北京市昌平区20142015学年高二第一学期期末质量抽测数学文试题含答案

昌平区2014－2015学年第一学期高二年级期末质量抽测数学试卷（文科）（满分150分，考试时间120分钟）2015.1考生须知：1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。2．答题前考生务势必答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色笔迹的署名笔填写。3．答题卡上第I卷(选择题)一定用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)一定用黑色笔迹的署名笔作答，作图时能够使用2B铅笔。请依据题号次序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题地区内作答或高出答题地区作答的均不得分。4．改正时，选择题部分用塑料橡皮擦涂洁净，不得使用涂改液。保持答题卡整齐，不要折叠、折皱、损坏。不得在答题卡上做任何标志。5．考试结束后，考生务势必答题卡交监考老师回收，试卷自己妥当保留。第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．)（1）若命题p是真命题，命题q是假命题，则以下命题必定是真命题的是A．pqB．pqC．(p)qD．(p)q（2）函数yxex的导函数yA．xexB．exC．(x1)exD．1ex（3）在空间直角坐标系中，ABC的三个极点为A(3,3,2),B(4,3,7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为A．2B．3C．4D．5(4)“m1”是“直线mx(2m1)y10和直线3xmy20垂直”的A.充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件（5）如图，函数yf(x)在M，N两点间的均匀变化率y是xA．－3B．31D．1C．－33主视图左视图俯视图第（5）题图第（6）题图6）如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，假如直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为111A.6B.3C.2D.1（7）已知两条直线m，n和平面，那么以下命题中的真命题为A.若m∥n，n，则m∥B.若mn，n，则mC.若m∥n，n，m，则m∥D.若mn，n，m，则m（8）已知抛物线y24x上一点M到其焦点的距离为2，则点M的坐标为A.(2,22)B.(2,22)C.(1,2)D.(1,2)（9）如图，正方体ABCDABCD的棱长为1，线段AC上A1D1有111111F1EC1两个动点E，F，且EF，则以下结论中错误的是B12．．A.BDAEB.EF//平面ABCDC.三棱锥ABEF的体积为定值D.AEF的面积与BEF的面积相等

