2023年中考数学真题分类汇编模块二 方程（组）与不

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一、一次方程（方程组）

（一）一次方程的有关概念

（2023常州）已知x＝2是关于x的方程a(x?1)?12a＋x4的解，则a的值是___5___________．

（二）一次方程的解法

1、（2023XX）方程2x-1=3x+2的解为（D）A．x=1B．x=-1C．x=3D．x=-3

解析：方程2x-1=3x+2，移项得：2x-3x=2+1，合并得：-x=3．解得：x=-3，应选D

2.（2023大连）方程3x+2（1-x）=4的解是（C）A．x=

25B．x=65C．x=2D．x=1解析：去括号得：3x+2-2x=4，解得：x=2，应选C3.（2023绵阳）若a?b?5+|2a-b+1|=0，则（b-a）2023

=（A）

A．-1B．1C．52023D．-52023解析：

则（b-a）

2023

=（-3+2）

2023

=-1．应选A

4.（2023广州）已知a，b满足方程组则a+b

的值为（B）

A．-4B．4C．-2D．2解析：解方程组

①+②×5得：16a=32，即a=2，

把a=2代入①得：b=2，则a+b=4，应选B5.（2023淄博）已知

是二元一次方程组

的解，则2m-n的平方根为（A）A．±2B．2C．±2D．2解析：

.∴2m-n=6-2=4，

则2m-n的平方根为±2．应选A

6.（2023南充）已知关于x，y的二元一次方程组

的解互为相反数，则k的值是-1

解析：

由于关于x，y的二元一次方程组的解互为相

反数，可得：2k+3-2-k=0，解得：k=-1．7.（2023咸宁）假使实数x，y满足方程组

，

则x2

﹣y2

的值为﹣．

解析：方程组其次个方程变形得：2（x+y）=5，即x+y=，∵x﹣y=﹣，∴原式=（x+y）（x﹣y）=﹣，

8.（2023成都）解方程组：．

解：①+②得：4x=4，即x=1，把x=1代入①得：y=2，则方程组的解为

．

9.（2023聊城）解方程组

．

解：

，

①+②得：3x=9，即x=3，把x=3代入①得：y=﹣2，则方程组的解为

．

10.（2023宿迁）（1）解方程：x2

+2x=3；（2）解方程组：

．

解：（1）由原方程，得x2

+2x﹣3=0，整理，得（x+3）（x﹣1）=0，则x+3=0或x﹣1=0，解得x1=﹣3，x2=1；

（2），

由①×2+②，得5x=5，解得x=1，

将其代入①，解得y=﹣1．故原方程组的解集是：

．

11.（2023滨州）根据要求，解答以下问题

（1）解以下方程组（直接写出方程组的解即可）；；.

（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为．（3）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解．解：

（2）x=y

12.（2023珠海）阅读材料：擅长思考的小军在解方程组

时，采用了一种“整体代换〞的解法：

解：将方程②变形：4x+10y+y=5即2（2x+5y）+y=5③把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=-1把y=-1代入①得x=4，∴方程组的解为请你解决以下问题：

解：（1）把方程②变形：3（3x-2y）+2y=19③，

把①代入③得：15+2y=19，即y=2，把y=2代入①得：x=3，

解得：xy=2，

则x2+4y2

=17；

（ii）∵x2+4y2

=17，

∴（x+2y）2=x2+4y2

+4xy=17+8=25，∴x+2y=5或x+2y=-5，

（三）一次方程的应用

1、(2023广元)一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大50°．若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到的方程组为

（）

A．

B．

C．

D．

解析：根据平角和直角定义，得方程x+y=90；根据∠α比∠β的度数大50°，得方程x=y+50．可列方程组为

．应选：D．2.（2023泰安）小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（）A．

B．

C．

D．

解析：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，由题意得

．应选A．

3、（2023长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现假使按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（B）

A．562.5元B．875元C．550元D．750元

解析：设进价为x元，则该商品的标价为1.5x元，由题意得1.5x×0.8-x=500，解得：x=2500．

则标价为1.5×2500=3750（元）．则3750×0.9-2500=875（元）．应选：B4、（2023内江）植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，以下方程组正确的是（D）

解析：设男生有x人，女生有y人，根据题意可得：

应选D

5.（2023杭州）某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把x公顷旱地改为林地，则可列方程（B）

A．54-x=20%×108B．54-x=20%（108+x）C．54+x=20%×162D．108-x=20%（54+x）

解析：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：54-x=20%（108+x）．应选B。

6.（2023十堰）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．假使搭建正三角形和正六边形共用了2023根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是（C）

A．222B．280C．286D．292

解析：设连续搭建三角形x个，连续搭建正六边形y个．

7.（2023滨州）某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，假使每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应当安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．

解析：设应当安排x名工人缝制衣袖，y名工人缝制衣身，

z名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领

正好配套，依题意有

，

解得．

故应当安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．

8.（2023潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田）清明节期间，七（1）班全体同学分成若干小组到革命传统教育基地

