《超几何分布》示范课教案【高中数学苏教版】

第八章概率8.2.4超几何分布教学目标教学目标1．理解超几何分布，能够判定随机变量是否服从超几何分布。2．会求服从超几何分布的随机变量的均值。3．能够利用超几何分布模型解决实际问题。教学重难点教学重难点重点：理解超几何分布。难点：能利用超几何分布解决简单的实际问题。教学过程教学过程一、新课导入情景分析：问题1：已知100件产品中有5件次品，采用有放回的方式随机抽取10件。设抽取的10件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列。学生独立完成，师巡视指导。师提问：随机变量X具有什么特征？答案：如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.05，且每次抽样的结果相互独立，此时随机变量X服从二项分布，即X~B（问题2：如果采用不放回抽样，那么抽取的10件产品中次品数X是否依然服从二项分布？若不服从，那么X的分布列是什么？师引出本节课题：《超几何分布》。设计意图：复习二项分布，会与后面超几何分布形成对比，通过比较放回与不放回简单随机抽样，归纳超几何分布的模型特征，拓展学生类比迁移的数学能力，发展学生逻辑推理的数学核心素养。二、新知探究思考：如果采用不放回抽样，那么抽取的10件产品中次品数X是否依然服从二项分布？若不服从，那么X的分布列是什么？答案：采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.05，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布。分析：从100件产品中随机抽取10件有C10010个等可能的结果。{X=2}表示随机事件“取到2件不合格品和8件合格品”，依据分步计数原理知有C52类似地，可以求得X取其他值时对应的随机事件的概率，从而得到不合格品数X的概率分布如下表所示。X012345PCCCCCC超几何分布：对一般情形，一批产品共N件，其中有M件不合格品，随机取出的n件产品中，不合格品数X的概率分布如下表所示。X012···lPCCCC其中l=一般地，若一个随机变量X的分布列为PX=r=CMrC其中r=0，1，2，3···l，l=min⁡{n，M}，则称X服从超几何分布。记为X~H小结：判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：（1）总体是否可分为两类明确的对象；（2）是否为不放回抽样；（3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数。设计意图：通过问题思考分析，让学生掌握超几何分布的概念及其特点。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、应用举例例1：生产方发出了一批产品，产品共50箱，其中误混了2箱不合格产品。采购方接收该批产品的标准是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，则接收该批产品。问：该批产品被接收的概率是多少？解用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X~H（5，P答该批产品被接收的概率约是0.99184。例2：高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同。一次从中摸出5个球，摸到4个红球和1个白球的就获一等奖，用随机变量X表示取到的红球数。(1)求获一等奖的概率；(2)求E（解（1）随机变量X服从超几何分布H（由公式eq\o\ac(○,1)得H故获一等奖得概率约为0.0295.（2）X的概率分布如下表所示.X012345P258480758550380070042因此，随机变量X的均值为E=答获得一等奖的概率约为0.0295，随机变量X的数学期望E（X小结设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数。令p=MN，则p是N件产品的次品率，而X设计意图：通过典例解析，在具体的问题情境中，深化对超几何分布的理解。四、课堂练习1.下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（）。A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数XC.某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数2.从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率。3.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3球，求至少摸到2个黑球的概率。4.现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列。参考答案：1.B解析：由超几何分布的定义可知B正确。2.1解析：设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，且N=50，M=1，n=5.3.2解析：黑球的个数X服从超几何分布H（3，3，8）.则至少摸到2个黑球的概率P4.X3711P771解析：设所得金额为X，X的可能取值为3，7，11.P故X的分布列为X3711P771五、课堂小结1.解决超几何分布问题的两个关键点：（1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆；（2）超几何分布中，只要知道N，n，M，就可以利用公式求出X取不同k的概率P（2.超几何分布与二项分布关系：共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败；不同点：（1）超几何分布是不放回抽取，二项分布是放