惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何何性质一.重点及难点点：：(一).截面静静矩和形形心1.静矩的定义义式式如图1所示任意意有限限平面图图形，取取其单单元如面面积，定定义它对对任意意轴的一一次矩矩为它对对该轴轴的静矩矩，即即yxx整个图形对y、z轴的静矩矩分分别为×Cy（I-1）0Axx2.形心与静矩矩关关系图I-1设平面图形形心心心C的坐标为为则00，（I-2）推论1如果yy轴通过过形心心（即），则则静矩；同同理理，如果x轴通过形形心心（即），则则静矩；反反之之也成立立。推论2如果xx、y轴轴均为图形形形的对称称轴，则则其交点点即为为图形形形心；；如果y轴为图形形对对称轴，则则图图形形心心必在在此轴上上。3.组合图形的的静静矩和形心心心设截面图形由几几几个面积积分别别为的简单单图图形组成成，且且一直各各族图图形的形形心坐坐标分别别为，则则图形对y轴和x轴的静矩矩分分别为（I-3）截面图形的形心心心坐标为为，（I-4）4.静矩的特征征(1)界面图图图形的静静矩是是对某一一坐标标轴所定定义的的，故静静矩与与坐标轴轴有关关。(2)静矩有有有的单位位为。(3)静矩的的的数值可可正可可负，也也可为为零。图图形对对任意形形心轴轴的静矩矩必定定为零，反反之之，若图图形对对某一轴轴的静静矩为零零，则则该轴必必通过过图形的的形心心。(4)若已知知知图形的的形心心坐标。则则可可由式（I-1）求图形形对对坐标轴轴的静静矩。若若已知知图形对对坐标标轴的静静矩，则则可由式式（I-2）求图形形的的形心坐坐标。组组合图形形的形形心位置置，通通常是先先由式式（I-3）求出图图形形对某一一坐标标系的静静矩，然然后由式式（I-4）求出其其形形心坐标标。（二）.惯性矩矩矩惯性积惯性半径径惯性矩定义设任意形形状的的截面图图形的面面积为为A（图I-3），则图图形形对O点的极惯惯性性矩定义义为（I-5）图形对y轴和xxx轴的光性性矩矩分别定定义为为，（I-6）惯性矩的特征界面图形的极惯惯惯性矩是是对某某一极点点定义义的；轴轴惯性性矩是对对某一一坐标轴轴定义义的。极惯性矩和轴惯惯惯性矩的的单位位为。极惯性矩和轴惯惯惯性矩的的数值值均为恒恒为大大于零的的正值值。图形对某一点的的的极惯性性矩的的数值，恒恒等等于图形形对以以该点为为坐标标原点的的任意意一对坐坐标轴轴的轴惯惯性矩矩之和，即即（III-7）组合图形（图III-2）对某一一点点的极惯惯性矩矩或某一一轴的的轴惯性性矩，分分别等于于各族族纷纷图图形对对同一点点的极极惯性矩矩或同同一轴惯惯性矩矩之和，即即，，（I-8）yyyxxdAAyy0x0x图I-2图I-3惯性积定义设任意意形状的的截面面图形的的面积积为A（图I-3），则图图形形对y轴和x轴的惯性性积积定义为为（I-9）惯性积的特征界面图形的惯性性性积是对对相互互垂直的的某一一对坐标标轴定定义的。惯性积的单位为为为。惯性积的数值可可可正可负负，也也可能等等于零零。若一一对坐坐标周中中有一一轴为图图形的的对称轴轴，则则图形对对这一一对称轴轴的惯惯性积必必等于于零。但但图形形对某一一对坐坐标轴的的惯性性积为零零，这这一对坐坐标轴轴重且不不一定定有图形形的对对称轴。组合图形对某一一一对坐标标轴的的惯性积积，等等于各组组分图图形对同同一坐坐标轴的的惯性性积之和和，即即（I-10）惯性半径定义：任意意意形状的的截面面图形的的面积积为A（图I-3）,则图形对y轴和x轴的惯性性半半径分别别定义义为，（I-11）惯性半径径的的特征惯性半径是对某某某一坐标标轴定定义的。惯性半径的单位位位为m。惯性半径的数值值值恒取证证之。（三）.惯性矩矩矩和惯性性积的的平行移移轴公公式平行移轴公式（I-12）（I-13）平行移轴公式的的的特征（1）意形状界界面面光图形的的的面积为A（图（I-4）；轴为图形形的的形心轴轴；x，y轴为分别别与与形心轴相相距距为a和b的平行轴轴。（2）两对平行行轴轴之间的距距距离a和b的正负，可可可任意选选取坐坐标轴x，y或形心为参参考考轴加以以确定定。（3）在所有相相互互平行的坐坐坐标轴中中，图图形对形形心轴轴的惯性性矩为为最小，但但图图形对形形心轴轴的惯性性积不不一定是是最小小。yddAbbCa0x图I-4(四)、惯性矩矩和惯惯性积的的转轴公公式.主惯性轴轴主主惯性矩矩转轴公式转轴公式的特征征征角度的正负号，从从原坐标轴x,y转至新坐标标轴，以逆时时针转向者为为正（图5）。