缅怀先烈．若每小组7人，则余下3人；若每小组8人，则少5人，由此可知该班共有59名同学．解析：设一共分为x个小组，该班共有y名同学，根据题意得

，解得

．

故该班共有59名同学．

9.（2023深圳）下表为深圳市居民每月用水收费标准，（单位：元/m3）．用水量单价x≤22a剩余部分a+1.1（1）某用户用水10立方米，公交水费23元，求a的值；（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？解：（1）由题意可得：10a=23，解得：a=2.3，答：a的值为2.3；

（2）设用户水量为x立方米，

∵用水22立方米时，水费为：22×2.3=50.6＜71，∴x＞22，

∴22×2.3+（x-22）×（2.3+1.1）=71，解得：x=28，

答：该用户用水28立方米．

10.（2023徐州）某超市为促销，决定对A，B两种商品进行打折出售．打折前，买6件A商品和3件B商品需要54元，买3件A商品和4件B商品需要32元；打折后，买50件A商品和40件B商品仅需364元，打折前需要多少钱？解：设打折前A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，

则50×8+40×2=480（元），

答：打折前需要的钱数是480元。

11.（2023娄底）假使娄底市的出租车是这样收费的：起步价所包含的路程为0～1.5千米，超过1.5千米的部分按每千米另收费．小刘说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了4.5千米，付车费10.5元．〞小李说：“我乘出租车从市政府到娄底汽车站走了6.5千米，付车费14.5元．〞问：（1）出租车的起步价是多少元？超过1.5千米后每千米收费多少元？

（2）小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费多少元？解：（1）设出租车的起步价是x元，超过1.5千米后每千米收费y元．

答：出租车的起步价是92元，超过1.5千米后每千米收费2元；（2）

92+（5.5-1.5）×2=12.5（元）．答：小张乘出租车从市政府到娄底南站（高铁站）走了5.5千米，应付车费12.5元。

12.（2023曲靖）某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：类别/单价成本价销售价（元/箱）甲2436乙

33

48

（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？

（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？解：（1）设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，由题意得

，

解得：

．

答：商场购进甲种矿泉水350箱，购进乙种矿泉水150箱．（2）350×（33﹣24）+150×（48﹣36）=3150+1800

=4950（元）．

答：该商场共获得利润4950元．

13.（2023宁夏）某校在开展“校园献爱心〞活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个．（1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？

（2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，假使至少购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？

解：（1）设原计划买男款书包x个，则女款书包（60﹣x）个，

根据题意得：50x+70（60﹣x）=3400，解得：x=40，

60﹣x=60﹣40=20，

答：原计划买男款书包40个，则女款书包20个．（2）设女款书包最多能买y个，则男款书包（80﹣y）个，根据题意得：70y+50（80﹣y）≤4800，解得：y≤40，

∴女款书包最多能买40个．

点评：此题考察了一元一次方程、一元一次不等式的应用，解决此题的关键是根据题意列出方程和不等式．14.（2023凉山州）2023年5月6日，凉山州政府在邛海“空列〞项目考察座谈会上与多方达成初步合作意向，决定共同出资60.8亿元，建设40千米的邛海空中列车．据测算，将有24千米的“空列〞轨道架设在水上，其余架设在陆地上，并且每千米水上建设费用比陆地建设费用多0.2亿元．

（1）求每千米“空列〞轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元？

（2）预计在某段“空列〞轨道的建设中，每天至少需要运输沙石1600m3

，施工方准备租用大、小两种运输车共10辆，已知每辆大车每天运输沙石200m3

，每辆小车每天运输沙石120m3

，大、小车每天每辆租车费用分别为1000元、700元，

且要求每天租车的总费用不超过9300元，问施工方有几种租车方案？哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？解：（1）设每千米“空列〞轨道的水上建设费用需要x亿元，每千米陆地建设费用需y亿元，

则

，

解得

．

所以每千米“空列〞轨道的水上建设费用需要1.6亿元，每千米陆地建设费用需1.4亿元．

答：每千米“空列〞轨道的水上建设费用需要1.6亿元，每千米陆地建设费用需1.4亿元．

（2）设每天租m辆大车，则需要租10﹣m辆小车，则

∴，

∴施工方有3种租车方案：

①租5辆大车和5辆小车；②租6辆大车和4辆小车；③租7辆大车和3辆小车；①租5辆大车和5辆小车时，

租车费用为：1000×5+700×5=5000+3500=8500（元）②租6辆大车和4辆小车时，

租车费用为：1000×6+700×4=6000+2800=8800（元）③租7辆大车和3辆小车时，

租车费用为：1000×7+700×3=7000+2100=9100（元）∵8500＜8800＜9100，

∴租5辆大车和5辆小车时，租车费用最低，最低费用是8500元．

15.（2023南通）由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用方程（组）解决的问题，并写出这个问题的解答过程．解：此题的答案不唯一．

