高考数学一轮复习专题三函数的概念性质与基本初等函数8函数模型及函数的综合应用综合篇课件新人教A版

考点函数模型及函数的综合应用1.几种常见的函数模型考点清单函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)幂函数模型f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0,n≠0)“对勾”函数模型f(x)=x+

(a>0)2.三种增长型函数模型的性质比较函数性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)上的增减性增函数①增函数

②增函数

增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值的增大图象与③

y轴

接近于平行随x值的增大图象与x轴接近于④平行

随α值变化而不同联系存在一个x0,当x>x0时,有logax<xα<ax3.“对勾”函数的性质函数f(x)=x+

(a>0).(1)该函数在(-∞,-

]和[

,+∞)上单调递增,在(-

,0)和(0,

)上单调递减.(2)当x>0时,x=

时取最小值2

;当x<0时,x=-

时取最大值-2

.4.解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数

学知识建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:考法一解函数应用题的方法知能拓展例1

(2020山东潍坊期中)在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某医疗设备公司生产某医疗器材,已知每月生产x台(x∈N*)的收益函数为R(x)=3000x-20x2(单位:万元),成本函数C(x)=500x+4000(单位:万元),该公司每月最多生产100台该医疗器材(利润函数=收益函数-成本函数).(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(2)此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大,最大值为

多少?(精确到0.1)(3)求x为何值时利润函数P(x)取得最大值,并解释边际利润函数MP(x)的

实际意义.解析(1)由题意知,x∈[1,100]且x∈N*,P(x)=R(x)-C(x)=3000x-20x2-(500x+

4000)=-20x2+2500x-4000,MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-(-20x2+2500x-4000)=2480-40x.(2)每台医疗器材的平均利润为

=-

+2500≤-400

+2500,当且仅当x=10

时等号成立.因为x∈N*,所以当每月生产14台机器时,每台的平均利润约为1934.3万

元,每月生产15台时,每台的平均利润约为1933.3万元,故每月生产14台

时,每台医疗器材的平均利润最大,为1934.3万元.(3)P(x)=-20x2+2500x-4000=-20(x-62.5)2+74125,由MP(x)=2480-40x≥0,得x≤62,此时P(x)随x的增大而增大,由MP(x)=2480-40x≤0,得x≥62,此时P(x)随x的增大而减小,∴x=62或63时,P(x)取得最

大值.MP(x)反映了产量与利润增量的关系,从第二台开始,每多生产一台

医疗器材利润增量在减少.方法总结一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略单一考查一次函数或二次函数模型.解决此类问题应注意三点:(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切

注意函数的定义域,否则极易出错;(2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法;(3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.例2

(2021届山东枣庄三中第一次月考,21)2020年某开发区一家汽车生

产企业计划引进一批新能源汽车制造设备,通过市场分析全年需投入固

定成本5000万元,生产x(百辆),需另投入成本C(x)万元,且C(x)=

由市场调研知,每辆车售价8万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出2020年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;(2)2020年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.解析(1)由题意,知L(x)=

(2)当0<x<50时,L(x)=-10(x-30)2+4000,当x=30时,L(x)max=L(30)=4000;当x≥

50时,L(x)=-

+4000,∵x+

≥2

=200,当且仅当x=

,即x=100时等号成立,∴L(x)max=L(100)=3800.综上,2020年产量为30百辆时,企业所获利润最大,且最大利润为4000万元.方法总结1.解决分段函数模型问题应关注以下三点:(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车车费与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解;(2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理不重不漏;(3)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.2.函数y=ax+

模型的应用(1)明确对勾函数是由正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=

叠加而成的;(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+

的模型,有时将所列函数解析式转化为f(x)=ax+

的形式;(3)关注函数的定义域,取得最值时等号成立的条件.例3

(2021届山东枣庄三中第一次月考(9月))2019年7月,中国良渚古城

遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认

可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.

