大学高数下册习题

鸣谢：09级软件工程6班数学小组的易术军等同学辛勤输入！PAGEPAGE24录入成员：吕发金、苟督东、易术军、许光辉、符程智、李川、余小龙第十章补充习题习题10—1；习题10—2；；习题10—3；习题10—4．第十二章补充习题习题12—11.已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．2已知点的直角坐标,求它们的极坐标.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．3已知两点的极坐标A(2,π/3),B(3,π/2)，求两点间的距离习题12—21把下列极坐标方程化为直角坐标方程：(1)；(2)；(3)．2把下列直角坐标方程化为极坐标方程：(1)；(2)；(3)．第13章与14章补充习题习题13—1习题13—2习题13—3．；；；习题13—4画出下列曲线在第一卦限内的图形：（1）2.分别求母线平行于x轴及y轴而且通过的柱面方程。3.求球面x+y+z=9与平面x+y=1的交线在xOy面上的投影方程。4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）5.求上半球与圆柱体（a>0）的公共部分在面上的投影。6.求旋转抛物面在三坐标面上的投影。习题13—51.求过点M（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M的线段OM垂直的平面方程。2.指出下列各平面的特殊位置，并画出个平面：（1）（2）（3）3．一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a=(2,1,1)和b(1,-1,0),试求该平面方程。4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于面且经过点（2，-5，3）；（2）平行于x轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）。习题13—6求过两点M(3,-2,1)和M(-1,0,2)的直线方程。2.求直线与直线的夹角的余弦3.求过点(0,2,4)且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行的直线方程。4.求点(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影。5.求直线在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。第15章补充习题习题15—11．判定下列平面点集中那些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集（称为导集）和边界。（1） (2)(3) (4)2．已知函数,试求。3．已知函数，试求。4．求下列各函数的定义域：（1）;(2).5．求下列各极限：（1） （2）6．证明极限不存在：．7．证明习题15—21．求下列函数的偏导数。（1） （2）（3） （4） 。2．设，求。3．求函数的，，和。4．设，求，，，及。5．设，求及。习题15—31．求下列函数的全微分：（1）； （2） ；（3）； （4）。2．求函数当时的全微分。习题15—41．设，而，，求，。2．设，而，，求。3．设，而，求。4．求函数的（其中具有二阶连续偏导数）。习题15—51．设，求。2．设，求及。3．设方程组求。习题15—61.求曲线，，在对应于的点处的切线及法平面方程。2.求曲线在点（1，1，1）点处的切线及法平面方程。3.求曲面在点（）处的切平面及法线方程。4.求旋转椭球面上点（-1，-2，-3）处的切平面与面的夹角的余弦。习题15—71.求函数在点（1，2）沿从（1，2）到点（）的方向的方向导数。2.求函数在点（1，1，2）处沿方向角的方向的方向导数。3.设，求grad及grad。4.问函数在点沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。习题15—81.求函数的极值。2.求函数在适合的附加条件在、下的极大值。3.要造一个容积等于定数k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。4.将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体。问矩形的边长各为多少时，才方可使圆柱体的体积最大？第16章补充习题习题16—11.设有一平面薄板（不计其厚度），占有xOy面上的闭区域D，薄板上分布有面密度为的电荷，且在D上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q。2.设其中；又其中。3.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）与，其中积分区域D是由x轴﹑y轴与直线x+y=1所围成。习题16—21.计算下列二重积分：（1），其中；（2），其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域；（3），其中；2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1），其中D是由两条抛物线所围成的闭区域；（2），其中D是由直线y=2,y=x及y=2x所围成的闭区域；3.改换下列二次积分的积分次序：（1）（2）4.计算由四个平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积。5.画出积分区域，把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D是：（1）；（2）其中0<a<b;6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1）（2）7.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：（1）8.