问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？

设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨．

根据题意，得，

解得

．

则x+y=4+2.5=6.5（吨）．

答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．

二、一元一次不等式与一元一次不等式

组

（一）不等式的性质

1、（2023乐山）以下说法不一定成立的是（C）A．若a＞b，则a+c＞b+cB．若a+c＞b+c，则a＞bC．若a＞b，则ac2

＞bc2

D．若ac2

＞bc2

，则a＞b解析：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，故本选项错误；

B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，故本选项错误；

C、当c=0时，若a＞b，则不等式ac2

＞bc2

不成立，故本选项正确；

D、在不等式ac2

＞bc2

的两边同时除以不为0的c2

，该不等式仍成立，即a＞b，故本选项错误．应选：C

2.（2023南充）若m＞n，以下不等式不一定成立的是（D）A．m+2＞n+2B．2m＞2n

D．m2

＞n2

解析：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确；

B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确；C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确；D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误；应选：D

3.（2023怀化）以下不等式变形正确的是（C）A．由a＞b得ac＞bcB．由a＞b得-2a＞-2bC．由a＞b得-a＜-bD．由a＞b得a-2＜b-2解析：∵a＞b，

∴①c＞0时，ac＞bc；②c=0时，ac=bc；③c＜0时，ac＜bc，∴选项A不正确；∵a＞b，

∴-2a＜-2b，应选项B不正确；∵a＞b，

∴-a＜-b，应选项C正确；∵a＞b，

∴a-2＞b-2，应选项D不正确．应选：C

（二）不等式的解法

1.（2023宜昌）不等式组的解集在数轴上表示正确的

是（B）

A．B．

C．

D．

解析：不等式组的解集是-1≤x≤3，其数轴上表示为：

应选B

2.（2023湖北）在数轴上表示不等式2（1﹣x）＜4的解集，正确的是（）A．B．

C．

D．

解：由2（1﹣x）＜4，得2﹣2x＜4．解得x＞﹣1，应选A．3.（2023衡阳）不等式组的解集在数轴上表示为

（）A．B．

C．

D．

解析：不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，其数轴表示为：

应选A

4.（2023庆阳）已知点P（a+1，﹣+1）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．

C．

D．

解析：∵P（a+1，﹣+1）关于原点对称的点在第四象限，∴P点在其次象限，∴a+1＜0，﹣+1＞0，

解得：m＜﹣1，则a的取值范围在数轴上表示正确的是

．应选：C．

5.（2023西宁）不等式3x≤2（x﹣1）的解集为（）

A．x≤﹣1B．x≥﹣1

C．x≤﹣2

D．x≥﹣2

解析：去括号得，3x≤2x﹣2，

移项、合并同类项得，x≤﹣2，应选：C．

6.（2023曲靖）不等式组

的解集在数轴上

表示正确的是（）A．B．

C．D．

解析：，解得：

．故不等式组无解．应选D．

7.（2023德州）以下命题中，真命题的个数是（)①若﹣1＜x＜﹣，则﹣2

；

②若﹣1≤x≤2，则1≤x2

≤4③凸多边形的外角和为360°；④三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB．A．4B．3C．2D．1解析：若﹣1＜x＜﹣，﹣2

，所以①正确；

若﹣1≤x≤2，则0≤x2

≤4，所以②错误；凸多边形的外角和为360°，所以③正确；

三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，所以④正确．应选B．

8.（2023泰安）不等式组的整数解的个

数为（）

A．1B．2C．3D．4解析：

，解不等式①得，x＞﹣，

解不等式②得，x≤1，所以，不等式组的解集是﹣＜x≤1，

所以，不等式组的整数解有﹣1、0、1共3个．应选C．

9.(2023广元)当0＜x＜1时，x，，x2

的大小顺序是（）

A．＜x＜x2

B．x＜x2

＜

C．x2

＜x＜

D．＜x2

＜x

10.（2023营口）不等式组的所有正

整数解的和为6．解析：由

﹣

≤1，得x≥1；

由5x﹣2＜3（x+2），得x＜4，不等式组

的解集是1≤x＜4，

不等式组的所有正整数解的和为

1+2+3=6，

11.（2023黔东南州）解不等式组并将它的解

集在数轴上表示出来．

由①得，x＜4；由②得，x≤-1．

故不等式组的解集为：x≤-1．在数轴上表示为：

12.（2023北京）解不等式组并写出它的所有非

负整数解．

则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3。

13.（2023湘西州）解不等式组，并把解集在数

轴上表示出来．

解析：∵

，

∴

∴1≤x≤3，把不等式组

的解集在数轴上表示出来为：

．

14．（2023镇江）解不等式组：．

解：

，

由①得：x≥1，由②得：x＞﹣3，

则不等式组的解集为﹣3＜x≤1．15.（2023随州）解不等式组

请结合题意，完成此题解答．（Ⅰ）解不等式①，得x＞2；（Ⅱ）解不等式②，得x≤4；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为2＜x≤4．

