古典概型(一轮复习) 优秀教学设计

学3.2导学目标：1.理解古典概型及其概率计算公.

古概2.会计算一些随机事件所含的基事件数及事件发生的概率．自主梳理1．古典概型一般地，一次试验有下面两个特征有限性．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；等可能性．每基本事件的发生是等可能的，称这样的概率模型为古典概型．2．古典概型的概率公式如果一次试验的等可能基本事件共有，那么每一个等可能基本事件发生的概率都________；如果某个事件A包了其中m个可能基本事件，那么事件生的概率为＝自我检测．若以连续掷两次骰子分别得到的点数n作为P横、纵坐标，则点P在线x＋＝下的概率为_______．．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率________．．三张卡片上分别写上字母E，EB，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词EE的概为________．．有100张卡片(编号从1号100号，从中任取1张取到卡号是7的数的概率为________5．平面直角坐标系中，从五点：A(0,0)，B(2,0)C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中取三个，这三点能构成三角形的概率是________(用分数表).探究点一写基本事件例1有两颗正四面体的玩具，四个面上分别标有数字1,2,3,4，面做投掷这两颗正四面体具的试验：用x，y)表示结果，其x表第1颗四面体玩具出现的点数y表第2颗四面体玩具出现的点数．试写出：试验的基本事件；事件“出现点数之和大于3”事件“出现点数相等”．变式迁移一口袋内装有大小相同的5球中只白只球中次摸出两只球：(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的两只球都是白球的概是多少？1探究点二古概型的概率计算例2班联欢时，主持人拟出如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定个生和个女生来参与，把5个人别编号为1,2,3,4,5其中1,2,3号男生4,5号女生，将每个人的号分别写在5张同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编谁就参与表演节目．为了选出2人表演双人舞，连抽取2张卡片，求取出的2不全是男生的概率；为了选出2人别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率．变式迁移同抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或点的率．探究点三古概型的综合问题例3汽车厂生产ABC三轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下单位：辆：类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆其中有A类车10辆．轿车A轿车B轿C舒适型100150标准型300450600求的；用分层抽样的方法在C类轿车抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒型轿车的概率；用随机抽样的方法从B类适车抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.08.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．变式迁移3为了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某6名学生进行问卷调查6人得情况如下：5,6,7,8,9,10.把这名学生的得分看成一个总体．求该总体的平均数；用简单随机抽样方法从这6名学中抽取2，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．2分讨思例(14分甲乙二人用4张扑(分别是红桃、红桃、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．设i，j)分别表示甲、乙抽到的的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌数字比大的率是多少？甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公，说明你的理由．多角度审题本属于求较复杂事件的概率，关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概模型，联想掷骰子试验，把红桃2红桃3、红桃和方分别用数字2,3,4,4′表示，抽象出基事件，把复杂事件用基本事件表示，找出总体I包含的基本事件总数及事A包的基本事件个数m用公式mP(A)＝求．n【答题模板】解(1)甲二抽到的牌的所有情方片用4′示他用相应的数字表)为(2,3)(2,4)，(2,4，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′3)，(4′，4)，12不同情况．分](2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌牌面数字只能是2,4,4，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大概率2为.[10分3(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙的情况(3,2)(4,2)(4,3)′，(4，3)，共5种故55甲胜的概率P＝，理乙胜的概率P＝.为＝P所以此游戏公．[14分1212【突破思维障碍】对一些较为简单、基本事件个数不是太大的概率问题，计数时只需要用枚举法即可计算一些随事件所含的基本事件数及事件发生的概率，但应特别注意：计算时要严防遗漏，绝不重复．取球模型是古典概型计算中的一个典型问题，好多实际问题都可以归结到取球模型上去，特别产品的抽样检验，解题时要分清“有放回”与“无放回”，“有序”与“无序”等条件的影响【易错点剖析】．题目中“红桃4”与“方片4属两个不同的基本事件，应用不同的数字或字母标注．．注意“抽出的牌不放回”对基本事件数目的影响．．基本事件的特点主要有两条：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本件的和．．古典概型的基本特征是：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现可能性相等．．计算古典概型的基本步骤有：①判断试验结果是否为等可能事件；②求出试验包括的基本事件m个数n，以及所求事件A包的本事件的个数；③代入公式P(A)＝，概率值．n课练(满：分一、填空题每题6分共48分)．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率________．．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c则方程x＋bxc＝0有根的概率为________．．在五个数字1,2,3,4,5中若机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率________(果用数值表示)．续两次骰子分别得到点数(m向量(－1,1)的角θ>90°的概率为_______．5．在一个袋子中装有分别标注字1,2,3,4,5的五小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现3从中随机取出2个小，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是_______．6．在一次教师联欢会上，到会女教师比男教师多1，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若9选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共人20n17．在集合x|x＝，＝1,2,3，…10}任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos＝的概62为_______．8．现有5根竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9若从中一次随机抽取2根竿，则它们的长度恰好相差0.3的率________二、解答题共42分9．分袋中装有编号为a，的个黑球和编号为c，，e的3个球，从中任意摸出2个．(1)写出所有不同的结果；求恰好摸出1个球和1个球概率；求至少摸出1个球的概率．10(14分某场举行抽奖活动从装有编号0,1,2,3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于中一等奖，等于4中等奖，等于3中等奖．求中三等奖的概率；求中奖的概率．11．分已实数a∈{－，－1,1,2}．求直线y＝＋不经过第四象的概率；求直线y＝＋与圆x＋＝有共点的概率．古概答自主梳理m．nn自我检测11211．2．3．612534．0.14解析卡号是7的数有：7,14,21…，98.498－7共有m＝＋＝，总共n100.7m∴P＝＝0.14.n．5解析∵A、、在直线y＝x上B、C、D在直线y－＋上任取三点列举知有10种取，共线有2种取．10－24∴取三点能构成三角形的概率为＝105课堂活动区例1解题导引计古典概型所含基本事件总数的方法：(1)树形图；(2)列法(3)另，还可以用坐标系中的点来表示基本事件．解(1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，，(2,1)，(2,2)，(2,3)，，(3,1)，(3,2)，(3,3)，，(4,1)，(4,2)，(4,3)，．(2)事件“出现点数之和大于3”含以下13个本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，，(2,4)(3,1)(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，，(4,4)(3)事件“出现点数相等”包含下4个本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，．变式迁移解(1)分记白球为1,2,3，黑球为，，从中摸出2只，有如下基本事：(1,2)，(1,3)，(1，，(1，B)(2,3)，(2A)，(2，B)(3，，(3，，(A，B)，因此，有10个基本事件．(2)上述10个基事件发生的能性相同，且只有3个基本事件是摸到两只白(记为事件，即3(1,2)，(1,3)，(2,3)，P(A)＝.10m例2解导引古概型的概率计算公式是P(A)＝由此可知用举法算出所有基本事件的个n数n以事件A包的基本事件是解题关键．必要时可以采用画树状图或列表法辅助列举基事件．解(1)利用树形图我们可以列出连续抽取2卡片的所有可能结(如下图所示．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为，因为每次都随机抽取，因此这20种果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A表事件“连续抽取2人男一女”A表示件“连续抽取2人都是女生”，则A与A互，并且A∪A2表示事件“连续抽2卡片，取出的不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A的结果有12种，的结有2种由互斥事件的概率加法公式，可得P(A∪A＝)＋P(A)1227＝＋＝＝0.7，202010即连续抽取2张片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.(2)有放回地连续抽取2张片需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列.第二次抽取第一次抽取

