2021-2022学年安徽省合肥五十中西校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省合肥五十中西校八年级（下）期中数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．2．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．+x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣m＝33．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．4．若关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣35．用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝56．已知是整数，则正整数n的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．87．下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a：b：c＝5：12：13 B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 C．a＝9k，b＝40k，c＝41k（k＞0） D．a＝32，b＝42，c＝528．新能源汽车越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2020年销量为136.7万辆，销量逐年增加，预计到2022年销量达到500万辆．若年平均增长率为x，则可列方程为（）A．136.7（1+x）2＝500 B．500（1﹣x）＝136.7 C．136.7（1+2x）＝500 D．136.7（1+x2）＝5009．△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25．在△ABC内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（）A．1 B．2 C．3 D．410．设三个方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0，x2+（2m+1）x+m2＝0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1＝0中，至少有一个方程有实数根，则m的取值范围是（）A．﹣＜m＜﹣ B．m≤﹣或m≥ C．m≤﹣或m≥﹣ D．﹣＜m≤二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．若式子﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为．13．Rt△ABC三边分别为a、b、c，c为斜边，则代数式﹣的化简结果为．14．我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落地，离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是尺．（1丈＝10尺）15．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝，点P是射线AB上一点，连接CP，将△ACP沿CP翻折得到△DCP，当直线CD与射线AB垂直时，AP的长为．三．（本大题共2小题，每小题0分，满分0分）17．计算：（+）2﹣（+）（﹣）﹣÷．18．解方程：2x2﹣5x﹣3＝0．四．（本大题共4小题，每小题8分，满分32分）19．在所给的格点图中，每个小正方形的边长都是1．（1）图1中有四条线段a，b，c，d，则能构成一个直角三角形三边长的三条线段是（只填序号）；（2）在图2中画出一个△ABC，使其三边长分别为，，5，三个顶点都在格点上，并求出你画出的△ABC的面积．20．关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根为1，求m的值．21．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2．（1）求证：△ACD是直角三角形；（2）求四边形ABCD的面积．22．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同．（1）今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？（2）今年2月第一周，供应商以100元每个售出雪容融140个，150元每个售出冰墩墩120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m个，最终商家获利5160元，求m．五．（本题满分10分）23．我们规定，三角形任意两边的“致真值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“致真值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB∇AC＝OA2﹣BO2．（1）在△ABC中，若∠ACB＝90°，AB∇AC＝81，求AC的值．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝12，∠BAC＝120°，求AB∇AC，BA∇BC的值．（3）如图3，在△ABC中，AO是BC边上的中线，S△ABC＝24，AC＝8，AB∇AC＝﹣64，求BC和AB的长．

参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；C、被开方数含分母，故C不符合题意；D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；故选：A．2．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．+x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣m＝3【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．解：A、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D．3．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．4．若关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝﹣1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．解：把x＝﹣1代入方程x2+3x+a＝0得1﹣3+a＝0，解得a＝2．故选：B．5．用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝5【分析】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．解：把方程x2+4x﹣1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2+4x＝1方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4＝1+4配方得（x+2）2＝5．故选：A．6．已知是整数，则正整数n的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】因为是整数，且＝2，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．解：∵＝2，且是整数，∴2是整数，即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故选：C．7．下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a：b：c＝5：12：13 B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 C．a＝9k，b＝40k，c＝41k（k＞0） D．a＝32，b＝42，c＝52【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．解：A、因为a：b：c＝5：12：13，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C＝2：3：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°×＝90°，故△ABC是直角三角形；C、因为（9k）2＝（41k）2﹣（40k）2，故△ABC是直角三角形；D、因为（32）2≠（52）2﹣（42）2，故△ABC不是直角三角形．故选：D．8．新能源汽车越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2020年销量为136.7万辆，销量逐年增加，预计到2022年销量达到500万辆．若年平均增长率为x，则可列方程为（）A．136.7（1+x）2＝500 B．500（1﹣x）＝136.7 C．136.7（1+2x）＝500 D．136.7（1+x2）＝500【分析】设年平均增长率为x，由题意得等量关系：2020年销量×（1+增长率）2＝2022年销量，根据等量关系列出方程．解：设年平均增长率为x，可列方程为：136.7（1+x）2＝500，故选：A．9．△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25．在△ABC内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】连接AP，BP，CP，根据直角三角形的面积公式即可求得该距离的长．