解：（I）解不等式①得，x＞2；

（II）解不等式②得，x≤4；（III）在数轴上表示为：

；

（IV）故不等式组的解集为：2＜x≤4．故答案为：x＞2，x≤4，2＜x≤4．

16.（2023达州）对于任意实数m、n，定义一种运运算m※n=mn-m-n+3，等式的右边是寻常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5-3-5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是4＜a≤5．解析：根据题意得：2※x=2x-2-x+3=x+1，

∵a＜x+1＜7，即a-1＜x＜6解集中有两个整数解，

∴a的范围为4＜a≤5。

17.（2023永州）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[-3.6]=-4．对于任意实数x，以下式子中错误的是（C）

A．[x]=x（x为整数）B．0≤x-[x]＜1

C．[x+y]≤[x]+[y]D．[n+x]=n+[x]（n为整数）解析：A、∵[x]为不超过x的最大整数，∴当x是整数时，[x]=x，成立；B、∵[x]为不超过x的最大整数，∴0≤x-[x]＜1，成立；C、例如，[-5.4-3.2]=[-8.6]=-9，[-5.4]+[-3.2]=-6+（-4）=-10，∵-9＞-10，∴[-5.4-3.2]＞[-5.4]+[-3.2]，∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；应选C

（三）不等式中有关字母的取值范围

1.（2023永州）若不等式组恰有两个整数解，

则m的取值范围是（）

A．A﹣1≤m＜0B．﹣1＜m≤0C．﹣1≤m≤0D．﹣1＜m＜0解析：∵不等式组

的解集为m﹣1＜x＜1，

又∵不等式组恰有两个整数解，

∴﹣2≤m﹣1＜﹣1，解得：﹣1≤m＜0.恰有两个整数解，应选A．

2.（2023毕节）已知不等式组的解集中共有5个整

数，则a的取值范围为（）

A．7＜a≤8B．6＜a≤7C．7≤a＜8D．7≤a≤8解析：∵不等式组

的解集中共有5个整数，

∴a的范围为7＜a≤8，应选A．

3.（2023南通）关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）A．﹣3＜b＜﹣2B．﹣3＜b≤﹣2C．﹣3≤b≤﹣2D．﹣3≤b＜﹣2解析：不等式x﹣b＞0，解得：x＞b，

∵不等式的负整数解只有两个负整数解，∴﹣3≤b＜2.应选D．

4.（2023宿迁）关于x的不等式组的解集为1

＜x＜3，则a的值为4．解析：

∵解不等式①得：x＞1，

解不等式②得：x＜a﹣1，∵不等式组的解集为

1＜x＜3，∴a﹣1=3，∴a=45.（2023恩施州）关于x的不等式组

的解集为x＜3，那么m的取值范围为（）A．m=3B．m＞3C．m＜3D．m≥3

解：不等式组变形得：

，由不等式组的解集为x＜3，

得到m的范围为m≥3，应选D

6.（2023黄石）当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围

是（）

A．a＞﹣1B．a＞﹣2C．a＞0D．a＞﹣1且a≠0

解析：当x=1时，a+2＞0，解得：a＞﹣2；当x=2，2a+2＞0，解得：a＞﹣1，∴a的取值范围为：a＞﹣1．7.（2023扬州）已知x=2是不等式（x-5）（ax-3a+2）≤0

的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是（C）

A．a＞1B．a≤2C．1＜a≤2D．1≤a≤2解析：∵x=2是不等式（x-5）（ax-3a+2）≤0的解，∴（2-5）（2a-3a+2）≤0，解得：a≤2，

∵x=1不是这个不等式的解，∴（1-5）（a-3a+2）＞0，

解得：a＞1，∴1＜a≤2，应选C

（四）不等式的应用

1.（2023东营）东营市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米计）．某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为15.5元，那么x的最大值是（B）A．11B．8C．7D．5

解析：设他乘此出租车从甲地到乙地行驶的路程是x千米，依题意：8+1.5（x-3）≤15.5，解得：x≤8．

即：他乘此出租车从甲地到乙地行驶路程不超过8千米．应选B。

2．（2023宁夏）某校在开展“校园献爱心〞活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个．（1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？

（2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，假使至少购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？

解：（1）设原计划买男款书包x个，则女款书包（60﹣x）个，

根据题意得：50x+70（60﹣x）=3400，解得：x=40，60﹣x=60﹣40=20，

答：原计划买男款书包40个，则女款书包20个．（2）设女款书包最多能买y个，则男款书包（80﹣y）个，根据题意得：70y+50（80﹣y）≤4800，解得：y≤40，

∴女款书包最多能买40个．

3.（2023本溪）暑期邻近，本溪某旅行社准备组织“亲子一家游〞活动，去我省沿海城市旅游，报名的人数共有69人，其中成人的人数比儿童人数的2倍少3人．（1）旅游团中成人和儿童各有多少人？

（2）旅行社为了吸引游客，计划给游客准备一件T恤衫，成人T恤衫每购买10件赠送1件儿童T恤衫（不足10件

不赠送），儿童T恤衫每件15元，旅行社购买服装的费用不超过1200元，请问每件成人T恤衫的价格最高是多少元？

解：（1）设旅游团中儿童有x人，则成人有（2x﹣3）人，根据题意得x+（2x﹣3）=69，解得：x=24，则2x﹣3=2×24﹣3=45．答：旅游团中成人有45人，儿童有24人；（2）∵45÷10=4.5，∴可赠送4件儿童T恤衫，设每件成人T恤衫的价格是m元，根据题意可得45x+15（24﹣4）≤1200，