12341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)5(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)试验的所有可能结果数为25，并这25种结出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A表事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出A的果共有5种因此独唱和朗5诵由同一个人表演的概率＝＝0.2.25变式迁移解方一同抛掷两枚骰子，所有基本事件如下表：123456(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有36个不同的结果，其中“少有一个5点或6点”的基本事件数为20，以至少有一个5点2056点的概率为P＝＝.369方法二利用对立事件求概率．“至少有一个5或6”的对立事件是“没有5点6点，上164表，“没有5点或6点包含16个本事件，没有5或点的率为P＝＝.∴至少有一个或36945点的概率为1－＝99例3解题导引本题主要考查抽样的方法及古典概型概率的求法，考查用概率知识解决实际问的能力．解(1)设该厂这个月共生产轿车辆5010由题意得＝，所以n2n100＋则z＝000－＋－(150450)600＝400.(2)设所抽样本中有a辆适型轿车，400a由题意得＝，a＝10005因此抽取的容量为5的样中，有辆舒适型轿车3标准型轿车．用AA表示2辆适型轿车，BB表辆标型轿车．用E表示事件“在该样本中任2辆，其中至少有1辆舒适型轿车，则基本事件空间包的基本事件：(A，)，，)(A，)，(AB(A，(AB(A，)(B，B，(B，B，(B，共10个．件E包的基本事件有(AA)(AB，(A，B)，(A，)，(A，)，，)(AB)共7个．77故P(E)＝，所求概率为.10101(3)样本平均数x＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.79.39.08.2)＝9.8设D表事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件间63中有8个基事件，事件D包括基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝＝，843即所求概率为.41变式迁移解(1)总平均数为×(56＋＋89＋10)7.5.6(2)设表事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从总体中抽取2个体全部可能基本结果有(5,6)(5,8)(5,10)(6,7)(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)(7,10)，(8,9)，，9,10)，15个本结果．6事件包括的基本结果有：(5,9)，(5,10)，，(6,9)(6,10)，(7,8)，(7,9)，有7个本结果．7所以所求的概率为P(A)＝.15课后练习区31．8解析共2＝种情，符合求的(，反，)，反，正，反)，反，反，正3种．3∴P＝.8192．36解析一枚骰子掷两次，其基本件总数为36方程有实根的充要条件为b≥4c.b123456使b≥4c的基本事件个数01246619由此可见，使方程有实根的基本事件个数为＋＋＋＋6＝19，于是方程有实根的概率为P＝.363.

