高数下册练习题2

PAGEPAGE72第十章参考答案一、选择题1.B；2.D；3.D；4.B；5.B；6.C；7.A；8.B；9.B；10.C；11.B；12.C；13.A；14.C；15.A；16.B；17.C；18.A;19.C；20.A.二、填空题1.；2.；3.；4.1；5.;6.;7.；8.；9.；10.；11.；12.；13.1；14.；15.；16.0；17.；18.；19.；20..三、综合题1．解：.2．解：.3．解：直线0A，0B和AB的方程分别为，，，按图示方式将分成和，则.4．解：D(Y型)：，，如图所示，.5．解：如图所示，积分区域关于轴对称，函数，分别是关于的的奇函数，偶函数，所以.从而.另一解法：==.6．解：关于两个坐标轴都对称，在第一象限部分为，则由于关于，关于都是偶函数，关于是奇函数，于是，而，故原式.7．解：如图分割，，由于积分区域对称性和被积函数奇偶性知，故.13．解：.14．解：利用极坐标计算此二重积分过程中，要根据奇函数，偶函数在关于原点对称的区间上积分性质，此题答案为.15．解：如右图，D(极)：,，故.16．解：，其中：，：.故=.17．解：如图所示，矩形为D，半圆为..(为区域的面积)18．解：由，确定积分区域D(图形略)，在极坐标系中，D：，，故原式=.19．证明：由于在上连续，故在上连续，若记D：，.则二元函数在D上连续.由于，故.进而有，即，于是.20．证明：设D：，，则D关于对称.，在D上都连续，且.故.21．分析：只要证明，即，其中D：，.记上式左端二重积分为I，则I=.两式相加得2I=.证明：由题设单调减少，故对于，有.且因为正值函数，所以2I，即I，结论得证.22．解：D关于x轴对称，所以形心在x轴上，.又，而.故，而形心.23．解：记重心C，则依公式有，，故重心.24．解：..25．解：(1)中成立.因为积分区域关于坐标面x=0对称，而被积分函数关于x是奇函数，所以积分值为零(当将三重积分化成先对x的累次积分时，积分区间对称，故积分值为零).同理，成立，类似地(3)也成立.(2)中，第一式左端，而右端；第二式被积函数关于x，y均是偶函数，而积分区域关于坐标面x=0和y=0均对称，故第一式不成立，第二式成立.26．解：积分区域，故==.27．解：四面体.因为积分区域和被积函数对于，有轮换对称性，故.从而=.28．解：用“先二后一”法，得=.29．解：设平面截所得区域为，其面积为.故.30．解：在柱面坐标系中.故===.31．解：两曲面的交线在面上的投影为：，立体在面上的投影域为.在柱面坐标系中，故所求体积.32．解：立体的体积.由于关于面，面都对称，所以形心在轴上，即.利用柱面坐标可算得.故的形心为.33．解：由，，确定空间区域.在柱面坐标系中，，故原式=.34．解：===.35．解：.36．解：在球面坐标系中，，故=.37．解：在球面坐标系中，(设)，则===,故.38．解：由分别关于面，面对称，分别关于，是偶函数，可知的重心在轴上，即，．又=，=，故，而重心.39．解：：，，，用球面坐标表示为：，故原式===.40．解：，在球面坐标系中，，，于是==.

