高中数学 人教A版 必修一 《集合与常用逻辑用语》 1.2 集合间的基本关系

高中数学人民教育出版社A版必修第一册第一章集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系安徽省宣城市泾县第二中学徐盛昊温故知新、引入新课一1.元素、集合的概念：研究对象统称为元素。一些元素组成的总体叫做集合。2.集合中元素的性质：无序性、确定性、互异性3.集合的表示方法：列举法、描述法4.常用数集：

N、N*(N+)、Z、Q、R欣赏关于宇宙的视频片段。视频片段.mp4把地球、太阳系、银河系、宇宙都看成集合，可以直观感知到集合的范围在不断扩大，该实例启发我们思考：集合与集合之间存不存在相应的联系呢？多维互动，主题探究二问题1

我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，类比思考，两个集合之间是否也有这样的关系？姓名性别年龄（岁）身高（cm）体重（kg）小明男511219小明爸爸男3318885小明妈妈女3216360小明奶奶女6316258小明爷爷男6518290c女3115743d男3117060e男3218285f女2117760g男4216855h男51184100i男2317570j女711922k女4016549l女1015033（2）激流勇进项目适合年龄10～60岁的游客玩耍，应该如何表示这个集合B呢?A={小明爸爸,小明妈妈,c,d,e,f,g,i,k}（1）高空滑道适合年龄16～50岁的游客玩耍，应该如何表示这个集合A呢?（3）你能发现这两个集合的关系么?B={小明爸爸,小明妈妈,c,d,e,f,g,h,i,k,l}国庆期间，小明同学和爸爸妈妈爷爷奶奶一家人跟着旅行团来到了游乐场，旅行团一共15人，信息如下表：问题2集合A中任意一个元素都是集合B中的元素。对于问题2与问题3，不难发现，集合A中任意一个元素都是集合B中的元素。这时我们说：集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。问题3观察如下例子，你能发现下面两个集合之间的关系吗？A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}。集合A中任意一个元素都是集合B中的元素。一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集。记作：

A⊆B(或B⊇A)，读作：“A包含于B”(或“B包含A”)。定

义在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。对于问题2和问题3中集合A和集合B的包含关系，可以这样表示：

B

A定

义特别地，对于数集，除了Venn图之外，也可以用

表示。数轴问题4观察如下例子，判断集合A是否是集合B的子集？(1)A={1,2,3},B={1,2,3,4}。(2)A={x∣x≤0,且x∈R},B={x∣x＜1,且x∈R}。(3)A={-1,2,3},B={2,3,4}。(4)A={x∣x是两条边相等的三角形},

B={x∣x是等腰三角形}。√√√思考：对于第(4)小题，两个集合中的元素有什么关系？元素一样由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合A、B都是由所有等腰三角形组成的集合。集合A的元素与集合B的元素是一样的，集合A与集合B相等。思考：现在我们已经学习了子集的定义，也就是说，我们会用包含的角度去分析集合之间的基本关系了。能不能用包含关系来概括集合相等的定义呢？集合A、B都是由所有等腰三角形组成的集合。即集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，同时，集合B中任何一个元素也都是集合A中的元素。即A包含于B，B也包含于A。一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等,记作A=B。也就是说，若A⊆B,且B⊆A，则A=B。

定

义与“若ɑ≤b,且b≤ɑ，则ɑ=b”可类比。问题4观察如下例子，判断集合A是否是集合B的子集？(1)A={1,2,3},B={1,2,3,4}。(2)A={x∣x≤0,且x∈R},B={x∣x＜1,且x∈R}。(3)A={-1,2,3},B={2,3,4}(4)A={x∣x是两条边相等的三角形},

B={x∣x是等腰三角形}。√√√思考：由此可见，两个集合相等是包含关系的特例。那么如果A⊆B，除了A=B之外，还有其他情况吗？对于第(1)、(2)小题，两个集合中的元素是什么关系？集合B中含有其“特有”的元素，即集合B有，而集合A没有的元素。如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集。记作：AB(或BA)。

读作：“A真包含于B”(或“B真包含A”)。

定

义即集合B中含有其“特有”的元素。相同点：一个集合中的所有元素都是另一个

集合中的元素。不同点：子集包括了两个集合相等的情况，

而真子集不包括该情况。问题5

子集与真子集的异同分别是什么？问题6分析ɑ∈A与{ɑ}⊆A的区别，并填空：元素与集合之间的关系：

。集合与集合之间的关系：

。属于关系包含关系一个房间里面没有任何东西，我们把它叫做空房；一个纸盒里面没有任何东西，我们把它叫做空纸盒；……以此类推：不含任何元素的集合叫做

，记为

。

空集空集的性质：1.规定：空集是任何集合的子集，

2.空集是任何非空集合的

。真子集问题7你能举出几个空集的例子吗？(1)某班同学都出去上体育课了，教室里剩余同学的集合。(2)一元二次方程当△＜0时的实数解组成的集合。

……Ø对于子集问题，由定义不难得出下列结论：(1)任何一个集合是它本身的

，即A

A。(2)(传递性)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A

C。

子集

⊆

⊆

问题8将实数间的关系与集合间的关系进行类比，填写如下表格：实数间的关系(ɑ、b)集合间的关系(集合A、B)ɑ≤bɑ<bɑ=bɑ≤ɑ若ɑ≤b，b≤c，则ɑ≤cA⊆BA=B若A⊆B，B⊆C，则A⊆CA⊆A例题讲解，巩固新知三例1写出集合{ɑ，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。解：集合{ɑ，b}的所有子集为Ø，{ɑ}，{b}，{ɑ，b}。真子集为Ø，{ɑ}，{b}。例2判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：

(1)A={1，2，3}，B={x∣x是8的约数}。

(2)A={x∣x是长方形}，

B={x∣x是两条对角线相等的平行四边形}。解：(1)因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集。

(2)因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集。实践练习，能力形成四1.写出集合{ɑ，b，c}的所有子集。解：Ø，{ɑ}，{b}，{c}，{ɑ，b}，{ɑ，c}，{b，c}，{ɑ，b，c}。2.用适当的符号填空。(1)ɑ____{ɑ，b，c};(2)0____{x│x2=0};(3)Ø____{x∈R│x2+1=0};(4){0，1}____N;(5){0}____{x│x2=x};(6){2，1}____{x│x2−3x+2=0}。∈∈==3.已知集合A={x│0<x<ɑ}，B={x│1<x<2}，若B⊆A，求实数ɑ的取值范围。102°°ɑx°°AB解：借助数轴可得，ɑ∈{ɑ│ɑ≥2}。归纳小结五1.子集,真子集的概念与性质；2.集合的相