解得：x≤20．

答：每件成人T恤衫的价格最高是20元．

4.（2023成都）某商家预计一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果真供不应求，商家又用28800元购进了其次批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？

（2）若两批衬衫按一致的标价销售，最终剩下50件按八折优惠卖出，假使两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进其次批这种衬衫是2x件，依题意有

+10=，

解得x=120，

经检验，x=120是原方程的解，且符合题意．答：该商家购进的第一批衬衫是120件．（2）3x=3×120=360，

设每件衬衫的标价y元，依题意有

（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），解得y≥150．

答：每件衬衫的标价至少是150元．

三、一元二次方程

（一）一元二次方程的有关概念

（2023绵阳）关于m的一元二次方程

的一

个根为2，则n2+n-2=26．解析：

两边同除以2n，得27-n-1n=0,

（二）一元二次方程的解法

1、（2023随州）用配方法解一元二次方程x2

-6x-4=0，以下变形正确的是（D）

A．（x-6）2=-4+36B．（x-6）2

=4+36

C．（x-3）2=-4+9D．（x-3）2

=4+9

解析：x2-6x-4=0，移项，得x2

-6x=4，

配方，得（x-3）2

=4+9．应选D

2.（2023烟台）假使x2?x?1?x0，那么x的值为（A）

A．2或－1B.0或1C.2D.－13.（2023泰安）方程：（2x+1）（x﹣1）=8（9﹣x）﹣1的根为﹣8或．

解析：（2x+1）（x﹣1）=8（9﹣x）﹣1整理得：2x2

﹣x﹣1=72﹣8x﹣1

2x2

+7x﹣72=0，则（x+8）（2x﹣9）=0，解得：x1=﹣8，x2=．

4.（2023大连）解方程：x2

-6x-4=0．

5.（2023湘潭）阅读材料：用配方法求最值．已知x，y为非负实数，∵x+y﹣2≥0

∴x+y≥2

，当且仅当“x=y〞时，等号成立．

例如：当x＞0时，求y=x++4的最小值．解：

+4=6，当x=，即x=1时，y

的最小值为6．

（1）尝试：当x＞0时，求y=

的最小值．

（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维护费用总和为

万元．问这种小轿车使

用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万

元？

：（1）y==x++1+1=3，

∴当x=，即x=1时，y的最小值为3．（2）年平均费用=（

+0.4n+10）

÷n==2+0.5=2.5，

∴当

，

即n=10时，最少年平均费用为2.5万元．

6.（2023黄石）解方程组

．

解：，由②得③，

把③代入①得：，

解得：

，

当x1=0时，y1=1；

当

时，

，所以方程组的解是

．

（三）一元二次方程根的判别式及根与系数的关

系

1．（2023滨州）一元二次方程4x2

+1=4x的根的状况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根

解析：原方程可化为：4x2﹣4x+1=0，∵△=42

﹣4×4×1=0，∴方程有两个相等的实数根．应选C．

2.（2023云南）以下一元二次方程中，没有实数根的是（）A．4x2

﹣5x+2=0

B．x2

﹣6x+9=0

C．5x2﹣4x﹣1=0D．3x2

﹣4x+1=0

解析：A、∵△=25﹣4×2×4=﹣7＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确；B、∵△=36﹣4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；C、∵△=16﹣4×5×（﹣1）

=36＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；

D、∵△=16﹣4×1×3=4＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；应选A．

3.（2023凉山州）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2

+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＜3

C．m＜3且m≠2

D．m≤3且m≠2

解析：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2

+2x+1=0有实数根，∴m﹣2≠0且△≥0，即22

﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，∴m的取值范围是m≤3且m≠2．应选D．4.（2023达州）方程有两个实数根，

则m的取值范围（B）A．m＞

52B．m≤52且m≠2C．m≥3D．m≤3且m≠2解析：根据题意得：

5.（2023成都）关于x的一元二次方程kx2

+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（D）

A．k＞-1B．k≥-1C．k≠0D．k＞-1且k≠0解析：依题意得

6.（2023株洲）有两个一元二次方程M：ax2

+bx+c=0；N：cx2

+bx+a=0，其中a?c≠0，a≠c．以下四个结论中，错误的是（D）

A．假使方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根

B．假使方程M的两根符号一致，那么方程N的两根符号也一致

C．假使5是方程M的一个根，那么

15是方程N的一个根D．假使方程M和方程N有一个一致的根，那么这个根必是x=1

解析：A、假使方程M有两个相等的实数根，那么△=b2

-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；

B、假使方程M的两根符号一致，那么△=b2

-4ac≥0，ca＞0，所以a与c符号一致，

ac＞0，所以方程N的两根符号也一致，结论正确，不符合题意；

C、假使5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时

除以25，得

125c+15b+a=0，所以15是方程N的一个根，结

论正确，不符合题意；

D、假使方程M和方程N有一个一致的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a-c）x2=a-c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；应选D

