《数学史上的三次危机》课件

数学史上的三次危机ThreecrisesinMathematics前言PrefaceThreecrisesinMathematics

数学--是自然科学大厦的根基，是人类文明最后的避风港。21

数学绝对不能有错。否则，当1加1不再等于2，??……..前言PrefaceThreecrisesinMathematics

数学--是自然科学大厦的根基，是人类文明最后的避风港。21

数学绝对不能有错。否则，当1加1不再等于2，人类文明构建的宏伟大厦即可能在顷刻之间坍塌。前言PrefaceThreecrisesinMathematics第一次危机让人类发现了无理数；第二次危机让微积分理论体系得以完善；第三次危机让集合论这所现代数学大厦的基础得到了夯实。3ThreecrisesinMathematics公元前580至586年之间第一次危机first时间主角毕达哥拉斯（Pythagoras）和希帕索斯（Hippasus）源头无理数的发现ThreecrisesinMathematics第一次危机first背景1、毕达哥拉斯（Pythagoras）学派毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他创建了宗教、政治、学术合一的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。31毕达哥拉斯学派的另一项重大贡献是证明了勾股定理。“万物皆数”是这一学派圣神的数学信仰。2ThreecrisesinMathematics第一次危机first背景2、勾股定理勾股定理在世界数学史上叫毕达哥拉斯定理，也叫百牛定理。21勾股定理在我国叫商高定理（勾3股4弦5），是中国数学家商高独立发现于公元1000年前的西周，比毕达哥拉斯定理早了五百到六百年。ThreecrisesinMathematics第一次危机first背景2、勾股定理其实还有比我们更早发现这个定理的是古巴比伦人，那是在公元前三千多年。43最早最完整科学的证明这个定理的还真就是毕达哥拉斯。我国直到公元200前，三国时期吴国的数学家赵爽，创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，才给出了勾股定理的详细证明。ThreecrisesinMathematics第一次危机first背景2、勾股定理勾股定理至今已有超过400多种证明方法，最常用的是欧几里得的证明方法，最有趣的是美国第20任总统伽菲尔德贡献了一种证明方法。5ThreecrisesinMathematics第一次危机first出现希帕索斯发现：两直角边都为1的等腰直角三角形，其斜边的长度是上帝都不知道的数。这是人类数学史上发现的第一个无理数。21因为这一背经离道的发现，希帕索斯被扔到海里淹死了。毕达哥拉斯认定类似于“根号2”这样的数是不可说、也无定形的数，其秘密属于众神的范畴，凡人不应该接触和认识到这些数的存在。这些数被称为“没有理性的数”。4ThreecrisesinMathematics第一次危机first解决继希帕索斯发现√2后，更多的无理数相继被发现。1

到了公元前370年，这个矛盾被毕达哥拉斯学派的欧多克斯(Eudoxus)通过在几何学中引进不可通约量的概念来为无理数找到了存在的基础。直到1872年，德国数学家戴德金创立实数系理论，才揭开了无理数的神秘面纱，真正结束了数学史上的第一次大危机。32ThreecrisesinMathematics第一次危机first意义第一次数学危机诞生于几何学。万物皆依赖于整数的思想被瓦解，几何学的地位开始擢升。21古希腊从此开始明白知觉和经验的局限性，一切真理只有通过推理和证明才能确保可靠。这让希腊民族走向了以欧几里得和亚里士多德为代表的逻辑论证之路。也因此成为现代科学国家的先驱者。ThreecrisesinMathematics公元17、18世纪第二次危机Second时间主角牛顿、莱布尼兹和贝克莱源头无限小≠0ThreecrisesinMathematics第二次危机Second背景1、微积分1微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹在17世纪几乎同一时期共同发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。由于建立在对无穷小的分析基础之上的微积分的推导还缺乏严谨性，所以从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击，但是大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。2ThreecrisesinMathematics第二次危机Second背景2、无穷小与01无穷小到底是个什么东西，它跟0又是什么关系，早年人们一直都没有搞清楚，以致产生了一些很有意思的悖论。2第一个图形反比例函数图形第二个图形双曲线的图形

