数学高考总复习：随机变量及其分布

随机变量及其分布知识网络知识要点梳理知识点一：离散型随机变量及其分布列.离散型随机变量:.离散性随机变量的分布列:.离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质:PjN0,i=1,2…；P1+P2+-=1知识点二:离散型随机变量的二点分布知识点三：离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数：是一个随机变量，如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是1七=© …堂=0,12…/应=1一⑼,于是得到随机变量岁的概率分布如下:01…K…Np……若岁〜前也而，则豆岁"呼\卬呼知识点四：离散型随机变量的几何分布独立重复试验中，某个事件第一次发生时所作试验的次数〈也是一个正整数的离散型随机变量。"表"汩表示在第k次独立重复试验时该事件第一次发生，

如果把第k次重复试验时事件A发生记作Ak，事件A不发生记作&且=尸尸（4）=5那么F@二对二尸（耳耳…屈4）=（1那么离散型随机变量，的概率分布是：1 2 3 … k称这样的随机变量《服从几何分布，记作曲上为"Q"产，其中无二°，1，2,一bl逊」弊=匕f若随机变量4服从几何分布鼠也乃二Q一或）△，则中，p知识点五：超几何分布在含M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件｛*二阳发生的概率为:.-fkr-i'M-.tF〈X=4=疝盟-如金，上=0,12…/其中心mm｛跖*n<N,M<N,根M,NeIf若随机变量X服从超几何分布鳄二丝则曾若随机变量X服从超几何分布鳄二丝则曾称分布列X01…mP…为超几何分布列。离散型随机变量X服从超几何分布。知识点六：离散型随机变量的期望与方差1、离散型随机变量的期望：2、离散型随机变量的方差：经典例题精析类型一：独立重复试验的概率1、把n个不同的球随机地放入编号为1,2,…，m的m个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率・【变式1】十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大?【变式2】实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛).(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率.(2)按比赛规则甲获胜的概率.类型二：分布列的性质2、若离散型随机变量，的概率分布列为:101p9c2-c3-8c试求出常数c与，的分布列。【变式1】某一射手射击所得的环数，的分布列如下:45678910P0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射击一次命中环数三7”的概率.【变式2】随机变量4的分布列如下：J—101F0bc其中&成二成等差数列，若 3,则"4的值是类型三：离散型随机变量的分布列3、某人参加射击，击中目标的概率是7。①设岁为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列；②设寸为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求b的分布列；③若他只有6颗子弹，若他击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他射击次数的分布列。举一反三：【变式1】在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：(1)不放回抽样时，抽到次品数，的分布列；(2)放回抽样时，抽到次品数n的分布列.【变式2】从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件工：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率=0%.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率中；(2)若该批产品共100件，从中任意抽取2件，^表示取出的2件产品中二等品的件数，求^的分布列.【变式3】某运动员射击一次所得环数充的分布如下:X678910P00.20.30.30.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为0.(I)求该运动员两次都命中7环的概率；(II)求’的分布列；类型四：离散型随机变量的期望和方差4、已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.(I)求取出的4个球均为黑球的概率；(II)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(III)设〈为取出的4个球中红球的个数，求4的分布列和数学期望.举一反三：【变式1】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.(I)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(II)任选3名下岗人员，记〈为3人中参加过培训的人数，求岁的分布列和期望.【变式2】某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为^方，°6,°4,经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0上，°5,075.(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为J，求随机变量〈的期望.【变式3】A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1,A2,A3,B队队员是B1,B2,B3,按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A对B21133A对B232255A对B233355现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为，、n，(1)求，、n的概率分布；(2)求E；、En。5、甲乙两人独立解某一道数学题，该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或乙解出的概率为0.92。(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数，的数学期望和方差。举一反三：【变式】一名学生骑自行车上学，从他的家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是行。(I)求这名学生首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率；(II)求这名学生在途中遇到红灯数，的期望与方差。

举一反三：【变式1】利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是.盈方Y八案Ai*2a2550.70*20980-30雨265282-645261678.—10【变式2】甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为8、n，£和0的分布列如下:£012P13n012P315试对这两名工人的技术水平进行比较。【变式3】甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变第与的且或不的分布列为：;123pa0.10.6123p0.3b0.3⑴求a、b的值；⑵甲、乙两名射手在一次射击中的得分均小于3的概率谁更大?⑶计算或不的期望与方差，并以此分析甲乙的技术状况。高考题萃(2008全国I)已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病.下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止.方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.(I)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；(II)岁表示依方案乙所需化验次数，求^的期望.(2008全国II).购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费以元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1一°,99/”.(I)求一投保人在一年度内出险的概率中；(II)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元).(2008北京).甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分至隰&四门四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.(I)求甲、乙两人同时参加工岗位服务的概率；(I)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(III)设随机变量^为这五名志愿者中参加工岗位服务的人数，求岁的分布列.(2008四川).设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为$,购买乙种商品的概率为°石，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。(I)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(I)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(I)记岁表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求岁的分布列及期望。(2008安徽)为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设^为成活沙柳的或株数，数学期望E岁二工标准差说为2。(I)求n,p的值并写出岁的分布列；(II)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率。(2008山东)甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为马，乙队中3人答对的22概率分别为马'马’5且各人正确与否相互之间没有影响.用w表示甲队的总得分.(I)求随机变量W分布列和数学期望；(II)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).(2008江西)某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案，第二年与第一年相互独立。令点幻表示方案工实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数.(1)写出身备的分布列；(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？(2008湖北)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上筮号的有霓个(内=1,2,3,4).现从袋中任取一球.岁表示所取球的标号.(I)求岁的分布列，期望和方差；(I)若好厘,助」切二"，试求a,b的值.(2008湖南)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是3，且面试是否合格互不影响.求：(I)至少有1人面试合格的概率；(II)签约人数岁的分布列和数学期望.(2008陕西)某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第工次击中目标得4一工@二12,3)分，3次均未击中目标得0分.已知某射手每次击中目标的概率为0.8,其各次射击结果互不影响.(I)求该射手恰好射击两次的概率；(II)该射手的得分记为岁，求随机变量岁的分布列及数学期望.(2008重庆)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为5,且各局胜负相互独立.求：(I)打满3局比赛还未停止的概率；(I)比赛停止时已打局数岁的分别列与期望^..(2008福建)某项考试按科目人、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为石，科目B每次考试成绩合格的概率均为5.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.(I)求他不需要补考就可获得证书的概率；(I)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为自，求自的数学期望W岁.(2008广东)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位：万元)为上(1)求岁的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即右的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为储，一等品率提高为如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？14.(2008浙江)一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸2 7出1个球，得到黑球的概率是三；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是©。(I)