7.（2023南昌）已知一元二次方程x2

-4x-3=0的两根为m，

n，则m2-mn+n2

=25．

解析：∵m，n是一元二次方程x2

-4x-3=0的两个根，

∴m+n=4，mn=-3，则m2-mn+n2=（m+n）2

-3mn=16+9=25．8.（2023日照）假使m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，那么代数式2n2

-mn+2m+2023=2026．解析：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2

-n=3，

所以m，n是x2

-x-3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=-3，

又n2

=n+3，

则2n2

-mn+2m+2023=2（n+3）-mn+2m+2023=2n+6-mn+2m+2023=2（m+n）-mn+2023=2×1-（-3）+2023=2+3+2023=2026．

9.（2023十堰）已知关于x的一元二次方程x2

-（2m+3）

x+m2

+2=0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为x22

1、x2，且满足x1+x2=31+|x1x2|，求实数m的值．

解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+3）x+m2

+2=0有实数根，

∴△≥0，即（2m+3）2-4（m2

+2）≥0，

（2）根据题意得x2

1+x2=2m+3，x1x2=m+2，

∵x22

1+x2=31+|x1x2|，

∴（x2

1+x2）-2x1x2=31+|x1x2|，

即（2m+3）2-2（m2+2）=31+m2

+2，解得m=8，或m=4

10.（2023河南）已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=|m|．

（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．

解：（1）证明：∵（x-3）（x-2）=|m|，∴x2

-5x+6-|m|=0，

∵△=（-5）2

-4（6-|m|）=1+4|m|，而|m|≥0，∴△＞0，

∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是1，∴|m|=2，解得：m=±2，

∴原方程为：x2

-5x+4=0，解得：x1=1，x2=4．

即m的值为±2，方程的另一个根是4

（四）一元二次方程的应用

1．（2023安徽）我省2023年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2023年增速位居全国第一．若2023年的快递业务量达到4.5亿件，设2023年与2023年这两年的平均增长率为x，则以下方程正确的是（）A．1.4（1+x）=4.5B．1.4（1+2x）=4.5

C．1.4（1+x）2

=4.5D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2

=4.5解析：设2023年与2023年这两年的平均增长率为x，由题意得：1.4（1+x）2=4.5，应选C．

2.（2023衡阳）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（）

A．x（x﹣10）=900B．x（x+10）=900C．10（x+10）=900D．2[x+（x+10）]=900

解析：设绿地的宽为x，则长为10+x.根据长方形的面积公式可得：x（x+10）=900．应选B．

3.（2023通辽）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2

﹣7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）

A．8B．20C．8或20D．10解析：∵解方程y2

﹣7y+10=0得：y=2或5∵对角线长为6，2+2＜6，不能构成三角形；∴菱形的边长为5．∴菱形ABCD的周长为4×5=20．应选B．

4.（2023兰州）股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（B）

解析：设平均每天涨x．

5.（2023哈尔滨）今年我市计划扩大城区绿地面积，现有

一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则

扩大后的绿地面积比原来增加1600m2

．设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是（A）A．x（x-60）=1600B．x（x+60）=1600C．60（x+60）=1600D．60（x-60）=1600

解析：设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据题意得x2

-60x=1600，即x（x-60）=1600．应选A。

6.（2023宁夏）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块一致的矩形绿地，它们的面积之和为60米2

，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（）

A．x2

+9x﹣8=0B．x2

﹣9x﹣8=0C．x2﹣9x+8=0

D．2x2

﹣9x+8=0

解析：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（18﹣3x）（6﹣2x）=60，

化简整理得，x2

﹣9x+8=0．应选C．

7.（2023毕节）一个容器盛满纯药液40L，第一次倒出若干升后，用水加满；其次次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L，则每次倒出的液体是20L．解析：设每次倒出液体xL，由题意得：

40﹣x﹣?x=10，解得：x=60（舍去）或x=20．

故每次倒出20升．

8.（2023湖北）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为便利进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2

？

解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得x（25﹣2x+1）=80，化简，得x2

﹣13x+40=0，解得：x1=5，x2，8，

当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10

＜12，

答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．

9.（2023东营）2023年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，由于楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2023年的均价为每平方米5265元．（1）求平均每年下调的百分率；

（2）假设2023年的均价依旧下调一致的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米依照均价计算）解：（1）设平均每年下调的百分率为x，

根据题意得：6500（1-x）2

=5265，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去），则平均每年下调的百分率为10%；

（2）假使下调的百分率一致，2023年的房价为5265×

（1-10%）=4738.5（元/米2

），

则100平方米的住房总房款为100×4738.5=473850=47.385（万元），

∵20+30＞47.385，

∴张强的愿望可以实现。

10.（2023宜昌）全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2023年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品．

