浙教版九年级数学上册单元同步测试题及答案

最新浙教版九年级数学上册单元同步测试题及答案全套九年级上册第1章二次函数1．1二次函数01基础题知识点1认识二次函数1．(兰州中考)下列函数表达式中，一定为二次函数的是(C)A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋cC．s＝2t2－2t＋1 D．y2＝x2＋x2．对于y＝ax2＋bx＋c，有以下四种说法，其中正确的是(D)A．当b＝0时，二次函数是y＝ax2＋cB．当c＝0时，二次函数是y＝ax2＋bxC．当a＝0时，一次函数是y＝bx＋cD．以上说法都不对3．在二次函数y＝4x2－72x＋320中，二次项系数为4，一次项系数为－72，常数项为320．4．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋m＋1.(1)若这个函数是一次函数，求m的值；(2)若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？解：(1)根据一次函数的定义，得m2－m＝0，解得m＝0或m＝1.又∵m－1≠0，即m≠1，∴当m＝0时，这个函数是一次函数．(2)根据二次函数的定义，得m2－m≠0.解得m≠0且m≠1.∴当m≠0且m≠1时，这个函数是二次函数．知识点2求实际问题中二次函数的表达式5．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是50件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为(B)A．y＝10x2－100x－160B．y＝－10x2＋200x－360C．y＝x2－20x＋36D．y＝－10x2＋310x－23406．体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD.设边AB的长为x(单位：米)，矩形ABCD的面积为S(单位：平方米)．(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当AB的长为6米时，求矩形场地的面积S.解：(1)S＝x(15－x)＝－x2＋15x.(2)当x＝6时，S＝－62＋15×6＝54(平方米)．答：当AB的长为6米时，矩形场地的面积S为54平方米．知识点3用待定系数法确定二次函数的表达式7．如果二次函数y＝ax2＋bx，当x＝1时，y＝2；当x＝－1时，y＝4，那么a，b的值分别是(A)A．3，－1 B．3，1C．－3，1 D．－3，－18．已知二次函数y＝2x2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝－12；当x＝eq\f(1,2)时，y＝－eq\f(3,2)，求这个二次函数的表达式．解：依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－b＋c＝－12，,\f(1,2)＋\f(1,2)b＋c＝－\f(3,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝8，,c＝－6.))∴所求二次函数的表达式是y＝2x2＋8x－6.02中档题9．在下列函数中，是二次函数的有①③⑥．(只填写序号)①y＝－x2；②y＝22＋6x；③y＝x(5－x);④y＝(2x－4)2－4x2；⑤y＝eq\f(2,x2)；⑥y＝eq\r(3)x2－2.10．已知汽车刹车距离s(m)关于速度v(km/h)的函数表达式是s＝eq\f(1,100)v2.在一辆车速是80km/h的汽车前方70m处，停放着一辆故障车，此时刹车不会(填“会”或“不会”)有危险．11．根据下列条件列出函数表达式，并判断是否为二次函数．(1)如果两个数中，一个比另一个大5，那么这两个数的乘积p是较大的数m的函数；(2)一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S(cm2)是方孔边长x(cm)的函数．解：(1)这两个数的乘积p与较大的数m的函数关系为p＝m(m－5)，是二次函数．(2)剩余的面积S(cm2)与方孔边长x(cm)的函数关系为S＝100π－4x2，是二次函数．12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x…－1024…y…－511m…(1)求这个二次函数的表达式；(2)求上表中m的值．解：(1)依题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝－5，,c＝1，,4a＋2b＋c＝1.))解得a＝－2，b＝4，c＝1.∴二次函数的表达式为y＝－2x2＋4x＋1.(2)当x＝4时，m＝－2×16＋16＋1＝－15.13．某超市经销一种成本为每件40元的商品，经市场调查分析：如果按定价每件50元销售，一周能售出500件，销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件．设销售单价为x元(x≥50)，一周的销售量为y件．(1)写出y关于x的函数表达式(标明x的取值范围)；(2)设一周的销售利润为S元，写出S关于x的函数表达式；(3)在超市对该种商品每周投入不超过10000元的情况下，要使一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？解：(1)y＝1000－10x(50≤x≤100)．(2)S＝－10x2＋1400x－40000.(3)80元．03综合题14．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果当x取任意整数时，函数值y都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如：y＝x2＋x＋2)．(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的表达式(不必证明)；(2)请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于eq\f(1,2)的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．解：(1)如：y＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x，y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x等等(只要写出一个符合条件的函数表达式即可)．(2)假设存在符合条件的抛物线，则对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝c；当x＝1时，y＝a＋b＋c.由整点抛物线定义可知：c为整数，a＋b＋c为整数，所以a＋b必为整数．又当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＝2a＋2(a＋b)＋c是整数，所以2a必为整数，从而a应为eq\f(1,2)的整数倍．因为a≠0，所以|a|≥eq\f(1,2).所以不存在二次项系数的绝对值小于eq\f(1,2)的整点抛物线．