考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减

少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满

足N=N0·

(N0表示碳14原有的质量),则经过5730年后,碳14的质量变为原来的

;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来

的

至

,据此推测良渚古城存在的时期距今约在

年到5730年之间.(参考数据:log23≈1.585,log25≈2.322)解析当t=5730时,N=N0·2-1=

N0,∴经过5730年后,碳14的质量变为原来的

.令N=

N0,则

=

,∴-

=log2

=log23-log25≈1.585-2.322=-0.737,∴t=0.737×5730≈4223,∴良渚古城存在的时期距今约在4223年到5730年之间.答案

;4223方法总结应用指数函数模型的关注点:(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查,在实际问题中

有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型

来解决.(2)应用指数函数模型的关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关

数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型.(3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.例4某店销售进价为2元/件的产品A,该店产品A每日的销售量y(单位:千

件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=

+4(x-6)2,其中2<x<6.(1)若产品A销售价格为4元/件,求该店每日销售产品A所获得的利润;(2)试确定产品A的销售价格,使该店每日销售产品A所获得的利润最大.

(保留1位小数)解题导引

(1)(2)解析(1)当x=4时,y=

+4×(4-6)2=21,此时该店每日销售产品A所获得的利润为(4-2)×21=42千元.(2)设该店每日销售产品A所获得的利润为f(x)千元,则f(x)=(x-2)·

=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6),从而f'(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6).令f'(x)=0,得x=

,易知在

上,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;在

上,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.所以f(x)在x=

处取得极大值,即最大值.所以当x=

≈3.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格为3.3元/件时,利润最大.方法总结解决函数模型的实际应用题,首先应考虑该题考查的是何种

函数,并要注意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其

实际意义作出解答.明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础:

经典例题以下为教师用书专用例

(2020海南天一大联考一模,8)如图,矩形花园ABCD的边AB靠在墙PQ

上,另外三边是由篱笆围成的.若该矩形花园的面积为4平方米,墙PQ足够

长,则围成该花园所需要篱笆的

()A.最大长度为8米

B.最大长度为4

米C.最小长度为8米

D.最小长度为4

米解析设BC=a米,CD=b米,则ab=4,所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为2a+b=2a+

≥2

=4

,当且仅当2a=

,即a=

时取等号.故选D.答案

D例某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资

成正比,其关系如图①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系

如图②(注:利润和投资单位:万元).(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部资金投入A,B两种产品的生

产中.①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?②如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其

最大利润为多少万元?解析(1)设A,B两种产品都投资x万元(x≥0),所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元,由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2

,根据题图可得f(x)=0.25x(x≥0),g(x)=2

(x≥0).(2)①由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2

=6,故总利润y=8.25(万元).②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元,则y=

(18-x)+2

,0≤x≤18.令

=t,t∈[0,3

],则y=

(-t2+8t+18)=-

(t-4)2+

.故当t=4时,ymax=

=8.5,此时x=16,18-x=2.所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该

企业获得最大利润8.5万元.例为了迎接世博会,某旅游区提倡低碳生活,在景区提供自行车出租.该

景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115

元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;

若超过6元,则每超出1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆

自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须

高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出

租自行车的总收入减去管理费用后的所得).(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域;(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多?解析(1)当x≤6时,y=50x-115.令50x-115>0,解得x>2.3.∵x∈N*,∴3≤x≤6,x∈N*.当x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115.令-3x2+68x-115>0,有3x2-68x+115<0.解不等式得2≤x≤20(x∈N*),∴6<x≤20(x∈N*),故y=

定义域为{x|3≤x≤20,x∈N*}.(2)对于y=50x-115(3≤x≤6,x∈N*),显然当x=6时,ymax=185.对于y=-3x2+68x-115=-3

+

(6<x≤20,x∈N*),当x=11时,ymax=270.又∵270>185,∴当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.例稿酬所得以个人每次取得的收入,定额或定率减除规定费用后的余

额为应纳税所得额,每次收入不超过4000元,定额减除费用800元;每次收

入在4000元以上的,定率减除20%的费用.适用20%的比例税率,并按规定

对应纳税额减征30%,计算公式为:(1)每次收入不超过4000元的:应纳税额=(每次收入额-800)×20%×(1-30%);(2)每次收入在4000元以上的:应纳税额=每次收入额×(1-20%)×20%×(1-30%).已知某人出版一份书稿,共纳税280元,这个人应得稿费(扣税前)为