典型的龟免赛跑悖论。说的是龟免，如果乌龟先跑100米，乌龟的速度是免子的一半，那么兔子永远也追不上乌龟，因为等兔子跑完前面一段a时，乌龟又跑了a/2，逻辑上毫无违和感，但事实上正常人都知道这是不可能的。第二次危机Second背景2、无穷小与0

中国庄周所著《庄子》一书的《天下篇》中，也记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。34而现在，我们高中生都知道，无穷小不是一个实数，而是一个以0为极限的变量。无穷小不一定是0，但0是无穷小，不仅如此，0还是实数内唯一一个无穷小。5ThreecrisesinMathematics第二次危机Second背景微积分中的最根本的方法是无穷逼近法。早在公元前2世纪，阿基米德的逼近法实际上也已经掌握了无限小分析的基本要素。公元4世纪，我国古代数学家祖冲之就用无穷逼近法，将“圆周率”精算到小数第七位。祖冲之的儿子祖暅发现了等幂等积定理：“幂势既同，则积不容异。”这是人类最早的最朴素的微分思想萌芽。公元16世纪，伽利略的学生卡瓦列里也用这种思想提出了“点动成线，线动成面，面动成体”理论。3、无穷逼近法ThreecrisesinMathematics第二次危机Second出现1

1734年，英国哲学家、大主教贝克莱把矛头指向微积分的基础--无穷小的问题。他指出微积分理论在推导过程中存在逻辑上的自相矛盾：“无穷小量是一个幽灵，说它是0吧，又可以做为分母，不是0吧，又可以舍去。总之看起来是0又不是0。与其相信无穷小的灵魂，还不如相信上帝”。微积分的合理性就这样遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻2

无穷小量的概念对于微积分理论乃至高等数学的发展有着基石性的作用，当时人们的认知是不严谨和不完整的，牛顿和莱布尼兹纷纷采用“先用了再说”的方式进行研究，才照成了第二次数学危机。ThreecrisesinMathematics第二次危机Second解决11821年，柯西详细而有系统的创立了极限理论，柯西认为，无穷小量本质上它是变量，而且是以0为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念。2随后，韦斯特劳斯完善和发展了极限理论，加上实数理论、集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的数目中解放出来，第二次数学危机基本解决，微积分理论得以发展和完善，从而使数学大厦变得更加辉煌美丽！ThreecrisesinMathematics第二次危机Second意义1第二次数学危机不但没有阻碍微积分的迅猛发展和广泛应用，反而让微积分驰骋在各个科技领域，解决了大量的物理问题、天文问题、数学问题，大大推进了工业革命的发展。就微积分自身而言，经过本次危机的"洗礼"，其自身得到了不断的系统化，完整化，扩展出了不同的分支，成为了18世纪数学世界的"霸主"。2第二次数学危机也促进了19世纪的分析严格化、代数抽象化以及几何非欧化的进程。ThreecrisesinMathematics公元19世纪末和20世纪初第三次危机Thirdly时间主角康托尔和罗素源头集合论中的罗素悖论ThreecrisesinMathematics第三次危机Thirdly背景

19世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”1、集合论与康托ThreecrisesinMathematics第三次危机Thirdly

1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。最大序数悖论1899年，康托发现了很相似的最大基数悖论悖论。1902年，罗素又发现了最著名的罗素悖论，它不像之前其他的悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁当时的集合理论。