1.2二次函数的图象第1课时二次函数y＝ax2(a≠0)的图象及其特征01基础题知识点1画二次函数y＝ax2(a≠0)的图象1．在同一坐标系中，用描点法画出下列函数的图象．(1)y＝eq\f(1,2)x2；(2)y＝－eq\f(1,3)x2.解：图略．知识点2二次函数y＝ax2(a≠0)的图象特征2．抛物线y＝2x2的顶点坐标是(C)A．(2，0) B．(1，2)C．(0，0) D．(0，2)3．抛物线y＝－eq\f(1,2017)x2的对称轴是(D)A．直线x＝eq\f(1,2017)B．直线x＝－eq\f(1,2017)C．x轴D．y轴4．对于二次函数y＝x2与y＝－x2的图象描述不正确的是(D)A．开口大小相同 B．顶点坐标相同C．对称轴相同 D．开口方向相同5．(金华中考)若二次函数y＝ax2经过点P(－2，4)，则它也经过点(A)A．(2，4) B．(－2，－4)C．(－4，2) D．(4，－2)6．下列函数中，哪个函数的图象与函数y＝x的图象有且只有两个交点(B)A．y＝2x－1 B．y＝x2C．y＝－eq\f(2,x) D．y＝－x－17．若ab＜0，则函数y＝ax2和y＝ax＋b在同一坐标系中的图象大致为(B)8．已知函数y＝－x2，则该函数的图象是一条抛物线，顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴，当x＝0时，图象有最高(填“高”或“低”)点，坐标为(0，0)．9．已知函数y＝ax2的图象经过点(3，－2)，则a＝－eq\f(2,9)，它的对称轴是y轴．10．已知二次函数y＝ax2的图象经过点A(－1，－eq\f(1,2))．(1)求这个二次函数的表达式；(2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴和开口方向．解：(1)把A点坐标代入表达式，得－eq\f(1,2)＝a.∴y＝－eq\f(1,2)x2.(2)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴，开口向下．11．函数y＝ax2(a≠0)的图象与直线y＝2x＋3相交于点(1，b)．(1)求a和b的值；(2)求抛物线y＝ax2的表达式，并求出顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置．解：(1)a＝5，b＝5.(2)表达式为y＝5x2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴，开口向上，顶点坐标(0，0)是图象上的最低点，图象在x轴的上方(除顶点外)．02中档题12．在同一直角坐标系中，下列函数的图象与y＝2x2的图象关于x轴对称的是(C)A．y＝eq\f(1,2)x2 B．y＝－eq\f(1,2)x2C．y＝－2x2 D．y＝－x213．如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝－3x2；②y＝－eq\f(1,2)x2；③y＝－x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是①③②．第13题图第14题图14．如图，圆心为点O的圆的半径为2，C1是函数y＝2x2的图象，C2是函数y＝－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为2π．15．若直线y＝m(m为常数)与函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)（x≤2），,\f(4,x)（x>2）))的图象恒有三个不同的交点，请求出常数m的取值范围．解：当x＝2时，函数y＝2，故函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)（x≤2），,\f(4,x)（x>2）))的图象如图所示．∴常数m的取值范围是0＜m＜2.16．直线y＝kx＋b经过点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2(a≠0)相交于B，C两点，已知C(－2，4)．(1)求直线和抛物线的表达式；(2)在同一平面直角坐标系中画出直线和抛物线；(3)求S△AOC.解：(1)直线的表达式为y＝－x＋2，抛物线的表达式为y＝x2.(2)图略．(3)S△AOC＝4.17．如图，直线l过A(4，0)和B(0，4)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内相交于点P，若△AOP的面积为eq\f(9,2)，求二次函数的表达式．解：设直线l的表达式为y＝kx＋b，将点A，B的坐标代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝0，,b＝4.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝4.))∴y＝－x＋4.设点P的坐标为P(x，y)．∵S△AOP＝eq\f(9,2)，∴eq\f(1,2)×4y＝eq\f(9,2)，解得y＝eq\f(9,4).当y＝eq\f(9,4)时，－x＋4＝eq\f(9,4)，解得x＝eq\f(7,4).∴P(eq\f(7,4)，eq\f(9,4))．将点P的坐标代入y＝ax2中，得eq\f(9,4)＝a×eq\f(49,16)，解得a＝eq\f(36,49).∴二次函数的表达式为y＝eq\f(36,49)x2.03综合题18．如图，点A1、A2、A3、…An在y＝x2的图象上，点B1、B2、B3、…Bn在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn－1Bn都为等腰直角三角形(点B0是坐标原点)，则△A2017B2016B2017的腰长为2_017eq\r(2)．

第2课时二次函数y＝a(x－m)2和y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象及其特征01基础题知识点1二次函数y＝a(x－m)2和y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象及其特征1．二次函数y＝－(x－1)2－2的顶点坐标是(C)A．(－1，－2) B．(－1，2)C．(1，－2) D．(1，2)2．已知二次函数y＝a(x－1)2＋b(a≠0)有最大值2，则a、b的大小比较为(B)A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．不能确定3．(沈阳中考)在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是(D)4．抛物线y＝－eq\f(1,2)(x－3)2－5的对称轴是直线x＝3．5．函数y＝eq\f(1,3)x2＋1的图象开口向上，顶点坐标为(0，1)，对称轴为y轴．6．在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝(x＋2)2，y＝(x－2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标．解：图略．抛物线y＝x2的对称轴是直线x＝0，顶点坐标为(0，0)．抛物线y＝(x＋2)2的对称轴是直线x＝－2，顶点坐标为(－2，0)．抛物线y＝(x－2)2的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为(2，0)．7．已知抛物线y＝(x－1)2－3.(1)写出抛物线的开口方向、对称轴；(2)函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大(小)值．解：(1)抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1.(2)函数y有最小值，最小值为－3.知识点2抛物线的平移8．(上海中考)如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是(C)A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋39．将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x－4)2，则这个平移过程正确的是(B)A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位C．向上平移4个单位 D．向下平移4个单位10．(河池中考)将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的表达式为(B)A．y＝(x＋2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋3C．y＝(x＋2)2－3 D．y＝(x－2)2－311．直角坐标平面上将二次函数y＝x2－2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为(D)A．(0，0) B．(1，－1)C．(0，－1) D．(－1，－1)12．