元.解析设这个人应得稿费(扣税前)为x元.①当x≤4000时,(x-800)×20%×(1-30%)=280,解得x=2800.②当x>4000时,x(1-20%)×(1-30%)×20%=280,解得x=2500(舍去).综上,x=2800.故这个人应得稿费(扣税前)为2800元.答案

2800例

(2019湖北荆州质量检查(一),20)为响应国家提出的“大众创业,万众

创新”的号召,小李大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市

场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为5万元,每年生产x万件,

需另投入流动成本为C(x)万元,且C(x)=

每件产品售价为10元.经市场分析,生产的产品当年能全部售完.(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=

年销售收入-固定成本-流动成本)(2)当年产量为多少万件时,小李在这一产品的生产中所获利润最大?最大

利润是多少?解析(1)因为每件产品售价为10元,所以x万件产品的销售收入为10x万元,依题意得,当0<x<8时,P(x)=10x-

-5=-

x2+6x-5,当x≥8时,P(x)=10x-

-5=30-

,所以P(x)=

(2)当0<x<8时,P(x)=-

(x-6)2+13,当x=6时,P(x)取得最大值P(6)=13,当x≥8时,P'(x)=-1+

<0,所以P(x)为减函数,所以当x=8时,P(x)取得最大值P(8)=

,因为13<

,故当年产量为8万件时,小李在这一产品的生产中所获利润最大,最大利

润为

万元.例

(2017江苏常州教育学会学业水平检测)某辆汽车以x千米/时的速度

在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时,每

小时的耗油量(所需要的汽油量)为

升,其中k为常数,且60≤k≤100.(1)若汽车以120千米/时的速度行驶时,每小时的耗油量为11.5升,欲使每

小时的耗油量不超过9升,求x的取值范围;(2)求该汽车行驶100千米的耗油量的最小值.解析(1)由题意知,当x=120时,

=11.5,∴k=100,由

≤9,得x2-145x+4500≤0,∴45≤x≤100.又60≤x≤120,∴60≤x≤100.故x的取值范围为60≤x≤100.(2)设该汽车行驶100千米的耗油量为y升,则y=

·

=20-

+

(60≤x≤120).令t=

,则t∈

,∴y=90000t2-20kt+20=90000

+20-

,∴该函数图象的对称轴为直线t=

.∵60≤k≤100,∴

∈

.①若

≥

,即75≤k≤100,则当t=

,即x=

时,ymin=20-

;②若

<

,即60≤k<75,则当t=

,即x=120时,ymin=

-

.答:当75≤k≤100时,该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为

升;当60≤k<75时,该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为

升.例

(2018福建三明联考,6)用清水洗衣服,每次能洗去污垢的

,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据:lg2≈0.301)

()A.3

B.4

C.5

D.6解析设洗衣次数为x,则

≤

,∴x≥

≈3.322,因此至少需要洗4次,故选B.答案

B例我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要

求.音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大小η

可由如下公式计算:η=10lg

(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度),则70dB的声音的声波强度I1是60dB的声音的声波强度I2的

()A.

倍

B.1

倍C.10倍

D.ln

解析由η=10lg

得I=I01

,所以I1=I0107,I2=I0106,所以

=10,所以70dB的声音的声波强度I1是60dB的声音的声波强度I2的10倍,故选C.答案

C例

(2018全国名校第三次大联考)某市垃圾处理站每月的垃圾处理量最

少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月垃圾处理量x(吨)之间的函

数关系可近似地表示为y=

x2-200x+80000,且每处理一吨垃圾得到的可利用的资源值为100元.(1)该站每月垃圾处理量为多少吨时,才能使每吨垃圾的平均处理成本最

低?(2)该站每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要市财

政补贴,至少补贴多少元才能使该站不亏损?解析(1)由题意可知,每吨垃圾的平均处理成本为

=

x+

-200≥2

-200=200.当且仅当

x=

,即x=400时等号成立,故该站垃圾月处理量为400吨时,才能使每吨垃圾的平均处理成本最低,

最低成本为200元.(2)不获利.设该站每月获利S元,则S=100x-

=-

x2+300x-80000,因为x∈[400,600],所以S∈[-80000,-40000].故该站每月不获利,需要市财政每月至少补贴40000元才能不亏损.例为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层,体育馆要建造

