轨迹问题 教学设计

高三理数点的轨迹PAGEPAGE1轨迹问题（2015）【解题归纳】（1）求轨迹的方程常用方法有：直接法、定义法、相关点法、几何法、参数法等.要注意x或y的范围。（2）轨迹：应说明轨迹的位置、形状、大小等特征.【典型例题】一、直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程用直接法求动点轨迹的方程一般步骤有：建系、设点、列式、化简、验算（简称“建设现代化”）五个步骤.例1、（1）已知点A（-2，0），B（3，0），动点满足，则点P的轨迹方程是变式：（1）已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于（）A、B、C、D、（2）（2010年广州市一模19题）已知动点到定点的距离与点到定直线：的距离之比为．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设、是直线上的两个点，点与点关于原点对称，若，求的最小值．（3）（2010年广州市调研试19题）已知两点、，点为坐标平面内的动点，满足．（1）求动点的轨迹方程；二、定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求基础知识复习：写出满足下列条件的轨迹：1、平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹是2、平面内，到两定点的距离之和等于常数（大于这两点的距离）的点的轨迹是3、平面内，到两定点的距离之和等于常数（等于这两点的距离）的点的轨迹是4、平面内，到两定点的距离之差的绝对值等于常数（小于这两点的距离）的点的轨迹是5、平面内，到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是例2：在直角坐标系中，点P到两点A，B的距离之和等于4，设点P的轨迹为，写出C的方程。若改为：（1）两点A，B，三角形的周长为4+，点C的轨迹方程如何？（2）点P到两点A，B的距离之和等于，点C的轨迹方程又如何呢？练习（1）已知两定点、,且是与的等差中项,则动点P的轨迹是().A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.线段（2）已知圆，圆，动圆同时与圆和圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程.变式：（1）平面内过点，且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程是（）A、 B、 C、 D、（2）已知、是圆（是圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为（）A、B、C、D、三、相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程例3、（1）设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0）．当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．变式：（1）设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．★（2）已知椭圆上任意一点P，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且=2，点M的轨迹为曲线E，求曲线E的方程。四、其它法例4、已知抛物线C：，动直线：与抛物线交于、两点，为原点（1）求证：是定值；（2）求满足=的点M的轨迹方程。例5（2010年高考）一条双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x1，y1），Q（x1，—y1）是双曲线上不同的两个动点（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；轨迹问题（2015）【解题归纳】（1）求轨迹的方程常用方法有：直接法、定义法、相关点法、几何法、参数法等.要注意x或y的范围。（2）轨迹：应说明轨迹的位置、形状、大小等特征.【典型例题】一、直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程用直接法求动点轨迹的方程一般步骤有：建系、设点、列式、化简、验算（简称“建设现代化”）五个步骤.例1、（1）已知点A（-2，0），B（3，0），动点满足，则点P的轨迹方程是变式：（1）已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于（）A、B、C、D、（2）（2010年广州市一模19题）已知动点到定点的距离与点到定直线：的距离之比为．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设、是直线上的两个点，点与点关于原点对称，若，求的最小值．（3）（2010年广州市调研试19题）已知两点、，点为坐标平面内的动点，满足．（1）求动点的轨迹方程；二、定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求基础知识复习：写出满足下列条件的轨迹：1、平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹是2、平面内，到两定点的距离之和等于常数（大于这两点的距离）的点的轨迹是3、平面内，到两定点的距离之和等于常数（等于这两点的距离）的点的轨迹是4、平面内，到两定点的距离之差的绝对值等于常数（小于这两点的距离）的点的轨迹是5、平面内，到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是例2：在直角坐标系中，点P到两点A，B的距离之和等于4，设点P的轨迹为，写出C的方程。若改为：（1）两点A，B，三角形的周长为4+，点C的轨迹方程如何？（2）点P到两点A，B的距离之和等于，点C的轨迹方程又如何呢？解：设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．（1），；（2）线段AB：练习（1）已知两定点、,且是与的等差中项,则动点P的轨迹是().A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.线段（2）已知圆，圆，动圆同时与圆和圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程.变式：（1）平面内过点，且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程是（）A、 B、 C、 D、（2）已知、是圆（是圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为（）A、B、C、D、（3）已知动圆与圆和圆C2：都外切，求动圆圆心P的轨迹方程。分析：从已知条件可以确定圆C1、C2的圆心与半径。（2）两圆外切可得：两圆半径和＝圆心距，动圆半径r,依题意有r1+r=|PC1|,r2+r=|PC2|，两式相减得：|PC1|--|PC2|=r1–r2<|C1C2，由双曲线定义得：点P的轨迹是C1、C2以为焦点的双曲线的右支，再根据题设条件求出参数a、b即可。答案：（4）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。解析：（1）（法一）设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，将圆方程分别配方得：，，当与相切时，有①当与相切时，有②将①②两式的两边分别相加，得，可得方程，由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，∴，，∴，，∴，∴圆心轨迹方程为。（5）（09年二模）已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.则点G的轨迹C的方程：解释：Q为PN的中点且GQ⊥PNGQ为PN的中垂线|PG|=|GN| ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是2、三、相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程例3、（1）设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0）．当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．变式：（1）设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．★（2）已知椭圆上任意一点P，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且=2，点M的轨迹为曲线E，求曲线E的方程。解：设M（x,y）,P(x0,y0),∵=2，∴,将其代入椭圆方程得得曲线E的方程为：.（3）设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且=2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.解设M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），由=2得（x-x0，y）=2（-x0，y0），∴，即.∵⊥,=(x0,-y0),=(1,-y0),∴(x0,-y0)·（1，-y0）=0,∴x0+y=0.∴-x+=0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.四、参数法：若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程例4、已知抛物线C：，动直线：与抛物线交于、两点，为原点（1）求证：是定值；（2）求满足=的点M的轨迹方程。四、整体代入法。20．（本小题满分为14分）2010年高考一直双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x1，y1），Q（x1，—y1）是双曲线上不同的两个动点（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；参考答案：（1）解：设点，依题意，有．整理，得．所以动点的轨迹的方程为．（2）解：∵点与点关于原点对称，∴点的坐标为．∵、是直线上的两个点，∴可设，（不妨设）．∵，∴．即．即．由于，则，．∴．当且仅当，时，等