在同一坐标平面内，图象可能由函数y＝2x2＋1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是①③④(填写序号)．①y＝2(x＋1)2－1；②y＝eq\f(1,2)x2－1；③y＝－2x2－1；④y＝2x2＋3；⑤y＝－eq\f(1,2)x2＋1.02中档题13．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系下此抛物线的表达式是(D)A．y＝3(x－3)2＋3 B．y＝3(x－3)2－3C．y＝3(x＋3)2＋3 D．y＝3(x＋3)2－314．(益阳中考)若抛物线y＝(x－m)2＋m＋1的顶点在第一象限，则m的取值范围为(B)A．m>1 B．m>0C．m>－1 D．－1<m<015．抛物线y＝2(x－2)2－6的顶点为C，已知y＝－kx＋3的图象经过点C，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为(A)A．1 B．3 C．2 D．416．如图，已知二次函数y＝a(x－h)2＋eq\r(3)的图象经过原点O(0，0)，A(2，0)．(1)写出该函数图象的对称轴；(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点．解：(1)∵二次函数y＝a(x－h)2＋eq\r(3)的图象经过原点O(0，0)，A(2，0)．则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ah2＋\r(3)＝0，,a（2－h）2＋\r(3)＝0.))解得h＝1，a＝－eq\r(3).∴抛物线的对称轴为直线x＝1.(2)点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B.∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′＝OA＝2，∠A′OA＝60°，在Rt△A′OB中，∠OA′B＝30°，∴OB＝eq\f(1,2)OA′＝1.∴A′B＝eq\r(3)OB＝eq\r(3)，∴A′点的坐标为(1，eq\r(3))，∴点A′为抛物线y＝－eq\r(3)(x－1)2＋eq\r(3)的顶点．17．(温州中考)如图，抛物线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴，交抛物线的对称轴于点D，连结BD.已知点A坐标为(－1，0)．(1)求该抛物线的表达式；(2)求梯形COBD的面积．解：(1)将A(－1，0)代入y＝a(x－1)2＋4中，得0＝4a＋4，解得a＝－1，则抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋4.(2)对于抛物线解析式，令x＝0，得到y＝3，即OC＝3.∵抛物线y＝－(x－1)2＋4的对称轴为直线x＝1，∴CD＝1.∵A(－1，0)，∴B(3，0)，即OB＝3.则S梯形COBD＝eq\f(（1＋3）×3,2)＝6.03综合题18．(宁波中考)二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方，在6<x<7这一段位于x轴的上方，则a的值为(A)习题解析A．1B．－1C．2D．－2

第3课时二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象及其特征01基础题知识点1二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象及其特征1．(北京中考)抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为(A)A．(3，－4) B．(3，4)C．(－3，－4) D．(－3，4)2．将二次函数y＝－x2－4x＋2化为y＝a(x－m)2＋k的形式，则(C)A．a＝1，m＝－2，k＝－6B．a＝－1，m＝2，k＝6C．a＝－1，m＝－2，k＝6D．a＝－1，m＝2，k＝－63．(天水中考)二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是(D)A．－3 B．－1C．2 D．34．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是(A)5．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，则a＋b＋c＝0．6．通过配方法将下列函数写成y＝a(x－h)2＋k的形式：(1)y＝2x2＋4x；解：y＝2(x2＋2x)＝2(x2＋2x＋1－1)＝2(x2＋2x＋1)－2＝2(x＋1)2－2.(2)y＝－eq\f(1,2)x2－2x＋2.解：y＝－eq\f(1,2)(x2＋4x)＋2＝－eq\f(1,2)(x2＋4x＋4－4)＋2＝－eq\f(1,2)(x2＋4x＋4)＋2＋2＝－eq\f(1,2)(x＋2)2＋4.知识点2二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的平移7．(荆门中考)将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线表达式是(B)A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－38．抛物线y＝eq\f(1,2)x2＋x－5可以由抛物线y＝eq\f(1,2)x2先向左平移1个单位，再向下平移eq\f(11,2)个单位得到．知识点3求二次函数的表达式9．已知二次函数y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点，则这个二次函数的表达式为y＝－eq\f(1,2)x2＋4x－6．10．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：x－7－6－5－4－3－2y－27－13－3353则此二次函数的表达式为y＝－2x2－12x－13．11．已知抛物线y＝x2－4x＋c的顶点A在直线y＝－4x－1上，求抛物线的表达式及顶点坐标．解：由题意可得顶点A的横坐标为2，把x＝2代入y＝－4x－1，得y＝－9，所以抛物线的顶点坐标为(2，－9)，代入可求解析式为y＝x2－4x－5.02中档题12．(丽水中考)在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是(C)A．(－3，－6) B．(1，－4)C．(1，－6) D．(－3，－4)13．(广元中考)设b＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为(A)A．－1 B．1C.eq\f(－1－\r(5),2) D.eq\f(－1＋\r(5),2)14．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A，C，D作抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，点A，B，D的坐标分别为(－2，0)，(3，0)，(0，4)，求抛物线的解析式．解：∵点A，B，D的坐标分别为(－2，0)，(3，0)，(0，4)，且四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5.∴点C的坐标为(5，4)．∵抛物线过点A，C，D，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a－2b＋c＝0，,25a＋5b＋c＝4，,c＝4.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(2,7)，,b＝\f(10,7)，,c＝4.))故抛物线的解析式为y＝－eq\f(2,7)x2＋eq\f(10,7)x＋4.15．如果二次函数的二次项系数为1，那么此二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3]．(1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标；(2)探究下列问题：①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数；②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?