一个理发师的困境。理发师称：他只给不跟自己理发的人理发。那他是否应该给自己理发？2、悖论与罗素悖论背景ThreecrisesinMathematics第三次危机Thirdly1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论与逻辑是矛盾的！这就是英国数学家罗素在康托的一般集合理论的边缘发现了著名的罗素悖论。罗素通过构造了一个特殊的集合A，发现若a∈A，则a￠A；若a￠A，则a∈A。这与现代集合论的理论基础是不相容的。出现1由于集合论已经渗透到众多的数学分支，并且实际上成了现代数学大厦的基础，因此集合论中悖论的发现，动摇这个根基，自然地引起了人们对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。第三次数学危机由此引发。2弗雷格说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了”ThreecrisesinMathematics第三次危机解决121908年德国数学家策梅罗提出了第一个由7条公理组成的不会产生悖论的公理化集合论体系，后又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理体系（史称ZF系统）Thirdly除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。这些系统都成功排除了集合论中出现的悖论，至此，第三次数学危机就此在一定程度上得到解决。ThreecrisesinMathematics第三次危机意义第三次数学危机的出现，其危险程度远远高于前两次，人们在消除危机的个过程中，极大的发展了数学，同时也改变了人们的数学观念。人们发现，尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性，却在一步一步的闪失，现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假。可是又不能把它们都消除掉，他们跟整个数学是血肉相连的，所以第三次危机表面上解决了，实质上更深刻的，以其他形式延续着。Thirdly1、第三次数学危机影响深远ThreecrisesinMathematics第三次危机意义罗素悖论使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础去更深入的研究。此后，围绕着数学基础原理之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都大大促进了现代数学的发展。一是以罗素为代表的逻辑主义学派。二是以布劳威尔（D.Brouwer）为代表的直觉主义学派。三是以希尔伯特为代表的形式主义。Thirdly2、三大数学流派的产生ThreecrisesinMathematics第三次危机意义作为罗素悖论的研究与分析的一个结果，就是哥德尔（KurtGödel）获得了不完备性定理，这一定理是数理逻辑发展史上的重大研究成果，是数学与逻辑发展史上的一个里程碑。Thirdly3、促进了数理逻辑这门新兴学科的发展ThreecrisesinMathematics第四次危机?!Fourthly我个人认为，最有可能导致第四次数学危机的领域可能会出在区块链技术应用方面，如今区块链技术前所未有的和自然科学各个领域紧密的结合，功能前所未有的强大。但是这一领域有太多的边缘理论，太多不完全性理论和骑墙体系，实实在在的是“先用了再说”。特别的是区块链的四大特性中的不可篡改性，不仅仅是真实，更是成了数学真理。1区块链技术应用最成功的是比特币（称为区块链1.0时代），以以太坊（智能合约）称为区块链2.0时代。而现在，区块链3.0时代就是云计算+人工智能的时代已经来临，数字货币技术也逐趋成熟，这里有对现代数学的极大挑战。2ThreecrisesinMathematics特别欣赏Good伟大的集合论问题证明正整数和正偶数一样多。一、ThreecrisesinMathematics特别欣赏Good伟大的集合论

我们构建两个无穷集合，A=正整数集，B=正偶数集。如果将A中的每一个正整数乘以2（这当然不会改变正整数的多寡）就得到了全体正偶数。所以正整数的数量和正偶数的数量是相同的。问题证明正整数和正偶数一样多。证明一、ThreecrisesinMathematics特别欣赏Good伟大的集合论

我们构建两个无穷集合，A=正整数集，B=正偶数集。如果将A中的每一个正整数乘以2（这当然不会改变正整数的多寡）就得到了全体正偶数。所以正整数的数量和正偶数的数量是相同的。问题证明正整数和正偶数一样多。证明一、

我们构建两个无穷集合，A=正整数集，B=正偶数集。则A中任何一个数n都能在B中找到对应的2n,反之亦成立，所以A=B。这说明正整数的数量和正偶数的数量是相同的。证明ThreecrisesinMathematics特别欣赏Good生活中的三大悖论二、

一是鸡与蛋的悖论：先有鸡还是先有蛋？