第十一章曲线积分与曲面积分一、选择题1.设为，()，则等于().(A)；(B)；(C)；(D).2.物质曲线沿：分布，其线密度，则它的质量为().(A)；(B)；(C)；(D).3.设是从点到的一条直线段，则与曲线积分不相等的积分是().(A)；(B)；(C)；(D).4.设是从点沿折线至点的折线段，则曲线积分().(A)；(B)；(C)；(D).5.设：，则().(A)与取向无关，与，大小有关；(B)与取向无关，与，大小无关；(C)与取向有关，与，大小有关；(D)与取向有关，与，大小无关.6.设，取逆时针方向，则().(A)；(B)；(C)；(D).7.设曲线是区域的正向边界，那么的面积为().(A)；(B)；(C)；(D).8.设有连续一阶导数，则等于().(A)；(B)；(C)；(D).9.，则().(A)对任意分段光滑闭曲线，有；(B)在不包含原点时，其中是任意分段光滑闭曲线；(C)因为和在原点不存在，故对任意分段光滑闭曲线，；(D)在包含原点时，不包含原点时，.10.命题甲：如果在区域中，则对于绕原点一周的任意的正向闭曲线，曲线积分都有相同的值(其中在内具有连续的一阶偏导数).命题乙：如果在区域中存在二元函数，使，则在中曲线积分与路径无关.(A)甲、乙都不正确；(B)甲、乙都正确；(C)甲正确、乙不正确；(D)甲不正确、乙正确.11.设为平面在第=1\*ROMANI卦限内的部分，则().(A)；(B)；(C)；(D).12.设是锥面()，则().(A)；(B)；(C)；(D).13.设为在面上方的部分，则等于().(A)；(B)；(C)；(D).14.设为柱面，其向外的单位法向量为，则等于().(A)；(B)；(C)；(D)0.15.曲面被柱面割下部分的面积为().(A)；(B)；(C)；(D).16.设是旋转抛物面()的外侧，是平面上圆域，则曲面积分可化为二重积分().(A)；(B)；(C)；(D).17.已知为平面在第一卦限内的下侧曲面，则().(A)；(B)；(C)；(D).18.设为球面的外侧，则等于().(A)2；(B)1；(C)0；(D)，其中为球面上半球面取上侧.19.现有三个命题=1\*GB3①，其中；=2\*GB3②，其中为球面取外侧；=3\*GB3③，其中.以上三个命题中正确的个数是()(A)0；(B)1；(C)2；(D)3.20.设为球面，在下列四组积分中，同一组的两个积分均为零的是()(A)，；(B)，；(C)，；(D)，.二、填空题1.设是圆周，.则.2.设为在第一象限内的部分，则.3.设为椭圆，周长为，则.4.设是从点到的一条直线，则.5.设为正向圆周在第一象限的部分，则曲线积分的值为.6.设为正向椭圆，则.7.设为直线，，所围三角形的正向边界，则.8.设为正向圆周，则.（同选择6）9.设：，是的边界正向一周，则.10.设具有连续一阶导数，，且与路径无关，则.11.设，则.12.设为锥面被平面所截部分，则.13.面密度为的抛物壳()的质量.14.设：，则.15.设表示半球面的上侧，则曲面积分.16.设为平面位于第一卦限部分上侧，则.17.设为球面的外侧()，则.18.设是锥面()的下侧，则.19.设是长方体的整个表面的外侧，则.20.是抛物面在面上方的部分上侧，将对坐标的曲面积分化为对面积的曲面积分是.三、综合题1.设为圆周，求.2.计算，其中为圆位于第一象限内的弧段，坐标为，.3.计算，其中为连接点与点的直线段.4.设是面上的任一围线，为的一个切线向量，为一固定向量.证明.5.计算，其中为从点到点的直线段.6.设为圆周逆时针方向一周，求曲线积分.7.计算，其中是曲线上从点到点的一段.8.计算，其中为上半圆周沿逆时针方向从点到点的一段.9.计算，其中是以点为中心，为半径的圆周，取逆时针方向.10.设有平面力场，求一质点沿曲线：从点到点时场力所做的功.11.计算，其中：，若从轴正向看去，取逆时针方向().12.设函数在内具有一阶连续导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为.记(1)证明曲线积分与路径无关；(2)当时，求的值.13.曲线积分与路径无关，且，试证：曲线为双曲正弦函数.14.验证在半平面内为某函数的全微分，并求它的一个原函数.15.已知点及点，且曲线积分与路径无关，试确定常数，并求.16.设，其中为正向圆周，问为何值时最大？并求其最大值.17.设为曲面与平面所围成立体的表面，求.18.计算，其中为圆柱面介于平面域之间的部分.19.计算，式中为平面在第一卦限内的部分.20.设，在有界闭区域上都具有二阶连续偏导数，分段光滑曲线为的正向边界曲线，试证：，其中是沿的外法线向量的方向导数，符号.21.设是有界闭区域的光滑边界曲面，函数在上有二阶连续偏导数，，为沿外法线方向的方向导数.试证：.22.设为锥面被平面和所截得部分的下侧，求.23.计算，其中为球面的内侧.24.计算，其中是由半球面与锥面所围成的立体表面的外侧.25.设具有连续的导数，式中是由曲面及所围成的立体表面的外侧，求的值.26.计算，其中是抛物面介于平面和之间部分的下侧.27.计算，其中为半球面的上侧.28.计算，其中是曲面()的上侧.29.计算，其中是曲线绕轴旋转一周而成的曲面外侧.30.设，其中为球面外侧，求.

第十一章参考答案一、选择题1.B；2.D；3.D；4.D；5.D；6.B；7.C；8.A；9.B；10.B；11.D；12.D；13.D；14.A；15.B；16.A；17.A；18.C；19.C；20.B.二、填空题1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；13.；14.；15.；16.；17.；18.；19.；20..三、综合题1.解：的极坐标方程是，则，故.2.解：令，，则，.3.解：的方程为，化为参数方程，，，，则.4.证明：设，则，，为所围成的闭区域.5.解：的方程为()，原式.另解：，此积分与路径无关.故原式=.6.解：.7.解：曲线不封闭,添加辅助线，与围成，边界取负向(顺时针方向),则.在上用格林公式得8.解：作:，显然，故原积分.9.解：，在圆内作一小椭圆(取逆时针方向)，记与围成区域，在上利用格林公式得.10.解：，注意到，，，此积分与路径无关，改用如右图所示折线路径..11.解：由stokes公式.12.解：(1)，在上半平面内处处成立，所以在上半平面内曲线积分与路径无关.(2)13.解：，，令，再考虑到，得微分方程，解之得，这是双曲正弦函数.14.解：记，，则在半平面内恒成立，所以在半平面内为某函数的全微分，.15.解：，，，，，在面上连续，且由题设知，故.，其中点，即.16.解：利用格林公式得.，令得，,，所以当时，有最大值，.17.解：设，其中：，：，和是题中所给立体表面的一部分，它们在面上的投影区域都是：.对于，；对于，..18.解：关于面对称，被积函数关于是偶函数，所以，其中：，：，，，，故.19.解：,.20.解：，即.21.解：.22.解：，23.解：利用Gauss公式，24.解：利用Gauss公式，.25解：利用Gauss公式，,为计算，可采用柱体坐标系：令，，..实际上，采用平行截面法更简单，.26.解：补充平面：()取上侧，利用Gauss公式.27.解：作：()取下侧，利用Gauss公式.28.解：补：()取下侧，利用Gauss公式(：).29.解：的方程：取外侧，补面：取右侧，由及围成立体，则原式(:).30.解：先利用Gauss公式，再引进球坐标系，则，：，，.

