点C,。在线段A3上，AC=BD,点E,尸在A3的同侧，JiZA=ZB=ZECF=a.

求证：ZEDF=a.

7.如图2.7所示，在RfAABC中，N8=90。，点。是8c的中点，点E在4c上，AE=2CE.求证:

ZADB=ZCDE.

Ar3

8汝口图2.8所示，在8c中,ZC=90°,—=-,斜边4?和直角边BC上各有一点。，E,满足

BC4

AO=AC=CE.求证：CDLDE.

26

图2.8

9.如图2.9所示，在R/AA8C中，A8=AC,点。是AC的中点，点E在Afi上，满足ZAOE=N08c.

求若的值.

图2.9

10.如图2.10所示，在Rf&48c中，Z4=90°,A8:AC=3:4,点。在AC上,4D:AC=1:4,点E在

ABh,满足ZAED=NOBC.求AE:EB的值.

图2.10

11.如图2.11所示，在梯形A8CQ中，AD//BC,AC与皮）交于点。，点E,尸在BC上，BE=CF.

E。与CD交于点G,尸。与84交于点”.求证：HG//AD.

图2.11

12.如图2.12所示，在AABC中，AD为边BC上的中线，点E为直线AD上的一点，作E尸〃BC,交4?

于点F.点P为直线BC上的一点，PF与CE交于点G,PE与AC交于点”.求证：GH//BC.

27

A

13.如图2.13所示，在AA8C中，">为角平分线，点M为BC的中点，延长CA至点E,使的=加，

直线与AD交于点F.求证：BF=BD.

14.如图2.14所示，在梯形ABC。中，AD〃BC,点P是BC上的任一点，作尸E〃4C，交AB于点E,

PF//BD,交DC于点、F，FG//BC,交AB于点G.求证：AG=BE.

别交BC,BD于点、F,G.求证：—

28

16.如图2.16所示,在梯形ABCD中，AD//BC,点、P是直线4）上的一点，过点尸的另一直线分别交回,

CD于点、E,F,BF,CE分别交直线相＞于点”，G.求证：PGPH=PAPD.

图2.16

17.如图2.17所示，在凸四边形ABCD中，/84。=/4。（7,边8（7上存在点片，满足8£=谡，CE=CD.

作EF〃AB,分别交AC,4）于点G,凡求证：EG=GF.

18.如图2.18所示，在定四边形ABC。中，点p是直线8c上的动点，PE〃AC,交4?于点E,PF//BD,

EG

交CD于点F，EF与BD,AC分别交于点G,".求证：定为定值.

H卜

19.如图2.19所示，在OABCQ中，点£,尸分别在边BC,以上，满足8£=*点G为直线CO上

的任一点，AG与CF交于点”.求证：BH//EG.

29

•D

Ji

/\3yG

B~~EC

图2.19

20.如图2.20所示，在&48c中，边8c上的中线为4),点尸是CD上的一点.尸E〃AC,分别交4?,

AD于点E,G,PF//AB,交AC于点F.求证：EG=CF.

21.如图2.21所示，已知AABC所在平面上的任一直线/,BD//AC,交I于点、D,CE〃AB,交I于点E,

C。交4?于点M,BE交AC于点N.求证：MN//1.

22.如图2.22所示，在RfA/lBC中，N54C=90。，点。在BC上，ZBAD=60°,4B=C。.求证：ZC=30°.

图2.22

An)々

23.如图2.23所示，在AABC中，点。在边4?上，——=-^•.求证：MCD-AABC.

ABBC2

30

A

图2.23

24.如图2.24所示，在AA8C中，点。是边AB上的一点，42上8=这.求证：AACD-AABC.

AC+BCAB

图2.24

25.如图2.25所示，在M8C中，过点4作乙4BC的平分线的垂线，垂足为点E,过点A作NACB的平

分线的垂线，垂足为点F.8F与CE交于点X,点/是A4BC的内心，点。是BC的中点.求证：X,/,

。三点共线.

26.如图2.26所示，在"BC中，点。，E在边BC上，^EF//AD，交直线AC于点尸，作反;〃Afi,

交4c于点G.求证：BF//DG.

BDEC

图2.26

27.如图2.27所示，在梯形ABCQ中，AD//BC,A8=8C>AD,点E在比）上，NBAE=NBDA,点、F

31

在AB上，AF=AZ).求证：NAEF=NBFC.

D

28.如图2.28所示，在梯形ABC。中，AD//BC,EF//BC,EF分别交AB,CD,BD,AC于点E,

F,H,G.点P在CO上，CP=DF,分别交3。，AC于点R,S.求证：ER=PS.

29.如图2.29所示，在凸四边