ADBC（10）定义在R上的函数f(x)知足：f(x)f(x)恒成立，则e2f(3)与e3f(2)的大小关系为A．e2f(3)e3f(2)B.e2f(3)e3f(2)C.e2f(3)e3f(2)D.e2f(3)与e3f(2)的大小关系不确立第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）（11）已知命题p:xR,x23x10,请你写出p：_________________.（12）已知直线xky30与圆x2y22x10相切，则k的值为_____________．（13）已知函数f(x)axlnx在点x1处获得极值，则a的值为．x22（14）已知双曲线C:a2y1(a0)的焦距为25，则a=______;双曲线C的渐近线方程为____________.22（15）如图，把椭圆xy1的长轴AB八平分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半169部分于,，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|PF||P2F||P3F|...|P7F|的值为1________.yP23P4P5P6PP1P7ABFOx（16）在平面直角坐标系中，动点P到x轴的距离的平方恰比点P的横、纵坐标的乘积小1.记动点P的轨迹为曲线C，下边对于曲线C的描绘正确的选项是________.（把全部正确的命题的序号填在横线上）①曲线C对于原点对称；②曲线C对于直线yx对称；③当变量|y|渐渐增大时，曲线C无穷靠近直线yx；④当变量|y|渐渐减小时，曲线C与x轴无穷靠近.三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（17）（本小题满分14分）已知圆C的圆心为直线3xy50与直线x1的交点，且点A(4,0)在圆C上.（I）求圆C的方程；（II）过点P(3,2)的直线l与圆C交于M,N两点，且|MN|23，求直线l的方程.（18）（本小题满分14分）已知函数f(x)x3ax2b，曲线yf(x)在点(2,4)处的切线方程为4xy40,（I）求a,b的值；（II）求函数f(x)在[1,3]上的最大值.（19）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP＝BC，E为PB的中点．求证：PD∥平面ACE；求证：PA⊥CE；在线段PC上能否存在一点F，使得BF⊥平面PAC？请说明原因.20）（本小题满分14分）已知椭圆M:x2y2的离心率是2,此中一个焦点坐标为(2,0).a2b21(ab0)2求椭圆M的标准方程；(Ⅱ)若直线yxm与椭圆M交于A，B两点,且OAB(O为坐标原点)面积为，求m的值.（本小题满分14分）平面内一个点与一条曲线上的随意点的距离的最小值，称为这个点到这条曲l线的距离.比如椭圆x2y21的右焦点(4,0)到椭圆的距259离为.1C（I）写出点A(3,5),点B(1,2)到圆x2y22x4y40的距离；（II）如图，已知直线l与圆C相离，圆C的半径是2，圆心C到直线l的距离为4.请你成立适合的平面直角坐标系，求与直线l和圆C的距离相等的动点P的轨迹方程.昌平区2014－2015学年第一学期高二年级期末质量抽测数学试卷参照答案及评分标准（文科）2015.1四、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．)题号12345678910答案BCBADACCDB二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）（11）xR,x23x10（12）1（13）1（14）2；y1（15）28（16）①③④x2三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（17）（本小题满分14分）x1,x1,即圆心C的坐标为（1,-2)．..3分解：（I）由y得3x50.y2.由于点A(4,0)在圆C上.因此半径r(41)2(02)213,.5分因此圆C的方程为(x1)2（y2)213...7分（II）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x3,|MN|6,.不合题意.设过点P的直线l的方程为：y2k(x3),即kxy3k20.过点C作CDMN于点D，则|CD|2|CM|2|MD|213|1MN|2,2由于|MN|23，因此|CD|10..10分|CD||k23k2|10，解得，k3或k1.1k23因此，直线l的方程为3xy110或x3y30.14分（18）（本小题满分14分）解：（I）f(x)3x22ax.⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1分f(2)4,84ab4,....................3分由已知有'(2)即4a4.f4.12a2,解得：b...................5分4.（II）f(x)324，f(x)3x24x.x2x令f'(x)0，得x10,x24...................................6分x301(1,0)4443(0,)(,3)333fx+0-0+fx1↗极大↘极小↗1347627⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.13分由表可知，当x1,3，fx最大f313.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分（19）（本小分14分）明：（I）如，BD,AC∩BD＝O，OE．因ABCD矩形，因此O是BD的中点．因E是PB中点，因此OE∥PD．⋯⋯⋯⋯2分因PD平面ACE，OE平面ACE，因此PD∥平面ACE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（II）因底面ABCD矩形，因此BC⊥AB.因平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，因此BC⊥平面PAB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分因PA平面PAB，因此BC⊥PA．因PA⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB平面PBC，因此PA⊥平面PBC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯...8分因CE平面PBC，因此PA⊥CE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分III）在段PC上存在一点F，足BF⊥平面PAC.原因以下：取PC中点F，接BF.因BP＝BC，因此BF⊥PC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分因PA⊥平面PBC，BF平面PBC，因此PA⊥BF．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.11分因PA∩PC＝P，PA，PC平面PAC，因此BF⊥平面PAC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分因此,在段PC上存在一点F，且点F段PC的中点，足BF⊥平面PAC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分（20）（本小分14分）c2a2,,a2c22，解:(Ⅰ)由题意，a2解得因此b2c2.，c2.故所求椭圆方程为x2y21.....................4分42(Ⅱ)由题意m0.x2y21,得3x24mx2m240,...................6由42分yxm,由(4m)243(2m24)8(6m2)0,可得0m26()....7分设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x24m,x1x22m24,.............................9分33故AB(x1x2)2(y1y2)22x1x22(x1x2)24x1x24m)22m24=2(4336m2.3又点O到AB的距离为dm分,............................122故SOAB1|AB|d2m2(6m2)2,23解得m3，且知足().因此m的值为3...............14分（21）（本小题满分14分）解：（I）圆x2y22x4y40可化为(x1)2(y2)29，圆心F(1,2),半径r3...............................................2分点A(3,5)在圆外，点A到圆x2y22x4y40的距离为|AF|r(31)2(52)232...................................4分点B(1,2)在圆内，点B到圆x2y22x4y40的距离为r|BF|3(11)2(22)21.......................................6分如图1，以与直线l平行并与l距离为2的直线为y轴，过圆心C（II）yl且与y轴垂直的直线为x轴，成立平面直角坐标

PD系.E则圆心C(2,0),直线l的方程为x2....8分由于圆C内的点到圆的距离小于2，到COx直线l的距离大于2，因此动点P必定图1不在圆C内.设动点P(x,y).过点P作PDl于点D,连结PC交圆C于点E.则点P到圆C的距离为|PC||CE|.由题意，|PD||PC||CE|，即|PC||PD|2.代入座标得，(x2)2y2|x2|2........................11分化简，当x2,y212x12；当x2,y24x4,无解，这样的点不存在.因此，点P的轨迹方程为y212x12(x1).............14分法二、如图2，以与直线l平行并与l距离为1的直线为y轴，过圆心C且与y轴垂直的直线为x轴，成立平面直角坐标系.则圆心C(直线l的方程为