2021-2022学年黑龙江省哈尔滨六十九中八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨六十九中八年级（下）期中数学试卷（五四学制）一、选择题（每小题3分，共计30分）1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x+1）（x+2）＝1 D．（x﹣3）2+4＝x22．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）A．2，3，4 B．3，4，6 C．9，40，41 D．4，5，63．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）A．5 B．25 C． D．5或4．在▱ABCD中，有两个内角的度数比为5：1，则▱ABCD中较小内角是（）A．150° B．120° C．60° D．30°5．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（）A． B． C． D．6．下列说法错误的是（）A．四个角都相等的四边形是矩形 B．三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形7．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则▱ABCD的周长是（）A．16 B．14 C．26 D．248．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＜1且k≠0 B．k≠0 C．k＜1 D．k＞19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线，交BC于E，连接CD，AE，CD＝4，AE＝5，则AC＝（）A．3 B． C．5 D．10．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则EF的长度为（）A．1 B．2 C． D．二、填空题（每小题3分，共计30分）11．哈尔滨市主城区人口为4800000人，主城区人口数用科学记数法可表示为．12．一元二次方程x2﹣4x+9＝5的根是．13．分解因式：x2﹣6x＝．14．关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0的实数根中有一个是4，则m＝．15．如图，E为▱ABCD外一点，且EB⊥BC，ED⊥CD，若∠E＝70°，则∠A的度数为．16．Rt△ABC中，斜边AB上的高为CD，若AC＝3，BC＝4．则CD＝．17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D、E分别为AC、AB中点，连接DE，则DE长为．18．如图，矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED，若AB＝，∠ABE＝60°，则BC的长为．19．在矩形ABCD中，AM平分∠BAD交BC于点M，DN平分∠ADC交BC于点N，若BN＝2，MN＝1，则矩形ABCD的面积为．20．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，BE平分∠ABC交AC于E，过点C作AC的垂线，交BD的延长线于F，连接EF，CF＝6，BF＝11，则EF＝．三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共60分）21．解下列方程：（1）3x2﹣2＝5x；（2）4（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0．22．图1、图2分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求：（1）在图1中画一个△ABC，使△ABC为面积为5的直角三角形；（2）在图2中画一个△ABC，使△ABC为钝角等腰三角形．23．如图，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我国领海区域B处有一可疑渔船，正在以20海里/时的速度向西北方向航行，我国渔政船立即沿北偏东60°方向航行，2小时后，在我国领海区域的C处截获可疑渔船，求渔政船的航行速度（结果保留根号）．24．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B、C作射线AD的垂线，垂足分别为E、F，连接BF、CE．（1）求证：四边形BECF是平行四边形；（2）若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD面积相等的所有三角形．25．植树节期间，某单位欲购进A、B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元，若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元．（1）求购进A、B两种树苗的单价；（2）若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵？26．如图1，四边形ABCD中，AB∥DC，∠A＝∠C．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，过点D作AB的垂线，垂足为E，过点B作AD的垂线，垂足为F，连接EF，若∠FED＝∠ABF，求证：AF＝DF；（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上取一点P，连接CP，交BF于T若∠CTF：∠A＝3：2，EF＝3，BP＝2，求CD的长．27．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B（6，4），点F（1，0），E是AB上一点，现将△AEF沿直线EF折叠，点A落在BC边上的点D处．（1）如图1，求D的坐标；（2）如图2，点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向终点C运动，设△DFP的面积为S，运动时间为t秒，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，当S＝5时，在线段AO上取一点N，连接PN、CN，在第三象限内取一点M，连接CM、MN，MN与y轴交于T，若CN＝MN，CM＝PN，∠MCT＝∠CNP，求N点坐标．