解：(1)由题意可得y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，∴此函数图象的顶点坐标为(1，0)．(2)①由题意可得y＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5，∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到y＝(x＋2－1)2－5＋1＝x2＋2x－3，∴图象对应的函数的特征数为[2，－3]．②∵一个函数的特征数为[2，3]，∴函数表达式为y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2.∵一个函数的特征数为[3，4]，∴函数表达式为y＝x2＋3x＋4＝(x＋eq\f(3,2))2＋eq\f(7,4)，∴原函数的图象向左平移eq\f(1,2)个单位，再向下平移eq\f(1,4)个单位得到．03综合题16．(临沂中考)如图，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－eq\f(5,2))三点．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－eq\f(5,2))三点在抛物线上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝0，,25a＋5b＋c＝0，,c＝－\f(5,2).))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝－2，,c＝－\f(5,2).))∴抛物线的解析式为y＝eq\f(1,2)x2－2x－eq\f(5,2).(2)∵抛物线的解析式为y＝eq\f(1,2)x2－2x－eq\f(5,2)，∴其对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(－2,2×\f(1,2))＝2.连结BC，交抛物线对称轴于点P，此时P符合题意．设直线BC的解析式为y＝kx＋t(k≠0)．∵B(5，0)，C(0，－eq\f(5,2))在直线BC上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5k＋t＝0，,t＝－\f(5,2).))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,t＝－\f(5,2).))∴直线BC的解析式为y＝eq\f(1,2)x－eq\f(5,2).当x＝2时，y＝1－eq\f(5,2)＝－eq\f(3,2)，∴P(2，－eq\f(3,2))．

1.3二次函数的性质01基础题知识点二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质1．对于二次函数y＝－x2＋2x－3，下列结论正确的是(A)A．当x＝1时，y有最大值－2B．当x＝1时，y有最小值－2C．当x＝－1时，y有最大值2D．当x＝－1时，y有最小值22．二次函数y＝x2＋2x与x轴的交点坐标为(0，0)，(－2，0)，与y轴的交点坐标为(0，0)．3．如果二次函数y＝(m－1)x2＋5x＋m2－1的图象经过原点，那么m＝－1．4．已知四个函数：①y＝－4x；②y＝eq\f(1,2)x－3；③y＝eq\f(10,x)(x<0)；④y＝－x2(x>0)．其中y随x的增大而减小的函数有①③④．5．(杭州中考)函数y＝x2＋2x＋1，当y＝0时，x＝－1；当1＜x＜2时，y随x的增大而增大(填“增大”或“减小”)．6．(南通中考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线x＝－1．7．已知函数y＝－x2－7x＋18.(1)确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)求出图象与坐标轴的交点坐标；(3)画出函数的大致图象；(4)x为何值时，y随x的增大而增大？x为何值时，y随x的增大而减小？(5)求出函数的最大值(或最小值)；(6)x取何值时，y＞0？x取何值时，y＜0?解：(1)开口向下，对称轴为直线x＝－eq\f(7,2)，顶点坐标为(－eq\f(7,2)，eq\f(121,4))．(2)(0，18)，(2，0)，(－9，0)．(3)图略．(4)当x≤－eq\f(7,2)时，y随x的增大而增大；当x≥－eq\f(7,2)时，y随x的增大而减小．(5)当x＝－eq\f(7,2)时，y最大＝eq\f(121,4).(6)当－9＜x＜2时，y＞0；当x＜－9或x＞2时，y＜0.8．已知二次函数y＝－eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2).(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；(2)根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数表达式．解：(1)图略．(2)当y＜0时，x的取值范围是x＜－3或x＞1.(3)平移后图象所对应的函数表达式为y＝－eq\f(1,2)(x－2)2＋2(或y＝－eq\f(1,2)x2＋2x)．02中档题9．(广东中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是(D)A．函数有最小值B．对称轴是直线x＝eq\f(1,2)C．当x<eq\f(1,2)，y随x的增大而减小D．当－1<x<2时，y>010．若A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2＋4x－5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是(B)A．y1<y2<y3 B．y2<y1<y3C．y3<y1<y2 D．y1<y3<y211．(威海中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列说法：①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝－1；③当x＝1时，y＝2a；④am2＋bm＋a＞0(m≠－1)．其中正确的个数是(C)A．1个 B．2个C．3个 D．4个12．(济宁中考)“如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n(m＜n)是关于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是(A)习题解析A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜bC．a＜m＜b＜nD．m＜a＜n＜b13．已知抛物线y＝－x2＋2mx－m2－m＋2.(1)直线l：y＝－x＋2是否经过抛物线的顶点；(2)设该抛物线与x轴交于M、N两点，当OM·ON＝4，且OM≠ON时，求这条抛物线的表达式．解：(1)将y＝－x2＋2mx－m2－m＋2配方，得y＝－(x－m)2－m＋2.∴抛物线的顶点坐标是(m，－m＋2)．把x＝m代入y＝－x＋2，得y＝－m＋2，显然直线y＝－x＋2经过抛物线y＝－x2＋2mx－m2－m＋2的顶点．(2)设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，则x1、x2是方程－x2＋2mx－m2－m＋2＝0的两个实数根，∴x1·x2＝m2＋m－2.∵OM·ON＝4，即|x1·x2|＝4，∴m2＋m－2＝±4.当m2＋m－2＝4时，解得m1＝－3，m2＝2.当m＝2时，可得OM＝ON不合题意，所以m＝－3.当m2＋m－2＝－4时，方程设有实数根，因此所求的抛物线的解析式只能是y＝－x2－6x－4.03综合题14．(铜仁中考)如图，已知直线y＝3x－3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合)．