八年级数学（上册）压轴题训练47072

可编辑版/八年级数学上册压轴题训练1.问题背景：如图1：在四边形ABC中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°．E,F分别是BC,CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G．使DG=BE．连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是；探索延伸：如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°．E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由；实际应用：如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心〔O处北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离．2.[问题提出]学习了三角形全等的判定方法〔即"SAS"、"ASA"、"AAS"、"SSS"和直角三角形全等的判定方法〔即"HL"后,我们继续对"两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等"的情形进行研究．[初步思考]我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,对∠B进行分类,可分为"∠B是直角、钝角、锐角"三种情况进行探究．[深入探究]第一种情况：当∠B是直角时,△ABC≌△DEF．<1>如图①,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF．<2>如图②,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是钝角,求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等．<3>在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,请你用尺规在图③中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等．〔不写作法,保留作图痕迹<4>∠B还要满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,若,则△ABC≌△DEF．3．有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形,你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法,图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．<1>请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数；〔若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种<2>△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分线,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD=BD,DE=CE,设∠C=x°,试画出示意图,并求出x所有可能的值；4.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：〔画图不要求使用圆规,以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC<1>在图1中画1条线段,使图中有2个等腰三角形,并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是度和度；<2>在图2中画2条线段,使图中有4个等腰三角形；<3>继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段,则图中有个等腰三角形,其中有个黄金等腰三角形．5.在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN过点A且MN∥BC,过点B为一锐角顶点作Rt△BDE,∠BDE=90°,且点D在直线MN上〔不与点A重合,如图1,DE与AC交于点P,易证：BD=DP．〔无需写证明过程<1>在图2中,DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立？如果成立,请给予证明；如果不成立,请说明理由；<2>在图3中,DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等？请直接写出你的结论,无需证明．6.如图,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,点M为DE的中点,过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．<1>当A,B,C三点在同一直线上时〔如图1,求证：M为AN的中点；<2>将图1中的△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时〔如图2,求证：△ACN为等腰直角三角形；<3>将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时,<2>中的结论是否仍成立？若成立,试证明之,若不成立,请说明理由．7.[问题情境]张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1,在△ABC中,AB=AC,点P为边BC上的任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F．求证：PD+PE=CF．小军的证明思路是：如图2,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．小俊的证明思路是：如图2,过点P作PG⊥CF,垂足为G,可以证得：PD=GF,PE=CG,则PD+PE=CF．[变式探究]如图3,当点P在BC延长线上时,其余条件不变,求证：PD－PE=CF.8.在图1、图2、图3、图4中,点P在线段BC上移动〔不与B、C重合,M在BC的延长线上．<1>如图1,△ABC和△APE均为正三角形,连接CE．①求证：△ABP≌△ACE．②∠ECM的度数为°．<2>①如图2,若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形,连接CE．则∠ECM的度数为°．②如图3,若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形,连接CE．则∠ECM的度数为°．<3>如图4,n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形,连接CE,请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系〔用含n的式子表示∠ECM的度数,并利用图4〔放大后的局部图形证明你的结论．9、如图,在△ABC中,点D为边BC的中点,过点A作射线AE,过点C作CF⊥AE于点F,过点B作BG⊥AE于点G,连接FD并延长,交BG于点H

〔1求证：DF=DH；〔2若∠CFD=120°,求证：△DHG为等边三角形．10、已知两等边△ABC,△DEC有公共的顶点C。〔1如图①,当D在AC上,E在BC上时,AD与BE之间的数量关系为______________________；〔2如图②,当B、C、D共线时,连接AD、BE交于M,连接CM,线段BM与线段AM、CM之间有何数量关系？试说明理由；〔3如图③,当B、C、D不共线时,线段BM与线段AM、CM之间的数量关系是_________________。〔不要求证明。3、在△ABC中,∠ACB为锐角,动点D〔异于点B在射线BC上,连接AD,以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF,连接CF．〔1若AB=AC,∠BAC=90°那么①如图一,当点D在线段BC上时,线段CF与BD之间的位置、大小关系是_________<直接写出结论>图二,当点D在线段BC的延长上时,①中的结论是否仍然成立？请说明理由．〔2若AB≠AC,∠BAC≠90°．点D在线段BC上,那么当∠ACB等于多少度时？线段CF与BD之间的位置关系仍然成立．请画出相应图形,并说明理由．4、如图1,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合,将此三角板绕点A旋转,使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC,DC于点E,F,连接EF．

〔1猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系,并证明你的猜想；

〔2在图1中,过点A作AM⊥EF于点M,请直接写出AM和AB的数量关系；

〔3如图2,将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC,E,F分别是BC,CD边上的点,∠EAF=1/2∠BAD,连接EF,过点A作AM⊥EF于点M,试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．

答案1、全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．分析：〔1首先证明∠1=∠2,再证明△DCF≌△DBH即可得到DF=DH；〔2首先根据角的和差关系可以计算出∠GFH=30°,再由∠BGM=90°可得∠GHD=60°,再根据直角三角形的性质可得,HG=HF,进而得到结论．解答：证明：〔1∵CF⊥AE,BG⊥AE,∴∠BGF=∠CFG=90°,∴∠1+∠GMB=∠2+∠CME,∵∠GMB=∠CME,∴∠1=∠2,∵点D为边BC的中点,∴DB=CD,在△BHD和△CED中,∠1＝∠2DB＝CD∠3＝∠4∴△BHD≌△CED〔ASA,∴DF=DH；〔2∵∠CFD=120°,∠CFG=90°,∴∠GFH=30°,∵∠BGM=90°,∴∠GHD=60°,∵△HGF是直角三角形,HD=DF,∴HG=HF=DH∴△DHG为等边三角形．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质,以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,关键是掌握全等三角形的判定定理．2、解：〔1AD=BE〔2BM=AM+CM理由：在BM上截取BM′=AM,连接CM′∵△ABC、△CED均为等边三角形,∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60°∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE即∠BCE=∠ACD∴在△BCE和△ACD中AC=BC∠BCE=∠ACDCE=CD∴△BCE≌△ACD