参考答案一、选择题（每小题3分，共计30分）1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x+1）（x+2）＝1 D．（x﹣3）2+4＝x2【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．解：A．该方程是分式方程，故本选项不合题意；B．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是关于x的一元二次方程，故本选项不合题意；C．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；D、化简后不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C．2．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）A．2，3，4 B．3，4，6 C．9，40，41 D．4，5，6【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．解：A、22+32≠42，故选项A不符合题意；B、32+42≠62，故选项B不符合题意；C、92+402＝412，故选项C不符合题意；D、42+52≠62，故选项D不符合题意；故选：C．3．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）A．5 B．25 C． D．5或【分析】分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，②3和4都是直角边，根据勾股定理求出即可．解：分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长是＝；②3和4都是直角边，由勾股定理得：第三边长是＝5；即第三边长是5或，故选：D．4．在▱ABCD中，有两个内角的度数比为5：1，则▱ABCD中较小内角是（）A．150° B．120° C．60° D．30°【分析】由平行四边形的对角相等、邻边互补可求得平行四边形的每个内角的度数，可求得答案．解：不妨设∠A：∠B＝5：1，即∠A＝5∠B，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴6∠B＝180°，∴∠B＝30°，∴∠A＝150°，∴▱ABCD中较小内角为30°，故选：D．5．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（）A． B． C． D．【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．解：选项A如图：A、∵AC2＝12+32＝10，BC2＝12+22＝5，AB2＝12+42＝17，∴△ABC不是直角三角形，故本选项正确；选项B如图：B、∵AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，∴△ABC是直角三角形，故本选项错误；选项C如图：C、∵AB2＝22+22＝8，AC2＝22+22＝8，BC2＝16，∴△ABC是直角三角形，故本选项错误；选项D如图：D、∵AC2＝12+32＝10，BC2＝12+32＝10，AB2＝22+42＝20，∴△ABC是直角三角形，故本选项错误．故选：A．6．下列说法错误的是（）A．四个角都相等的四边形是矩形 B．三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形【分析】根据矩形的判定、平行四边形的判定、三角形的中位线的性质等知识一一判断即可．解：A、四个角都相等的四边形是矩形，正确．B、三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半，正确．C、错误．对角线相等的四边形不一定是矩形．D、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确．故选：C．7．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则▱ABCD的周长是（）A．16 B．14 C．26 D．24【分析】首先由在▱ABCD中，AD＝8，BE＝3，求得CE的长，然后由DE平分∠ADC，证得△CED是等腰三角形，继而求得CD的长，则可求得答案．解：∵在▱ABCD中，AD＝8，∴BC＝AD＝8，AD∥BC，∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，∠ADE＝∠CED，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE＝5，∴▱ABCD的周长是：2（AD+CD）＝26．故选：C．8．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＜1且k≠0 B．k≠0 C．k＜1 D．k＞1【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义，令Δ＞0且二次项系数不为0即可．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即（﹣6）2﹣4×9k＞0，解得，k＜1，∵为一元二次方程，∴k≠0，∴k＜1且k≠0．故选：A．9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线，交BC于E，连接CD，AE，CD＝4，AE＝5，则AC＝（）A．3 B． C．5 D．【分析】由直角三角形斜边上的中线可求AB＝8，根据线段垂直平分线的性质可得BE＝AE＝5，再利用勾股定理求得CE的长，进而可求解AC的长．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4，∴AB＝2CD＝8，∵ED⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴BE＝AE＝5，∵AC2＝AE2﹣CE2＝AB2﹣BC2，∴52﹣CE2＝82﹣（5+CE）2，解得CE＝1.4，∴AC＝．故选：B．10．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则EF的长度为（）A．1 B．2 C． D．【分析】先根据矩形的性质，推理得到∠EDO＝30°，再根据Rt△DOE求得OE的长，即可得到EF的长．