可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每

年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)

=

(0≤x≤10,k为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求出最小值.解析(1)当x=0时,C=8,∴k=40,∴C(x)=

(0≤x≤10),∴f(x)=6x+

=6x+

(0≤x≤10).(2)f(x)=2(3x+5)+

-10,令3x+5=t,t∈[5,35],则y=2t+

-10,∴y'=2-

,当5≤t<20时,y'<0,y=2t+

-10为减函数;当20<t≤35时,y'>0,y=2t+

-10为增函数.∴函数y=2t+

-10在t=20时取得极小值,即最小值,此时x=5,因此f(x)的最小值为70.∴隔热层修建5cm厚时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元.例

(2019福建福鼎三校联考,20)某中学高二年级组织外出参加学业水平

考试,出行方式为:乘坐学校定制公交或自行打车前往,大数据分析显示,

当x%(0<x<100)的学生选择自行打车时,自行打车的平均时间为f(x)=

(单位:分钟),而乘坐定制公交的平均时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,乘坐定制公交的平均时间少于自行打车的平均时

间?(2)求该校学生参加考试出行平均时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并

说明其实际意义.解析(1)由题意知,当30<x<100时,f(x)=2x+

-90>40,即x2-65x+900>0,解得x<20或x>45,∴x∈(45,100)时,乘坐定制公交的平均时间少于自行打

车的平均时间.(2)当0<x≤30时,g(x)=30·x%+40(1-x%)=40-

;当30<x<100时,g(x)=

·x%+40(1-x%)=

-

x+58.∴g(x)=

当0<x<32.5时,g(x)单调递减;当32.5<x<100时,g(x)单调递增.说明当32.5%以上的人自行打车时,人均通勤时间开始增加.例

(2019齐鲁名校教科研协作体第一次联考,20)某地空气中出现污染,

需喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算,每喷洒1个单位的去污剂,空气

中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化的函数关系

式近似为y=

若多次喷洒,则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知,当空气中

去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时,它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒1个单位的去污剂,则去污时间可达几天?(2)若第一次喷洒1个单位的去污剂,6天后再喷洒a个单位的去污剂,要使

接下来的4天中能够持续有效去污,试求a的最小值.(精确到0.1)解析(1)依题意,令y≥4,则

或

解得0<x≤4或4<x≤7,∴0<x≤7,∴一次喷洒1个单位的去污剂,去污时间可达7天.(2)设从第一次喷洒起,经x(6<x≤10)天空气中的去污剂浓度为f(x),则f(x)=

+a

=

-

x+11a(6<x≤10),依题意f(x)≥4对一切x∈(6,10]恒成立,∴f(x)min≥4.易知f(x)在(6,10]上单调递减,∴f(x)min=f(10)=3+6a,∴3+6a≥4,∴a≥

≈0.2,故a的最小值为0.2.考法二函数的综合应用例5

(2021届广东云浮郁南蔡朝焜纪念中学9月月考)已知函数f(x)=4x-a·2x+1+1.(1)若函数f(x)在x∈[0,2]上有最大值-8,求实数a的值;(2)若方程f(x)=0在x∈[-1,2]上有解,求实数a的取值范围.解析(1)因为x∈[0,2],所以2x∈[1,4],令t=2x,t∈[1,4],所以得到函数f(t)=t2-