310解析在五个数字1,2,3,4,5中机取出三个数字下的两个数字有10种能的结果{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}{2,5}{3,4}{3,5}，{4,5}，其中两个数字都是奇数包3个3结果：{1,3}，{1,5}，，所求的概率为.1054．12解析由题意知，(m－1,1)＝－＋n<0，∴m>n.基本事件总共有6×6＝个合要求的(2,1)(3,1)(4,1)(4,2)(4,3)(5,1)，(5,4)，(6,1)，，(6,5)，共＋＋＋＋＝个)．155∴P＝＝.361235．10解析由袋中随机取出2个小球基本事件总数为10取出小球标注数字之和为3的件为1,2.出小球标注数字之和为6的事为1,52,4.∴取出的小球标注的数字之和为3或概率为1＋3P＝＝.10106．解析设男教师有n人，女教师(＋12)人．由已知从这些教师中选一人，选到男教师的概率n9P＝＝，n＝，2n＋20故参加联欢会的教师共有人17．5π51解析cos＝＝共2个33221x总共有10个，以概率为＝1058．解析从5根竿中一次随机抽2根竹共有10种抽取方法抽的两根竹竿长度恰好相差0.37m

2的情况是2.5和2.8,2.6和2.9种，∴概率P＝0.2.109．解(1)ab，ac，ad，ae，，bd，becd，ce，de.(5分(2)记“恰好摸出1个黑和1个球”为事件，则事件A含的基本事件为ac，，ae，bc，，6be，共6个本件．所以P(A)＝＝0.6.10所以恰好摸出1个球和1个球的概率为0.6.(10分(3)记“至少摸出1个球”为件B，则事件包的基本事件为ab，ac，，，，，，共7个本事件，7所以＝＝0.7.10所以至少摸出1个球的概率为0.7.(14分10解设“中三等奖”的事件为A中奖”的事件为从个小球中有放回的取两个共(0,0)，(0,