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文档简介

素数及算术基本定

JX1-该是古希腊时代的伟大数学家了。质数(Prime定义paZ，则pa1papabZpabpapbp

anZpa1pa2或panpp只有2个正因子1p，所以pa1或pappa1papapŒa由1)得pa1xypxay1。上式乘b得pbxaby

…pab，所以存在kZab(2)代入(1)pbxkyb，其中bxkyZpb当n1当n2时，由2)假设nk时命题成立。

…当nk1p

ak1

p

ak)(ak12)，p

pak1pa1pa2或pakpak1。所以当nk1时命题成立。定理设n是大于1ppnn是质数时，命题明显成立。现只须考虑n是合数时的情况。设SmNmn,1mn，由于n是合数，所以SN的一个非空子集。由最小pSp1bp使得bp即bn，，所以得p是质数，证毕。若n45455454，试证明n

n45455454 254554522273545254554522273由此可见，254554522273545与254554522273545是n4545的两个在1与n之间的正因子。因此n45455454思考题设a是大于1的自然数。试证明a44若n是大于1的整数，则n可唯一分解成np1证明︰(存在性

pmp1p2n是质数，结论明显。若n是合数，由定理3.2.2得np1qp1,q1N

p是质数。若q定理3.2.2。明显这个过程最多过n次，所以最后得np1p2p1p2 pm是质数。(唯一性

pm假设n可分解为np1

pm

qr其中p1,p2 ,pm及q1,q2 ,qr是数且p1p2 pm及q1q2 q2。因p1n，所以1jr使得p1qj。由p1和qjp1qj。同理，q1n，所以1im使得q1pi。由于q1是质数，所以q1pi。但qjp1piq1，于是我们有p1q1。约去p1后得

pm

qrp2q2p3q3

。若mr性，设mrpr1pr

pm1pr1pr

pm1，因此，n可唯一分解成np1 pm，其中p1p2 pm是质数注︰我们称定理3.3.1中对于n定理证明︰若质数只有有限多个，设其为p1,p2 ,pm，其中p1p2 pm设np1所以np1

pm1，由除法算法得知pin其中i1, ,m其中i1, ,mpm。再由算术基本定理可知n以存在1impi思考题

证明有无限个整数q，使4q3利用算术基本定理，证明若正整数n不是平方数，则n设m为正整数，且2m1为质数，证明存在整数n0，使m2n设整数am1，且am1为质数，证明a2，且m练习巩既是两素数的和，又是两素数的差的素数 已知三个素数的积为和的5倍，则这三个素数分别 已知方程x4px3q0有一整数根，则素数p ，q 正整数因子（包括1和它本身），

n的值 证明：从任意5个互质的三位数中，能选出4k14pk的最大质数，若p

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