第1课时圆周角与定理

第三章圆3.4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角与圆周角定理1.了解圆周角的概念.2.理解圆周角定理的证明.3.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想.3.下列命题是真命题的是()①垂直弦的直径平分这条弦②相等的圆心角所对的弧相等③圆既是轴对称图形,又是中心对称图形A.①②B.①③C.②③D.①②③1.圆心角的定义?答：相等.答:顶点在圆心的角叫圆心角.2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?B圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?A.OBC.思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？角的两边和圆是什么关系？..AOBCA.OBC.你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗?.OBCA特征：①角的顶点在圆上.圆周角定义:

顶点在圆上,并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角.②角的两边都与圆相交.探究1.判断下列各图形中的角是不是圆周角.图１图２图３图４图５2、指出图中的圆周角.AOBC∠ACO∠ACB∠BCO∠OAB∠BAC∠OAC∠ABO∠CBO∠ABC××√××【巩固练习】说说你的想法,并与同伴交流.提示:注意圆心角与圆周角的位置关系.ABC●OABC●O●OABC如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?圆周角和圆心角的关系议一议解:∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，●OABC∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.

即∠ABC=∠AOC.你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.●OABCD如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,∴∠ABC=∠AOC.提示:能否也转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.DABC3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,∴∠ABC=∠AOC.●O圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.●OABC●OABC●OABC

即∠ABC=∠AOC.DD圆心在角的边圆心在角圆心在角上内外定理：∠AOB=2∠BOCAOBC∠ACB=2∠BAC证明：

∠ACB=∠AOB∠BAC=∠BOC例.如图：OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.【例题】BAO70°x1.求圆中角x的度数AOx120°CCDB2.如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C，D为半圆上的两点，∠COD=50°，则∠CAD=_______.25º【跟踪训练】答案：35°120°3.判断（1）顶点在圆上的角叫圆周角.（）（2）圆周角的度数等于所对弧的度数的一半.（）

×√（2）如图，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB=_____，∠ADB=______.DAOCB4.计算（1）半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：4两部分，则弦所对的圆周角的度数是_______________.130º50º36º或144°O·AOCB1．（重庆·中考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC=70°则∠AOC的度数等于（）A.140°B.130°C.120°D.110°答案:A2.（潼南·中考）如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠C=15°,则∠BOC的度数为（）A．15°B.30° C.45° D．60°答案:B

3.（德化·中考）如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（）答案:DA.60°B.50°C.40°D.30°4.（红河·中考）如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.60°答案:A【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角