原点O为截面图图形平平面内的的任意点点，转转轴公式式与图图形的形形心无无关。图形对通过同一一一坐标原原点任任意一对对相互互垂直坐坐标轴轴的两个个轴惯惯性矩之之和为为常量，等等于于图形对对原点点的极惯惯性矩矩，即主惯性轴、主惯惯惯性矩任意形形状状截面图图形对对以某一一点O为坐标原原点点的坐标标轴、的惯性积积为为零（），则则坐标轴轴、称为图形形通通过点O的主惯性性轴(图6)。截面图图形形对主惯惯性轴轴的惯性性矩，称称为主惯惯性矩矩。主惯性轴、主惯惯惯性矩的的确定定对于某一点O，若若能找到到通过过点O的图形的的对对称轴，则则以以点O为坐标原原点点，并包包含对对称轴的的一队队坐标轴轴，即即为图形形通过过点O的一对主主惯惯性轴。对对于于具有对对称轴轴的图形形（或或组合图图形），往往往往已知知其通通过自身身形心心轴的惯惯性矩矩。于是是，图图形对通通过点点o的主惯性性轴轴的主惯惯性矩矩，一般般即可可由平行行移轴轴公式直直接计计算。若通过某一点ooo没有图形形的的对称轴轴，则则可以点o为坐标原原点点，任作作一坐坐标轴x，y为参考轴轴，并并求出图图形对对参考轴x，y的惯性矩矩和惯惯性积。于于是是，图形形通过过点o的一对主主惯惯性轴方方位及及主惯性性矩分分别为（I-166）(I---17))主惯性轴、主惯惯惯性矩的的特征征（1）图形通过过某某一点O至少具有有一一对主惯惯性轴轴，而主主惯性性局势图图形对对通过同同一点点O所有轴的的惯惯性矩中中最大大和最小小。（2）主惯性轴轴的的方位角，从从参考轴x，y量起，以以逆逆时针转转向为为正。（3）若图形对对一一点o为坐标原原点点的两主主惯性性矩相等等，则则通过点o的所有轴轴均均为主惯惯性轴轴，且所所有主主惯性矩矩都相相同。（4）以截面图图形形形心为坐坐标原点点的主主惯性轴轴，称称为形心心主惯惯性轴。图图形形对一对对形心心主惯性性轴的的惯性矩矩，称称为形心心主惯惯性矩。yy0x0xxAA图I-5图I-6二.典型例题分分析析例I-a试计计计算图示三三角角形截面面对于于与其底底边重重合的x轴的静矩矩。解：计算此截面面面对于x轴的静矩矩时，可可以去平平行于于x轴的狭长长条(见图)作为面积积元元素（因因其上上各点的y坐标相等等），即即。由相似似三三角形关关系，可可知:,因此有。将其其其代入公式式（I-1）的第二二式式，即得得ydyhb(y)yy0xxbb例题I-a图图解题指导：此题题题为积分分法求求图形对对坐标标轴的静静矩。例I-2试确确确定图示Ⅰ截面形形心C的位置解：将截面分为为为І、П两个矩形形。为为计算方方便，取x轴和y轴分别与与界面的底底边和左边边缘重合（见见图）。先先计算每一一个矩形的的面积和形形心坐标（）如下：矩形І，矩形П，将其代入公式（I-4），即得得截截面形心C的坐标为为ІⅡ10解题指导：此此此题是将将不规规则图形形划分分为两个个规则则图形利利用已已有的规规则图图形的面面积和和形心，计计算算不规则则图形形的形ІⅡ10yy11011200··x80图例I-3试求求求图I-c所示截面面对对于对称称轴x轴的惯性性矩矩解：此截面可以以以看作有有一个个矩形和和两个个半圆形形组成成。设矩矩形对对于x轴的惯性性矩矩为，每一一个个半圆形形对于于x轴的惯性性矩矩为，则由由公公式（I-11）的第一一式式可知，所所给给截面的的惯性性矩：（1）矩形对于x轴的的的惯性矩矩为：：（2）半圆形对于x轴轴轴的惯性性矩可可以利用用平行行移轴公公式求求得。为为此，先先求出每每个半半圆形对对于与与x轴平行的的形形心轴（图b）的惯性性矩矩。已知半半圆圆形对于于其底底边的惯惯性矩矩为圆形形对其其直径轴轴（图b）的惯性性据据之半，即即。而而半圆形形的面面积为，其其形形心到底底边的的距离为为（图b）。故由由平平行移轴轴公式式（I-100a），可以以求求出每个个半圆圆形对其其自身身形心轴轴的惯惯性矩为为：（333）由图a可知，半半圆形形形心到到x轴距离为为，故故在由平平行移移轴公式式，求求得每个个半圆圆形对于x轴的惯性性矩矩为：将d=80mmmm、a=11000mmm（图a）代入式式（4），即得得mm4将求得的和代入入入式（1），便得得mm4解题指导：此此此题是将将不规规则图形形划分分为若干干个规规则图形形，利利用已有有的规规则图形形的面面积、形形心及及对自身身形心心轴的惯惯性矩矩，结合合平行行移轴公公式计计算组合合截面面图形对对组合合截面形形心的的惯性矩矩。图图I-c40a=100