利用极坐标计算下列各题：（1），其中D是由圆周所围成的闭区域；（2），其中D是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；习题16—31.化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是：（1）由曲面及平面z=1所围成的闭区域；（2）由曲面及所围成的闭区域；2.计算，其中是由曲面z=xy,与平面y=x，x=1和z=0所围成的闭区域。3.计算，其中是由球面及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域。4.计算，，其中是由曲面z=0，z=y,y=1以及抛物线柱面所围成的闭区域。5.利用柱面坐标计算下列三重积分：（1），其中是由曲面及所围成的闭区域；（2），其中是由曲面及平面z=2所围成的闭区域；6.利用球面坐标计算下列三重积分：（1），其中是由球面所围成的闭区域；7.选用适当的坐标计算下列三重积分：（1），其中是由柱面及平面z=1,z=0x=0,y=0所围成的在第一卦限内的闭区域。（2）其中是由球面所围成的闭区域；习题16—41.求球面含在内部的那部分面积；2.设薄片所占的闭区域D如下，求均匀薄片的质心：（1）D是介于两个圆之间的闭区域；3.设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域D如下，求指定的转动惯量：（1）D为矩形闭区域，求和。第17章补充习题习题17—11.计算列对弧长的曲线积分：（1），其中L为圆周；（2），其中为曲线上相应于t从0变到2的这段弧；（3），其中为折线ABCD，这里A,B,C,D依次为点（0，0，0），（0，0，2），（1，0，2），（1，3，2）；4.求半径为a，中心角为的均匀圆弧（线密度）的质心。习题17—21.计算下列对坐标的曲线积分：（1），其中L是抛物线上从点（0，0）到点（2，4）的一段弧；（2），其中L为圆周及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；（3），其中是从点（1，1，1）到点（2，3，4）的一段直线；2..计算，其中L是：抛物线上从点（4，2）的一段弧；曲线上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧3.设z轴与重力的方向一致，求质量为m的质点从位位置沿直线移到是重力所作的功。习题17—31.证明下列曲线积分在整个平面内与路径无关，并计算积分值：（1）；(2)2.利用格林公式，计算下列曲线的积分：（1），其中L为三顶点分别为（0，0），（3，0）和（3，2）的三角形正向边界；（2）其中L是在圆周上由点（0，0）到点（1，1）的一段弧。3.验证下列，在整个平面内是某一函数的全微分，并求这样的一个：（1）；（2）习题17—41.计算曲面积分，其中为抛物线面在面上方的部分，分别如下：（1）2.计算，其中是：（1）锥面被平面z=0和z=3所裁得的部分。3.计算下列对面积的曲面积分：（1），其中为平面在第一挂线中的部分；（2），其中为球面上的部分；习题17—51.计算下列对坐标的曲面积分：（1），其中为球面的下半部的下侧；(2)其中为柱面被平面z=0及z=3所裁得的在第一挂线中的部分的前侧；2.把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分，其中：（1）为平面在第一挂限的部分的上侧：（2）是抛物面在面上方的部分的上侧习题17—6利用高斯公式计算曲面积分：（1），其中为平面x=0，y=0，z=0，x=a，y=a，z=a所围成的立方体的表面的外侧；（2），其中是界于z=0和z=3之间的圆柱体的整个表面外侧；2.求下列向量A穿过曲面流向指定侧面的通量：(1)，为圆柱的全表面，流向外侧；(2)，是以点（3，-1，2）为球心，半径R=3的球面，流向外侧；3.求下列向量场A的散度：（1）；（2）习题17—7利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：（1），其中是圆周，x+y+z=0，若从x轴的正向看去，这圆周是逆时针方向；（2），其中是圆周，若从x轴的正向看去，这圆周是逆时针方向；2求下列向量场A的旋度：（1）；(2)第十八章补充习题习题18—11.指出是否为微分方程的解:2.验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:，；3.确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件：，，；习题18—21.求下列微分方程的通解：(1). (2).(3). (4).(5).2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：(1).，(2).，(3).，3.一曲线通过点（2,3），它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程。习题18—31.求下列齐次方程的通解：(1).; (2).(3).2.求齐次方程满足所给初始条件的特解：，习题18—41.求下列微分方程的通解：(1).； (2).(3).； (4).2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解：(1).,; (2)., 3.求伯努利方程通解：4.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解:(1).;(2).;习题18—51.判断下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解：(1).(2).2.利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解：(1).(2).习题18—61.求下列各微分方程的通解.(1);(2);(3);(4);