(1)求抛物线的表达式；(2)求△ABC的面积；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．解：(1)因为直线分别交x轴、y轴于A、B两点，所以可得A(1，0)，B(0，－3)．把A、B两点的坐标分别代入y＝x2＋bx＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋b＋c＝0，,c＝－3.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝－3.))∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.(2)令y＝0，得0＝x2＋2x－3.解得x1＝1，x2＝－3.所以C(－3，0)，AC＝4.S△ABC＝eq\f(1,2)AC·OB＝eq\f(1,2)×4×3＝6.(3)抛物线的对称轴为直线x＝－1，假设存在M(－1，m)满足题意．①当MA＝AB时，eq\r(22＋m2)＝eq\r(10)，解得m＝±eq\r(6).∴M1(－1，eq\r(6))，M2(－1，－eq\r(6))；②当MB＝BA时，eq\r(12＋（m＋3）2)＝eq\r(10)，解得m＝0或m＝－6.∴M3(－1，0)，M4(－1，－6)．∵在M4在直线AB上，∴M4不满足题意；③当MB＝MA时，eq\r(22＋m2)＝eq\r(12＋（m＋3）2)，解得m＝－1.∴M5(－1，－1)．综上所述，共存在四个点：(－1，eq\r(6))，(－1，－eq\r(6))，(－1，0)，(－1，－1)，使△ABM为等腰三角形．

1.4二次函数的应用第1课时用二次函数模型解决面积最值问题01基础题知识点1求二次函数的最值1．二次函数y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2的图象如图所示，当－1≤x≤0时，该函数的最大值是(C)A．3.125B．4C．2D．02．(杭州校级月考)已知a＋b＝2，b≤2，y－a2－2a＋2＝0，则y的取值范围是y≥－2．知识点2用二次函数模型解决最值问题3．一周长为18的矩形，其一边长为x，面积为S，则下列图象中能大致反映S与x的关系的是(C)4．(咸宁中考)用一根长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，那么a的值不可能为(D)A．20 B．40C．100 D．1205．如图，从1×2的矩形ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在(A)A．AD的中点 B．AE∶ED＝(eq\r(5)－1)∶2C．AE∶ED＝eq\r(2)∶1 D．AE∶ED＝(eq\r(2)－1)∶2第5题图第6题图6．如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF与GH将矩形ABCD分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80m的篱笆，当围成的花圃ABCD的面积最大时，AB的长为15m.7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积为最大时，运动时间t为2s.8．已知在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时，BC的长；(2)当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？解：(1)y＝eq\f(1,2)x(20－x)＝－eq\f(1,2)x2＋10x(0＜x＜20)．当y＝48时，－eq\f(1,2)x2＋10x＝48，解得x1＝12，x2＝8.即面积为48时，BC的长为12或8.(2)y＝－eq\f(1,2)x2＋10x＝－eq\f(1,2)(x－10)2＋50，当BC的长为10时，△ABC的面积最大，最大面积为50.9．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽为xcm，要求纸边的宽度不得少于1cm，同时不得超过2cm.(1)求出y关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围；(2)此时金色纸边的宽应为多少cm时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值．解：(1)镶金色纸边后风景画的长为(80＋2x)cm，宽为(50＋2x)cm，∴y＝(80＋2x)(50＋2x)＝4x2＋260x＋4000(1≤x≤2)．(2)∵二次函数y＝4x2＋260x＋4000的对称轴为直线x＝－eq\f(260,8)＝－eq\f(65,2)，∴在1≤x≤2上，y随x的增大而增大．∴当x＝2时，y取最大值，最大值为4536.02中档题10．(潍坊中考)如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是(C)A.eq\r(3)cm2 B.eq\f(3,2)eq\r(3)cm2C.eq\f(9,2)eq\r(3)cm2 D.eq\f(27,2)eq\r(3)cm211．(杭州模拟)已知非负数a，b，c满足a＋b＝2，c－3a＝4，设S＝a2＋b＋c的最大值为m，最小值为n，则m－n的值为(B)A．9 B．8 C．1 D.eq\f(10,3)12．(绍兴中考)课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积的最大值约为1.05m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：(1)若AB为1m，求此时窗户的透光面积；(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．解：(1)由已知得AD＝eq\f(5,4)，∴S＝eq\f(5,4)m2.(2)设AB＝xm，则AD＝3－eq\f(7,4)x.∵3－eq\f(7,4)x>0.∴0<x<eq\f(12,7).设窗户面积为S，由已知得S＝AB·AD＝x(3－eq\f(7,4)x)＝－eq\f(7,4)x2＋3x＝－eq\f(7,4)(x－eq\f(6,7))2＋eq\f(9,7)，当x＝eq\f(6,7)时，且x＝eq\f(6,7)在0<x<eq\f(12,7)的范围内，S最大值＝eq\f(9,7)m2>1.05m2.∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．03综合题13．(杭州校级模拟)(1)分析探究：已知x2≥0，请探究：①如果x＝a－b，那么利用完全平方公式，你可以得到什么结论？②如果x＝eq\r(a)－eq\r(b)(a≥0，b≥0)，那么你可以得到什么结论？(2)实践应用：①要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用(1)中探究得出的结论，求出镜框周长的最小值；②已知函数y1＝x＋1(x>－1)与函数y2＝(x＋1)2＋4(x>－1)，求eq\f(y2,y1)的最小值，并指出取得该最小值时相应的x值．解：(1)①∵x2≥0，x＝a－b，∴(a－b)2≥0.∴a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab；②∵x＝eq\r(a)－eq\r(b)(a≥0，b≥0)，x2≥0，∴(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0.∴a－2eq\r(ab)＋b≥0，∴a＋b≥2eq\r(ab).(2)①设长方形镜框的长为a米，宽为b米，则ab＝1，∵a＋b≥2eq\r(ab)，∴a＋b≥2.∴2(a＋b)≥4，即镜框周长的最小值是4米；②∵y1＝x＋1(x>－1)，y2＝(x＋1)2＋4(x>－1)，∴eq\f(y2,y1)＝(x＋1)＋eq\f(4,x＋1)≥2eq\r(（x＋1）×\f(4,x＋1))＝4.∴当x＋1＝eq\f(4,x＋1)时，eq\f(y2,y1)取得最小值4.∴(x＋1)2＝4，解得x1＝1，x2＝－3(舍去)，即eq\f(y2,y1)的最小值4，取得该最小值时相应的x的值是1.