解：∵∠AEO＝120°，∠DOE＝90°，∴∠EDO＝30°，又∵AC＝2，∴DO＝BD＝AC＝，∴Rt△DOE中，OE＝tan30°×DO＝1，同理可得，Rt△BOF中，OF＝1，∴EF＝2，故选：B．二、填空题（每小题3分，共计30分）11．哈尔滨市主城区人口为4800000人，主城区人口数用科学记数法可表示为4.8×106．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：哈尔滨市主城区人口为4800000人，主城区人口数用科学记数法可表示为4.8×106．故答案为：4.8×106．12．一元二次方程x2﹣4x+9＝5的根是x1＝x2＝2．【分析】整理后利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．解：x2﹣4x+9＝5，x2﹣4x+9﹣5＝0，x2﹣4x+4＝0，（x﹣2）2＝0，x﹣2＝0，x1＝x2＝2，故答案为：x1＝x2＝2．13．分解因式：x2﹣6x＝x（x﹣6）．【分析】首先找出公因式，进而提取公因式得出答案．解：x2﹣6x＝x（x﹣6）．故答案为：x（x﹣6）．14．关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0的实数根中有一个是4，则m＝8．【分析】把x＝4代入x2﹣6x+m＝0中可得42﹣6×4+m＝0，然后进行计算即可解答．解：由题意得：把x＝4代入x2﹣6x+m＝0中得：42﹣6×4+m＝0，16﹣24+m＝0，m＝24﹣16，m＝8，故答案为：8．15．如图，E为▱ABCD外一点，且EB⊥BC，ED⊥CD，若∠E＝70°，则∠A的度数为110°．【分析】根据四边形内角和360°求出∠C度数，再借助平行四边形的性质可知∠A＝∠C即可得到结果．解：在四边形BCDE中，∠E＝70°，∠EBC＝∠EDC＝90°，所以∠C＝360°﹣70°﹣90°﹣90°＝110°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C＝110°．故答案为：110°．16．Rt△ABC中，斜边AB上的高为CD，若AC＝3，BC＝4．则CD＝．【分析】在直角△ABC中，AB为斜边，已知AC，BC根据勾股定理即可求AB的长度，根据面积法即可求CD的长度．解：在Rt△ABC中，AB为斜边，AC＝3，BC＝4，则AB＝＝5，△ABC的面积S＝AC•BC＝AB•CD解得CD＝，故答案为．17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D、E分别为AC、AB中点，连接DE，则DE长为4．【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理解答即可．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，由勾股定理得，BC＝＝＝8，∵D、E分别为AC、AB中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB＝4，故答案为：4．18．如图，矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED，若AB＝，∠ABE＝60°，则BC的长为2．【分析】根据矩形的性质可得∠A＝90°，AD∥BC，再利用直角三角形的性质可得BE长，然后证明BE＝BC可得答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∵∠ABE＝60°，∴∠AEB＝30°，∴BE＝2AB＝2，∵EC平分∠BED，∴∠BEC＝∠CED，∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠ECB，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE＝2，故答案为：2．19．在矩形ABCD中，AM平分∠BAD交BC于点M，DN平分∠ADC交BC于点N，若BN＝2，MN＝1，则矩形ABCD的面积为3或15．【分析】分两种情况作出图形，利用矩形的性质求解即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠CDA＝90°，∵AM平分∠BAD交BC于点M，DN平分∠ADC交BC于点N，∴∠BAM＝∠CDN＝45°，∴△ABM和△NDC是等腰直角三角形，∴AB＝BM＝CD＝CN，如图（1）当BN＝2，MN＝1时，AB＝BM＝CD＝CN＝3，∴BC＝5，此时矩形的面积为15；如图（2）当BN＝2，MN＝1时，AB＝AB＝BM＝CD＝CN＝1，∴BC＝3，此时矩形的面积为3；故答案为：3或15．20．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，BE平分∠ABC交AC于E，过点C作AC的垂线，交BD的延长线于F，连接EF，CF＝6，BF＝11，则EF＝．【分析】过点E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，由矩形的判定与性质可得OF＝，OF＝，过点D作DQ⊥CF于点Q，根据相似三角形的判定与性质可得DQ＝，FQ＝，CQ＝CF﹣QF＝6﹣，＝＝，最后由相似三角形的判定与性质及勾股定理可得答案．解：过点E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，∵，∴，∴四边形ABCD为矩形，∴设OB＝OA＝OC＝CD＝a，∴OF＝11﹣a，DF＝11﹣2a，在Rt△OCF中，OF2＝OC2+CF2，∴（11﹣a）2＝a2+62，∴a＝，∴OF＝，OF＝，过点D作DQ⊥CF于点Q，∴∠DQF＝∠OCF＝90°，∵∠OCF＝∠DFQ，∴△DQF∽△OCF，∴，即，∴DQ＝，FQ＝，∴CQ＝CF﹣QF＝6﹣，∴＝＝，∵∠BCD＝∠ACF＝90°，∴∠ACB＝∠DCQ，∴∠ABC＝∠DQC＝90°，∴△ABC∽△DQC，∴，∴，∴，∴EC＝＝＝5，∴EF＝＝．故答案为：．三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共60分）21．解下列方程：（1）3x2﹣2＝5x；（2）4（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0．【分析】（1）先移项，再用公式法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．