2at+1,图象为抛物线,开口向上,对称轴为t=a,当a≤

时,则在t=4处,f(t)取最大值,即f(t)max=f(4)=-8,所以16-8a+1=-8,解得a=

,不满足a≤

,所以舍去.当a>

时,则在t=1处,f(t)取最大值,即f(t)max=f(1)=-8,所以1-2a+1=-8,解得a=5,满足a>

.综上,a的值为5.(2)因为x∈[-1,2],所以2x∈

,令m=2x,m∈

,所以得到函数f(m)=m2-2am+1,令f(m)=0,得m2-2am+1=0,即2a=m+

,所以要使f(m)=0有解,则直线y=2a与函数y=m+

的图象有交点,而函数y=m+

在

上单调递减,在(1,4]上单调递增,故在m=1时,有ymin=2,在m=4时,有ymax=

,所以可得2≤2a≤

,所以1≤a≤

.即a的取值范围是

.方法总结函数的综合应用基本思路:(1)首先确定函数的定义域;(2)拆分或化简解析式;(3)确定函数的单调性、奇偶性、周期性;(4)引入导数、不等式等工具,运用数形结合、分类讨论、化归与转化等

数学思想解决问题.经典例题以下为教师用书专用例

(2019福建八校一模,12)已知函数f(x)=

若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则

的取值范围为

()A.(0,1]

B.(0,1)

C.(1,+∞)

D.[1,+∞)解析作出直线y=m及f(x)的图象如图,由g(x)=f(x)-m=0得f(x)=m,∵x1<x2<x3,∴0<x1<1,1<x2<3,x3>e,则由f(x1)=f(x2),得|lnx1|=|lnx2|,即-lnx1=lnx2,得lnx1+

lnx2=ln(x1x2)=0,即x1x2=1,f(x3)=

,则

=

=

>

=1,即

的取值范围是(1,+∞),故选C.答案

C思路分析作出f(x)的图象,根据函数与方程之间的关系,确定x1,x2,x3的取

值范围,结合对数的运算法则进行化简求解即可.例

(2018江西吉安八所重点中学4月联考,12)定义在实数集R上的奇函

数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x,则下列四个命题:①f(2018)=0;②函数f(x)的最小正周期为2;③当x∈[-2018,2018]时,方程f(x)=

有2018个根;④方程f(x)=log5|x|有5个根.其中真命题的个数为

()A.1

B.2

C.3

D.4解析∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的最小正周期为4,故②错误.∴f(2018)=f(4×504+2)=f(2)=-f(0),∵当x∈[-1,1]时,f(x)=x,∴f(0)=0,即f(2018)=0,故①正确.∵函数f(x)在实数集R上为奇函数,∴-f(x)=f(-x),∴f(x+2)=f(-x),即函数f(x)的图象关于直线x=1对称.画出函数f(x)的图象如图所示:

由图象可得,当x∈[-2,2]时,方程f(x)=

有2个根,故当x∈[-2018,2018]时,方程f(x)=

有2018÷2×2=2018个根,故③正确;画出y=log5|x|的图象如图所示,与函数f(x)的图象有5个交点,即方程f(x)=log5|x|有5个根,故④正确.故选C.答案

C例

(2019天一中学检测,18)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则f(x)称为“局部奇函数”.(1)已知二次函数f(x)=ax2+x-4a,试判断f(x)是不是“局部奇函数”,并说明

理由;(2)若f(x)=2x+m是定义在区间[-1,1]上的“局部奇函数”,求实数m的取值

范围;(3)若f(x)=4x-m2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值

范围.解析

f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)+f(-x)=0在定义域内

有解.(1)对于f(x)=ax2+x-4a(a∈R),方程f(x)+f(-x)=0,即2a(x2-4)=0,由题意得a≠0,

则x=±2,所以f(x)为“局部奇函数”.(2)对于f(x)=2x+m,f(x)+f(-x)=0即2x+2-x+2m=0,因为f(x)的定义域为[-1,1],所以方程2x+2-x+2m=0在[-1,1]上有解.令t=2x,t∈

,则-2m=t+

,设g(t)=t+

,则g'(t)=1-

=

,当t∈(0,1)时,g'(t)<0,故g(t)在(0