第2课时用二次函数模型解决距离、利润最值问题01基础题知识点1距离最值问题1．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下列函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是(C)A．1米 B．5米 C．6米 D．7米2．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是(A)A．4米 B．3米C．2米 D．1米第2题图第3题图3．如图是一个横截面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为(B)A．3m B．2eq\r(6)mC．3eq\r(2)m D．2m知识点2利润最值问题4．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为(B)A．y＝－10x2－560x＋7350B．y＝－10x2＋560x－7350C．y＝－10x2＋350xD．y＝－10x2＋350x－73505．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为5元．6．(泉州中考)某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销量y(千克/天)与售价x(元/千克)的关系，如图所示．(1)试求出y与x之间的一个函数关系式；(2)利用(1)的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润；②进口产品检验、运输等过程需耗时5天，该“特产”最长的保存期为一个月(30天)，若售价不低于30元/千克，则一次进货最多只能多少千克？解：(1)设y与x之间的一个函数关系式为y＝kx＋b，则38＝37k＋b，34＝39k＋b，解得k＝－2，b＝112.故函数关系式为y＝－2x＋112.(2)①依题意有销售利润w＝(x－20)(－2x＋112)＝－2(x－38)2＋648，故每千克售价为38元时，每天可以获得最大的销售利润．②由y＝－2x＋112可y随x的增大而减小．又∵当x＝30时，y＝52，∴当x≥30时，y≤52.∴y的最大值为52.∴52×(30－5)＝1300(千克)．答：每月一次进货最多只能是1300千克．7．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，经过调研预测，它一年中获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋14n－24.(1)若利润为21万元，求n的值；(2)哪一个月能够获得最大利润，最大利润是多少？(3)当产品无利润时，企业会自动停产，企业停产是哪几个月份？解：(1)由题意，得－n2＋14n－24＝21，解得n＝5或n＝9.(2)y＝－n2＋14n－24＝－(n－7)2＋25，∵a＜0，∴开口向下，y有最大值，即n＝7时，y取最大值25.故7月能够获得最大利润，最大利润是25万元．(3)∵y＝－n2＋14n－24＝－(n－2)(n－12)，∴当y＝0时，n＝2或者n＝12.又∵图象开口向下，∴当n＝1时，y＜0，当n＝2时，y＝0，当n＝12时，y＝0，则该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月．02中档题8．(营口中考)某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为22元时，该服装店平均每天的销售利润最大．9．(朝阳中考)一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间具有函数关系h＝at2＋19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是19.6m.10．如图是两条互相垂直的街道，且A到B，C的距离都是4千米．现甲从B地走向A地，乙从A地走向C地，若两人同时出发且速度都是4千米/时，问何时两人之间的距离最近？解：设两人均出发了t时，则此时甲到A地的距离是(4－4t)千米，乙离A地的距离是4t千米．由勾股定理，得甲、乙两人间的距离为s＝eq\r(（4－4t）2＋（4t）2)＝eq\r(32（t－\f(1,2)）2＋8)，∴当t＝eq\f(1,2)(在0<t≤1的范围内)时，s的最小值为2eq\r(2)千米．11．(莆田中考)水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图1所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图2所示．图1图2(1)求y2的表达式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？视频讲解解：(1)由题意，得函数y2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m－24m＋n＝6，,49m－56m＋n＝7.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,8)，,n＝\f(63,8).))∴y2的解析式为y2＝eq\f(1,8)x2－x＋eq\f(63,8)(1≤x≤12)．(2)设y1＝kx＋b，∵函数y1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝11，,8k＋b＝10.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,4)，,b＝12.))∴y1的解析式为y1＝－eq\f(1,4)x＋12(1≤x≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w元．则w＝y1－y2＝(－eq\f(1,4)x＋12)－(eq\f(1,8)x2－x＋eq\f(63,8))＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(3,4)x＋eq\f(33,8)＝－eq\f(1,8)(x－3)2＋eq\f(21,4)(1≤x≤12)．∴当x＝3时，w取最大值eq\f(21,4).答：第3个月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是eq\f(21,4)元/千克．03综合题12．如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m.(1)在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？(不计其他情况)(2)守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？解：(1)抛物线的顶点坐标是(4，3)，设抛物线的解析式是y＝a(x－4)2＋3，把(10，0)代入得36a＋3＝0，解得a＝－eq\f(1,12).则抛物线的解析式是y＝－eq\f(1,12)(x－4)2＋3.当x＝0时，y＝－eq\f(4,3)＋3＝eq\f(5,3)＜2.44，故能射中球门．(2)当x＝2时，y＝eq\f(8,3)＞2.52，∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门．当y＝2.52时，解得x1＝1.6，x2＝6.4(舍去)，∴2－1.6＝0.4(m)．答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．

第3课时二次函数与一元二次方程01基础题知识点1二次函数与一元二次方程1．若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋eq\f(1,2)m＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为(D)A．0 B．0或2C．2或－2 D．0，2或－22．(牡丹江中考)将抛物线y＝x2－1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为(B)A．4 B．6 C．8 D．103．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图，ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是(A)A．m≥－2B．m≥5C．m≥0D．m＞44．(苏州中考)已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是(B)A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝35．已知方程2x2－3x－5＝0的两根是eq\f(5,2)，－1，则二次函数y＝2x2－3x－5的图象与x轴的两个交点间的距离为3.5．6．二次函数y＝ax2＋bx＋c，x与y的部分对应值如下表：x…－3－2－101234…y…1250－3－4－305…那么方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝－1，x2＝3，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是x＜－1或x＞3．知识点2实物抛物线问题7．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是(D)A．2sB．4sC．3sD．6s8．