（1）若2023年社区购买健身器材的费用不超过总投入的

23，问2023年最低投入多少万元购买药品？（2）2023年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少

716，但社区在这两方面的总投入仍与2023年一致．

①求2023年社区购买药品的总费用；

②据统计，2023年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的

14，与2023年相比，假使2023年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比一致，那么，2023年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的

17，求2023年该社区健身家庭的户数．解：（1）设2023年购买药品的费用为x万元，根据题意得：30-x≤

23×30，解得：x≥10，

则2023年最低投入10万元购买商品；

（2）①设2023年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30-y）万元，

2023年购买健身器材的费用为（1+50%）（30-y）万元，购

买药品的费用为（1-716）y万元，根据题意得：（1+50%）（30-y）+（1-

716）y=30，解得：y=16，30-y=14，

则2023年购买药品的总费用为16万元；

②设这个一致的百分数为m，则2023年健身家庭的药品费用为200（1+m），

∴200（1+m）=300（户），

则2023年该社区健身家庭的户数为300户。

11.（2023淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是

斤（用含x的代数式表示）；

（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤

的售价降低多少元？解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是

（2）根据题意得：（4-2-x）（100+200x）=300，

解得：x=12或x=1，

∵每天至少售出260斤，

∴100+200x≥260，解得x≥0.8∴x=1．

答：张阿姨需将每斤的售价降低1元。

12.（2023崇左）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋〞，某市加快了廉租房的建设力度．2023年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2023年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率一致．

（1）求每年市政府投资的增长率；

（2）若这两年内的建设成本不变，问2023年建设了多少万平方米廉租房？

解：（1）设投资平均增长率为x，根据题意得3(1+x)2

＝6.75

解得x1=0.5,x2=－2.5(不符合题意舍去)答：政府投资平均增长率为50%;(2)12(1+0.5)2

=18(万平方米)答：2023年建设了18万平方米廉租房.

13.(2023广元)李明准备进行如下操作试验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2

，李明应当怎么剪这根铁丝？

（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2

，你认为他的说法正确吗？请说明理由．

解：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，由题意，得（）2

+（

）2

=58，

解得：x1=12，x2=28，

当x=12时，较长的为40﹣12=28cm，

当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去）．

答：李明应当把铁丝剪成12cm和28cm的两段；（2）李明的说法正确．理由如下：

设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，

由题意，得（）2

+（

）2

=48，

变形为：m2

﹣40m+416=0，

∵△=（﹣40）2

﹣4×416=﹣64＜0，∴原方程无实数根，

∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2

．

14.（2023巴中）如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为便利管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2