解：（1）3x2﹣2＝5x，整理得3x2﹣5x﹣2＝0，∵a＝3，b＝﹣5，c＝﹣2，b2﹣4ac＝25+24＝49，∴x＝＝，解得：x1＝﹣，x2＝2；（2）4（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（4x﹣12+x）＝0，（x﹣3）（5x﹣12）＝0，则x﹣3＝0或5x﹣12＝0，解得：x1＝3，x2＝．22．图1、图2分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求：（1）在图1中画一个△ABC，使△ABC为面积为5的直角三角形；（2）在图2中画一个△ABC，使△ABC为钝角等腰三角形．【分析】（1）根据题意可知AB＝5，要使△ABC面积为5，则只需要过点A作垂直AB的直线且长度为2即可；（2）要使△ABC为钝角等腰三角形，则必须找到和AB相等的边BC且C点必须在小正方形的顶点．解：（1）∵AB＝5，∴要使△ABC面积为5，则只需要过点A作垂直AB的直线且长度为2即可，如图所示；（2）BC＝＝5＝AB，如图所示．（答案不唯一）23．如图，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我国领海区域B处有一可疑渔船，正在以20海里/时的速度向西北方向航行，我国渔政船立即沿北偏东60°方向航行，2小时后，在我国领海区域的C处截获可疑渔船，求渔政船的航行速度（结果保留根号）．【分析】作CD⊥AB于点D，垂足为D，首先在Rt△BCD中求得CD的长，然后在Rt△ACD中求得AC的长度，即可求出渔政船的航行速度．解：作CD⊥AB于点D，垂足为D，在Rt△BCD中，∵BC＝20×2＝40（海里），∠CBD＝45°，∴CD＝BC•sin45°＝40×＝20（海里），则在Rt△ACD中，AC＝＝40（海里），则渔政船的航行速度为40÷2＝20海里/时．24．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B、C作射线AD的垂线，垂足分别为E、F，连接BF、CE．（1）求证：四边形BECF是平行四边形；（2）若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD面积相等的所有三角形．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出ED＝FD，进而利用平行四边形的判定证明即可；（2）利用三角形的面积解答即可．【解答】（1）证明：∵D是BC中点，∴BD＝CD，∵BE⊥AE，CF⊥AE，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED与△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴ED＝FD，∵BD＝CD∴四边形BECF是平行四边形；（2）与△ABD面积相等的三角形有△ACD、△CEF、△BEF、△BEC、△BFC．25．植树节期间，某单位欲购进A、B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元，若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元．（1）求购进A、B两种树苗的单价；（2）若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵？【分析】（1）设B树苗的单价为x元，则A树苗的单价为y元．则由等量关系列出方程组解答即可；（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式解答即可．解：设B树苗的单价为x元，则A树苗的单价为y元，可得：，解得：，答：B树苗的单价为300元，A树苗的单价为200元；（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，可得：200a+300（30﹣a）≤8000，解得：a≥10，答：A种树苗至少需购进10棵．26．如图1，四边形ABCD中，AB∥DC，∠A＝∠C．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，过点D作AB的垂线，垂足为E，过点B作AD的垂线，垂足为F，连接EF，若∠FED＝∠ABF，求证：AF＝DF；（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上取一点P，连接CP，交BF于T若∠CTF：∠A＝3：2，EF＝3，BP＝2，求CD的长．【分析】（1）由AB∥DC和∠A＝∠C，可得∠C+∠D＝180°，即知AD∥BC，故四边形ABCD是平行四边形；（2）由DE⊥AB，BF⊥AD，得∠ADE＝90°﹣∠A＝∠ABF，而∠FED＝∠ABF，即得∠FED＝∠ADE，从而DF＝EF，∠FEA＝∠A，故AF＝EF，得AF＝DF；（3）过C作CH⊥AB交AB延长线于H，在AH延长线上取HM＝HB，连接CM，BD，由（2）得EF为直角三角形△AED斜边上的中线，且EF＝3，得AD＝2EF＝6，由∠CTF：∠A＝3：2，设∠A＝2α＝∠CBH，则∠CTF＝3α＝∠BTP，可得∠TPB＝180°﹣∠ABF﹣∠BTP＝180°﹣（90°﹣2α）﹣3α＝90°﹣α＝∠MCP，故PM＝CM＝6，而BP＝2，知BM＝PM﹣BP＝4，HB＝HM＝＝2，证明△ADE≌△BCH（AAS），得AE＝HB＝2，有DE＝＝4，设CD＝AB＝BD＝x，则BE＝x﹣2，在Rt△BDE中，（x﹣2）2+（4）2＝x2，解得CD的长为9．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）证明：∵DE⊥AB，BF⊥AD，∴∠ADE＝90°﹣∠A＝∠ABF，∵∠FED＝∠ABF，∴∠FED＝∠ADE，∴DF＝EF，90°﹣∠FED＝90°﹣∠ADE，即∠FEA＝∠A，∴AF＝EF，∴AF＝DF；（3）过C作CH⊥AB交AB延长线于H，在AH延长线上取HM＝HB，连接CM，BD，如图：由（2）得EF为直角三角形△AED斜边上的中线，且EF＝3，∴AD＝2EF＝6，∵BF⊥AD，∴AB＝BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝BD，AD∥BC，由∠CTF：∠A＝3：2，设∠A＝2α＝∠CBH，则∠CTF＝3α＝∠BTP，∴∠ABF＝90°﹣∠A＝90°﹣2α，在△BPT中，∠TPB＝180°﹣∠ABF﹣∠BTP＝180°﹣（90°﹣2α）﹣3α＝90°﹣α，∴∠BCP＝∠CBH﹣∠TPB＝2α﹣（90°﹣α）＝3α﹣90°，∵HM