(绍兴中考)教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式为y＝－eq\f(1,12)(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是10m.9．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求出该抛物线的表达式；(2)设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时，就会影响过往船只在桥下的顺利航行？解：(1)设该抛物线的解析式是y＝ax2，结合图象，把(10，－4)代入，得100a＝－4，即a＝－eq\f(1,25).则该抛物线的解析式是y＝－eq\f(1,25)x2.(2)当x＝9时，则有y＝－eq\f(1,25)×81＝－3.24，4＋2－3.24＝2.76(米)．所以水深超过2.76米时，就会影响过往船只在桥下的顺利航行．02中档题10．二次函数y＝－x2＋mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程－x2＋mx－t＝0(t为实数)在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是(D)A．t＞－5B．－5＜t＜3C．3＜t≤4D．－5＜t≤411．(山西中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是(B)A．ac>0B．方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3C．2a－b＝0D．当x>0时，y随x的增大而减小12．(资阳中考)已知二次函数y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且图象过A(x1，m)、B(x1＋n，m)两点，则m、n的关系为(D)A．m＝eq\f(1,2)n B．m＝eq\f(1,4)nC．m＝eq\f(1,2)n2 D．m＝eq\f(1,4)n213．已知：一元二次方程eq\f(1,2)x2＋kx＋k－eq\f(1,2)＝0.(1)求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；(2)设k＜0，当二次函数y＝eq\f(1,2)x2＋kx＋k－eq\f(1,2)的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的表达式；解：(1)证明：∵Δ＝k2－4×eq\f(1,2)×(k－eq\f(1,2))＝(k－1)2≥0，∴关于x的一元二次方程eq\f(1,2)x2＋kx＋k－eq\f(1,2)＝0，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根．(2)令y＝0，则eq\f(1,2)x2＋kx＋k－eq\f(1,2)＝0.∵xA＋xB＝－2k，xA·xB＝2k－1，∴|xA－xB|＝eq\r(（xA＋xB）2－4xAxB)＝eq\r(4k2－8k＋4)＝2|k－1|＝4，即|k－1|＝2，解得k＝3(不合题意，舍去)，或k＝－1.∴此二次函数的解析式是y＝eq\f(1,2)x2－x－eq\f(3,2).14．某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米．求校门的高(精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计)．解：以大门地面为x轴，它的中垂线为y轴建立直角坐标系，则抛物线过(－4，0)，(4，0)，(－3，4)三点．∵抛物线关于y轴对称，可设解析式为y＝ax2＋c，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16a＋c＝0，,9a＋c＝4.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(4,7)，,c＝\f(64,7).))∴解析式为y＝－eq\f(4,7)x2＋eq\f(64,7).∴顶点坐标为(0，eq\f(64,7))．∴校门的高为eq\f(64,7)≈9.1米．03综合题15．(宁波中考)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．(1)求二次函数的表达式；(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．解：(1)∵函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点，∴分别代入解析式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝0，,c＝－1，,16a＋4b＋c＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝－\f(1,2)，,c＝－1.))∴二次函数的解析式为y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x－1.(2)当y＝0时，eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x－1＝0.解得x1＝2，x2＝－1.∴点D的坐标为(－1，0)．(3)经过D(－1，0)，C(4，5)两点的直线即为直线y＝x＋1的图象，如图．∴当－1<x<4时，一次函数的值大于二次函数的值．

章末复习(一)二次函数01基础题知识点1二次函数的概念1．若函数y＝axa2－2a－6是二次函数且图象开口向上，则a＝(B)A．－2 B．4C．4或－2 D．4或3知识点2二次函数的图象和性质2．(贺州中考)抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝eq\f(c,x)在同一平面直角坐标系内的图象大致为(B)3．(雅安中考)在二次函数y＝x2－2x－3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是(A)A．0，－4 B．0，－3C．－3，－4 D．0，04．(黔东南中考)抛物线y＝x2－4x＋3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为(A)A．(4，－1) B．(0，－3)C．(－2，－3) D．(－2，－1)5．(衢州中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象上部分点的坐标(x，y)对应值列表如下：x…－3－2－101…y…－3－2－3－6－11…则该函数图象的对称轴是直线x＝－2．知识点3求二次函数的表达式6．一个二次函数的图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一点(0，－4)，则这个二次函数的表达式为(B)A．y＝－2(x＋2)2＋4B．y＝－2(x－2)2＋4C．y＝2(x＋2)2－4D．y＝2(x－2)2－4知识点4二次函数的运用7．如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的(D)第7题图第8题图8．(河池中考)如图是二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函数y2＝mx＋n(m≠0)的图象，当y1>y2时，x的取值范围是x<－2或x>1．9．(天水中考)天水“伏羲文化节”商品交易会上，某商人将每件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出20件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．(1)写出每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？解：(1)由题意，得y＝(x－8)[20－4(x－9)]＝－4x2＋88x－448(9≤x≤14)．(2)y＝－4x2＋88x－448＝－4(x－11)2＋36.所以当x＝11时，y最大＝36.答：每件售价定为11元时，一天所得的利润最大，最大利润是36元．02中档题10．(江干区一模)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D(－1，3)，与x轴的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2－4ac>0；②c－a＝3；③a＋b＋c<0；④方程ax2＋bx＋c＝m(m≥2)一定有实数根，其中正确的结论为(C)A．②③B．①③C．①②③D．①②④11．(余杭区月考)在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°，若二次函数y＝(a＋b)x2＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－eq\f(a,2)，则∠A＝55度．12．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋0.9.(1)求该抛物线的表达式；(2)如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出t的取值范围：1<t<5．解：(1)由题意得点E(1，1.4)，B(6，0.9)，代入y＝ax2＋bx＋0.9，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋0.9＝1.4，,36a＋6b＋0.9＝0.9.