，求小路的宽．

解：设小路的宽为xm，依题意有（40﹣x）（32﹣x）=1140，整理，得x2

﹣72x+140=0．

解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．答：小路的宽应是2m．

四、分式方程

（一）分式方程的解法

1.（2023天津）分式方程

的解为（D）

A．x=0B．x=5C．x=3D．x=9

解析：去分母得：2x=3x-9，解得：x=9，

经检验x=9是分式方程的解，应选D

2.（2023海南）方程=

的解为（）

A．x=2B．x=6C．x=﹣6D．无解

解析：方程两边同乘以x（x﹣2），得3（x﹣2）=2x，解得x=6，将x=6代入x（x﹣2）=24≠0，所以原方程的解为：x=6，应选B．

3.（2023常德）分式方程的解为（A）

A．1B．2C．13D．0

解析：去分母得：2-3x=x-2，解得：x=1，

经检验x=1是分式方程的解．应选A

4.（2023遵义）若x=3是分式方程的根，则a的

值是（A）

A．5B．-5C．3D．-3解析：

∴a-2=3，∴a=5，即a的值是5．应选：A

5.（2023曲靖）方程=﹣1的解是（）

A．x=2

B．x=1

C．x=0

解析：去分母，方程两边都乘以（x﹣1）得，﹣1+x=﹣（x﹣1）解这个方程得：x=1，

检验：当x=1时，x﹣1=0，所以x=1不是原方程的解，所以原方程无解．应选：D．

6.（2023南宁）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，依照这

个规定，方程Max{x，-x}=的解为（D）

A．1-2B．2-2C．1+2或1-2D．1+2或-1解析：当x＜-x，即x＜0时，所求方程变形得：

去分母得：x2

+2x+1=0，即x=-1；

当x＞-x，即x＞0时，所求方程变形得：

7.（2023宿迁）方程﹣

=0的解是x=6．

解析：去分母得：3（x﹣2）﹣2x=0，

去括号得：3x﹣6﹣2x=0，整理得：x=6，

经检验得x=6是方程的根．8.（2023湖北）分式方程

﹣

=0的解是

15．

解析：去分母得：x﹣5﹣10=0，解得：x=15，经检验x=15是分式方程的解．9.（2023攀枝花）分式方程=的根为2．

解析：去分母得：x+1=3x﹣3，

解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．

10．（2023长沙）分式方程=的解是x=﹣5．

解析：去分母，得5（x﹣2）=7x，

解得：D．x=无实数解﹣5，经检验：

x=﹣5是原方程的解．11.（2023德州）方程

﹣=1的解是x=2．

解析：去分母得：x2

﹣2x+2=x2

﹣x，解得：x=2，

经检验x=2是分式方程的解，

12．（2023毕节）关于x的方程x2

﹣4x+3=0与=有

一个解一致，则a=1．

解析：由关于x的方程x2

﹣4x+3=0，得

（x﹣1）（x﹣3）=0，∴x﹣1=0，或x﹣3=0，解得x1=1，x2=3；当x1=1时，分式方程

=无意义；

当x2=3时，=

，

解得a=1，经检验a=1是原方程的解．

13．（2023宁夏）解方程：

=1．

解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），

得x（x+1）﹣（2x﹣1）=（x+1）（x﹣1），解得x=1．

经检验x=1是增根，原方程无解．

14.(2023陕西)解分式方程：

﹣

=1．

解：去分母得：x2

﹣5x+6﹣3x﹣9=x2

﹣9，解得：x=，

15.（2023嘉兴）小明解方程

的过程如图．请指

出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．

解：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检验；

正确解法为：方程两边乘以x，得：1-（x-2）=x，去括号得：1-x+2=x，移项得：-x-x=-1-2，合并同类项得：-2x=-3，

解得：x=

32，经检验x=32是分式方程的解，

则方程的解为x=32。

（二）分式方程的无解问题

1.（2023淄博）若关于x的方程

的解为正数，

则m的取值范围是（C）

A．m＜6B．m＞6C．m＜6且m≠0D．m＞6且m≠8解析：原方程化为整式方程得：2-x-m=2（x-2），

2.（2023营口）若关于x的分是方程+

=2有增根，

则m的值是（）

A．m=﹣1B．m=0C．m=3D．m=0或m=3解析：方程两边都乘以（x﹣3）得，

2﹣x﹣m=2（x﹣3），

∵分式方程有增根，∴x﹣3=0，解得x=3，∴2﹣3﹣m=2（3﹣3），解得m=﹣1．应选A．

3.（2023东营）若分式方程

无解，则a的值为±1．

解析：去分母得：x-a=ax+a，即（a-1）=-2a，显然a=1时，方程无解；

由分式方程无解，得到x+1=0，即x=-1，

把x=-1代入整式方程得：-1-a=-a+1，解得：a=-1，综上，a的值为±1。

4.（2023黑龙江）关于x的分式方程

无解，则

m=0或-4．

解析：方程去分母得：m-（x-2）=0，解得：x=2+m，∴当x=2时分母为0，方程无解，即2+m=2，∴m=0时方程无解．当m=-2时分母为0，方程无解，即2+m=-2，∴m=-4时方程无解．综上所述，m的值是0或-4．

（三）分式方程的应用

1.（2023遂宁）遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为（A）

解析：设原计划每亩平均产量x万千克，由题意得：

2.（2023乌鲁木齐）九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度

为xkm/h，则所列方程正确的是（）A．=﹣

B．

=

﹣20

C．

=

+D．

=

+20

解析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，

=

+．应选C．3.（2023本溪）为迎接“六一〞儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两类玩具，其中A类玩具的进价比B类玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量一致．设A类玩具的进价为m元/个，根据题意可列分式方程为（）A．B．

C．

D．

解析：设A类玩具的进价为m元/个，则B类玩具的进价为（m﹣3）元/个，由题意得，

=

，应选C．

4．（2023通辽）某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设管道xm，则可得方程

﹣

=15．

解析：设原计划每天铺设管道xm，则实际每天铺设管道（x+20）m，由题意得，

﹣

=15．

5.（2023昆明）某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．

（1）按原计划完成总任务的时，已抢修道路1200米；（2）求原计划每小时抢修道路多少米？解：（1）按原计划完成总任务的时，已抢修道路3600×=1200米，

（2）设原计划每小时抢修道路x米，根据题意得：

，

解得：x=280，经检验：x=280是原方程的解．答：原计划每小时抢修道路280米．

6.（2023莱芜）今年我市某公司分两次购买了一批大蒜，第一次花费40万元，其次次花费60万元．已知第一次购买时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500元，其次次购买时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了500元，其次次的购买数量是第一次购买数量的两倍．（1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？

（2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工8吨大蒜，每吨大蒜获利1000元；若单独

加工成蒜片，每天可加工12吨大蒜，每吨大蒜获利600元．由于出口需要，所有购买的大蒜必需在30天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大利润为多少？

解：（1）设去年每吨大蒜的平均价格是x元，由题意得，×2=

，

解得：x=3500，

经检验：x=3500是原分式方程的解，且符合题意，答：去年每吨大蒜的平均价格是3500元；

（2）由（1）得，今年的大蒜数为：×3=300（吨），

设应将m吨大蒜加工成蒜粉，则应将（300﹣m）吨加工成蒜片，

由题意得，，

解得：100≤m≤120，

总利润为：1000m+600（300﹣m）=400m+180000，当m=120时，利润最大，为228000元．