第十二章无穷级数一、选择题1.若，则级数一定().(A)收敛；(B)发散；(C)敛散无定论.2.收敛的条件是().(A)；(B)；(C)；(D).3.设a为常数，则级数().(A)绝对收敛；(B)条件收敛；(C)发散；(D)敛散性与a取值有关.4.若级数和都发散，则().(A)收敛；(B)绝对收敛；(C)发散；(D)敛散无定论.5.下列级数中，收敛的是().(A)；(B)；(C)；(D).6.下列级数中发散的是().(A)；(B)；(C)；(D).7.下列级数中，发散的是().(A)；(B)；(C)；(D).8.设有两个数列，若，则().(A)当收敛时，收敛；(B)当发散时，发散；(C)当收敛时，收敛；(D)当发散时，发散.9.若，则级数必().(A)收敛；(B)发散；(C)收敛或发散不确定.10.若()。(A)；(B)；(C)；(D).11.设则下列级数中肯定收敛的是().(A)；(B)；(C)；(D).12.下列级数发散的有().(A)；(B)；(C)；(D).13.().(A)当时绝对收敛；(B)当时条件收敛；(C)当时发散；(D)当时绝对收敛.14.下列级数中，条件收敛的是().(A)；(B)；(C)；(D).15.设常数，则级数().(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)收敛或发散与k值有关.16.若在处收敛，则此级数在().(A)条件收敛；(B)绝对收敛；(C)发散；(D)收敛或发散不能确定.17.已知的收敛半径，则幂级数的收敛域为().(A)；(B)；(C)；(D).18.函数展成的幂级数为().(A)；(B)；(C)；(D).19.设为周期为的周期函数，将展开所得傅立叶级数在点收敛于().(A)；(B)；(C)；(D).20.设函数而其中，则().(A)；(B)；(C)；(D).二、填空题1.正项级数敛散性的比较判别法是：若两个正项级数满足关系，则当级数收敛时，级数也收敛；当级数发散时，级数也发散.2.当时发散；当时收敛.3.比值审敛法是：若正项级数满足条件，则当时级数收敛；时级数发散；时不能确定级数的敛散性.4.若级数的各项的绝对值所成的级数收敛，则称此级数.5.是级数收敛的.6.若级数收敛于，则级数收敛于.7.若级数的各项的绝对值所成的级数发散，但收敛，则称此级数.8.交错级数的莱布尼茨判别法是，若且，则级数收敛.9.幂级数的收敛区间为，则应满足.10.已知级数的前项和，则该级数为.11.考虑敛散性，是的.12.关于级数的敛散性，运用判别法，可以判定它是的.13.()当时收敛；当时发散.14.级数的收敛域是.15.级数的和s=.16.已知在处收敛，在处发散，则的收敛域为.17.函数关于x的幂级数展开式是.18.幂级数()的和函数是.19.函数的幂级数展开式是.20.将展开为以为周期的余弦级数时，.三、计算及证明题1.求的和.2.证明.3.判别是否收敛？若收敛，试求其和.4.判别级数的敛散性.5.判别级数的敛散性.6.判别级数的敛散性.7.判别的敛散敛性.8.判定级数是否收敛？如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？9.判别级数是否收敛？如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？10.设(n=1,2,…),级数收敛，试证也收敛。11.若正项级数收敛，证明当时，也收敛.12.设，收敛，证明级数收敛.13.求幂级数的收敛半径.14.求的收敛域.15.求收敛域.16.求的和函数，并求的和.17.求的和函数.18.求的和函数.19.，求.20.求的和函数.21.求的收敛域及和函数.22.求级数的和.23.将展为的幂级数.24.将展开为x的幂级数，并求其收敛域.25.将展开为x的幂级数，并求的和.26.，(1)求的值；(2)证明对任意常数收敛.27.设，求.28.设有两条抛物线和，记它们的交点横坐标的绝对值为，求这两条抛物线所围成的面积以及级数的和.29.设在内收敛，其和函数.(1)证明(2)求的表达式.30.将展开成余弦级数，并求的和.

第十二章参考答案一、选择题1.B；2.B；3.C；4.D；5.B；6.B；7.D；8.C；9.A；10.D；11.D；12.B；13.D；14.B；15.C；16.B；17.D；18.B；19.C；20.B.二、填空题1.,，，；2.，；3，；4.绝对收敛；5.必要条件；6.；7.条