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－0.1，,b＝0.6.))∴所求的抛物线的解析式是y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9.(2)把x＝3代入y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9，得y＝－0.1×32＋0.6×3＋0.9＝1.8，∴小华的身高是1.8米．13．(大区东二模)经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表：时间x(天)1≤x＜5050≤x≤90售价(元/件)x＋4090每天销量(件)200－2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．(1)求出y与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？(3)该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案．解：(1)当1≤x<50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000，当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000.(2)当1≤x<50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为直线x＝45，当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050.当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x＝50时，y最大＝6000，综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．(3)该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．03综合题14．(东营中考)如图，抛物线经过A(－2，0)，B(－eq\f(1,2)，0)，C(0，2)三点．(1)求抛物线的表达式；(2)在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标．解：(1)∵该抛物线过点C(0，2)，∴设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋2.将A(－2，0)，B(－eq\f(1,2)，0)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a－2b＋2＝0，,\f(1,4)a－\f(1,2)b＋2＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝5.))∴y＝2x2＋5x＋2.(2)由题意可求得直线AC的解析式为y＝x＋2.设D点的横坐标为t(－2＜t＜0)，则D点的纵坐标为2t2＋5t＋2.过D作y轴的平行线交AC于E，则E点的坐标为(t，t＋2)．∴DE＝(t＋2)－(2t2＋5t＋2)＝－2t2－4t.用h表示点C到线段DE所在直线的距离，∴S△DCA＝S△CDE＋S△ADE＝eq\f(1,2)DE·h＋eq\f(1,2)DE·(2－h)＝eq\f(1,2)DE·2＝－2t2－4t＝－2(t＋1)2＋2.∵－2＜t＜0，∴当t＝－1时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为(－1，－1)．第2章简单事件的概率2．1事件的可能性第1课时随机事件01基础题知识点1随机事件、必然事件、不可能事件1．(无锡期末)下列事件是随机事件的是(A)A．购买一张福利彩票，中特等奖B．在一个标准大气压下，加热水到100℃，沸腾C．任意三角形的内角和为180°D．在一个仅装着白球和黑球的袋中摸出红球2．(徐州中考)一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是(A)A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球3．下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100℃；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④长生不老．其中是随机事件的是①③．(填序号)知识点2列表或画树状图确定事件发生的所有可能性4．学习“事件的可能性”这一节时，小明想到了“石头”“剪刀”“布”游戏，他想两个人一起玩，有哪些可能的情况？请你用树状图帮他表示出来．解：如图所示：则一共有9种可能的情况．02中档题5．(诸暨期中)下列说法中不正确的是(C)A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件C．任意打开九年级上册数学教科书，正好是56页是确定事件D．一只盒子中有白球m个，红球5个，黑球n个(每个球除了颜色外都相同)．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是56．(黄冈中考改编)红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果．解：画树状图得：则共有12种等可能的结果．7．小明准备今年寒假到北京参加冬令营活动，但只需要一名家长陪同前往，爸爸妈妈都很愿意陪同，于是决定用抛硬币的方法决定由谁陪同．每次掷一枚硬币，连掷3次．(1)画树状图列举三次抛掷硬币的所有结果；(2)若规定：有两次或两次以上正面向上，由爸爸陪同；有两次或两次以上反面朝上，由妈妈陪同．试问：爸爸和妈妈各有几种可能陪同小明？解：(1)画树状图如图：∴一共有8种可能．(2)爸爸有4种可能，妈妈也有4种可能．

第2课时事件的可能性01基础题知识点事件发生的可能性大小1．下列说法正确的是(B)A．可能性很大的事件必然发生B．可能性很小的事件也可能发生C．若一件事情可能发生，则它就是必然事件D．若一件事情发生的可能性微乎其微，则它就不可能发生2．(武汉模拟)桌上倒扣着背面相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃，从中随机抽取一张，则(B)A．能够事先确定抽取的扑克牌的花色B．抽到黑桃的可能性更大C．抽到黑桃和抽到红桃的可能性一样大D．抽到红桃的可能性更大3．黑暗中小明从他的一大串钥匙中，随便选择一把，用它开门，下列叙述正确的是(B)A．能开门的可能性大于不能开门的可能性B．不能开门的可能性大于能开门的可能性C．能开门的可能性与不能开门的可能性相等D．无法确定4．(金华中考)如图的四个转盘中，C，D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是(A)5．甲种商品出现次品的可能性是20%，乙种商品出现次品的可能性是10%，则正确的说法是(D)A．甲种商品的次品比乙种商品的次品多一些B．甲种商品的次品比乙种商品的次品少一些C．甲、乙两种商品的次品一样多D．甲、乙两种商品的次品数不能确定6．一张写有密码的纸片被随意地埋在下图的矩形区域内，图中的四个正方形大小一样，则纸片埋在几号区域的可能性大？1号2号3号4号解：纸片埋在四个区域的可能性一样大．02中档题7．(泰州中考)事件A：打开电视，正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化.3个事件发生的可能性分别记为x，y，z，则x，y，z的大小关系正确的是(B)A．z<x＝yB．z<x<yC．z<y<xD．x<y<z8．(江都二模)下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是(B)A．瓮中捉鳖 B．守株待兔C．旭日东升 D．夕阳西下9．下列事件：①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②随机调查1位青年，他接受过九年制义务教育；③花2元买一张体育彩票，喜中500万大奖；④抛掷1个小石块，石块会下落．估计这些事件的可能性大小，并将它们的序号按可能性从小到大排列：①③②④．10．下面第一排是一些可以自由转动的转盘，第二排表示转出白色的可能性的大小，请你用线连结起来：解：如图．

2.2简单事件的概率第1课时简单事件的概率(1)01基础题知识点1概率的意义1．商场举行促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”，下列说法正确的是(C)A．抽10次必有一次抽到一等奖B．抽一次不可能抽到一等奖C．抽10次也可能没有抽到一等奖D．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖2．下列说法中，正确的是(A)A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为eq\f(1,2)C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次3．某市国庆节下雨的概率是0.9，则该市国庆节下雨是随机事件．4．甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.5，0.1，0.9，它们各与下面的哪句话相配．(A)发生的可能性很大，但不一定发生；(B)发生的可能性很小；(C)发生与不发生的可能性一样．解：(A)0.9.(B)0.1.(C)0.5.知识点2简单事