解：∵△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25，∴AB2+BC2＝72+242＝252＝AC2，∴∠ABC＝90°，连接AP，BP，CP．设PE＝PF＝PG＝xS△ABC＝×AB×CB＝84，S△ABC＝AB×x+AC×x+BC×x＝（AB+BC+AC）•x＝×56x＝28x，则28x＝84，x＝3．故选：C．10．设三个方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0，x2+（2m+1）x+m2＝0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1＝0中，至少有一个方程有实数根，则m的取值范围是（）A．﹣＜m＜﹣ B．m≤﹣或m≥ C．m≤﹣或m≥﹣ D．﹣＜m≤【分析】首先根据根的判别式求出三个方程没有一个方程有实数根的m的取值范围，然后即可求出题目要求的取值范围．解：设关于x的三个方程都没有实根．对于方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0，则有△1＜0，即△1＝16m2﹣4（4m2+2m+3）＜0，解得m＞﹣；对于方程x2+（2m+1）x+m2＝0，则有△2＜0，即△2＝（2m+1）2﹣4m2＝4m+1＜0，解得m＜﹣；对于方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣1＝0，当m＝1时，方程变为2x＝0，方程有解，所以m≠1，则有△3＜0，即△3＝4m2﹣4（m﹣1）2＝8m+4＜0，解得m＜．综上所述：当﹣＜m＜﹣，且m≠1时，关于x的三个方程都没有实根．所以若关于x的三个方程x2+4mx+4m2+2m+3＝0，x2+（2m+1）x+m2＝0，（m﹣1）x2+2mx+m﹣1＝0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是m≤﹣或m≥﹣．故选：C．二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．若式子﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥0．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．解：若式子﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是：x≥0．故答案为：x≥0．12．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为﹣16．【分析】将m代入2x2﹣3x﹣1＝0可得2m2﹣3m＝1，再将所求代数式变形为﹣3（2m2﹣3m）﹣13即可求解．解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∵﹣6m2+9m﹣13＝﹣3（2m2﹣3m）﹣13＝﹣3﹣13＝﹣16，故答案为：﹣16．13．Rt△ABC三边分别为a、b、c，c为斜边，则代数式﹣的化简结果为b．【分析】将代数式﹣化简为﹣，再根据二次根式的性质进行化简即可．解：∵Rt△ABC三边分别为a、b、c，c为斜边，∴c2﹣b2＝a2，∴﹣＝﹣＝a+b﹣a＝b．故答案为：b．14．我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落地，离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是4.55尺．（1丈＝10尺）【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．解得：x＝4.55，故答案为：4.55．15．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是k≤3且k≠1．【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出k的范围即可．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+2＝0有实数根，∴Δ＝42﹣8（k﹣1）≥0，k﹣1≠0，解得：k≤3且k≠1．故答案为：k≤3且k≠1．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝，点P是射线AB上一点，连接CP，将△ACP沿CP翻折得到△DCP，当直线CD与射线AB垂直时，AP的长为1或5．【分析】分两种情况画图，根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积可得CE，根据勾股定理即可解决问题．解：①设直线CD与射线AB垂直于点E，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵BC＝2，AC＝，∴AB＝＝3，∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AC，∴3CE＝2，∴CE＝，∴AE＝＝＝，∴PE＝AE﹣AP＝﹣AP，由折叠可知：CD＝AC＝，AP＝DP，∴DE＝CD﹣CE＝﹣＝，在Rt△PDE中，根据勾股定理得：PD2＝DE2+PE2，∴AP2＝（）2+（﹣AP）2，解得AP＝1．②直线CD与射线AB垂直于点E，由①可知：CE＝，∴AE＝，∵PE＝AP﹣AE＝AP﹣，由折叠可知：CD＝AC＝，AP＝DP，∴DE＝CD+CE＝+＝，在Rt△PDE中，根据勾股定理得：PD2＝DE2+PE2，∴AP2＝（）2+（AP﹣）2，解得AP＝5．综上所述：AP的长为1或5．故答案为：1或5．三．（本大题共2小题，每小题0分，满分0分）17．计算：（+）2﹣（+）（﹣）﹣÷．【分析】先利用完全平方公式、平方差公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可．解：原式＝5+2+2﹣（5﹣3）﹣＝7+2﹣2﹣2＝5+2﹣2．18．解方程：2x2﹣5x﹣3＝0．【分析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．解：方程2x2﹣5x﹣3＝0，因式分解得：（2x+1）（x﹣3）＝0，可得：2x+1＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝﹣，x2＝3．四．（本大题共4小题，每小题8分，满分32分）19．在所给的格点图中，每个小正方形的边长都是1．（1）图1中有四条线段a，b，c，d，则能构成一个直角三角形三边长的三条线段是a，b，d（只填序号）；（2）在图2中画出一个△ABC，使其三边长分别为，，5，三个顶点都在格点上，并求出你画出的△ABC的面积．【分析】（1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可；（2）利用数形结合的思想画出图形即可．解：（1）∵a＝，b＝2，c＝，d＝，∴a2+b2＝d2，∴a，b，d三条线段能构成直角三角形．故答案为：a，b，d；（2）画图不唯一，如右图所示．所画△ABC的面积＝．20．关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根为1，求m的值．【分析】（1）根据关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0的根的判别式的符号来证明结论；（2）根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0，即可求得m的值．【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，解得，m＝2．21．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2．（1）求证：△ACD是直角三角形；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据勾股定理得出AC，进而利用勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据三角形的面积公式解答即可．【解答】（1）证明：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝，∴AC＝，∵CD＝2，AD＝2，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形；（2）解：∵AB＝，BC＝1，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝．22．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同．（1）今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？（2）今年2月第一周，供应商以100元每个售出雪容融140个，150元每个售出冰墩墩120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m个，最终商家获利5160元，求m．【分析】（1）设今年2月第一周每个冰墩墩的进价为x元，每个雪容融的进价为y元，根据“一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价；（2）利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：（1）设今年2月第一周每个冰墩墩的进价为x元，每个雪容融的进价为y元，依题意得：，解得：．答：今年2月第一周每个冰墩墩的进价为120元，每个雪容融的进价为80元．（2）依题意得：（100﹣m﹣80）（140+m）+（150﹣120）（120+0.2m）＝5160，整理得：m2+114m﹣1240＝0，解得：m1＝10，m2＝﹣124（不合题意，舍去）．答：m的值为10．五．（本题满分10分）23．我们规定，三角形任意两边的“致真值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，A